最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解21 .直接法32 .相關(guān)點(diǎn)法63 .幾何法104 .參數(shù)法125 .交軌法146 .定義法16一題多解設(shè)圓Gx1斗/=1,過(guò)原點(diǎn).作圓的任意弦Q,求所對(duì)弦的中點(diǎn)的軌跡方程.一.直接法設(shè)匕夕,制是圓.的一條弦,尸是制的中點(diǎn),那么夕_L制,xWO,設(shè)曲中點(diǎn)為VLo,那么|加*L比1,得xL之+/;乙杼.,即點(diǎn)的軌22224跡方程是X12+y2=1OVxWl.24二.定義法/如90,動(dòng)點(diǎn)夕在以1.0為圓心,為直徑的圓除去原點(diǎn)20上,：施1=1,故點(diǎn)的軌跡方程為X-2+/=-0124三.相關(guān)點(diǎn)法設(shè)一x,y,.乂.必,其中加10,xr2x,yi=2y,而X1+y=l.二

2、2工一1尸+21,又WO,二.xWO,即x2+y2=0=7.-1+k2設(shè)點(diǎn)Px,y,那么x=+二-二eOJ,y=kx=21+女1+K消去女得X,2+/=_LoxWl24另解設(shè).點(diǎn)1+cosJ,sin,其中cos.wl,Px,y,那么x=匕,9e0.1,y=消去.得JL+/=OVxWl2224一.直接法課本中主要介紹的方法.假設(shè)命題中所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與條件能直接發(fā)生關(guān)系,這時(shí),設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)*,),)后,就可根據(jù)命題中的條件研究動(dòng)點(diǎn)形成的幾何特征,在此根底上運(yùn)用幾何或代數(shù)的根本公式、定理等列出含有X、y的關(guān)系式.從而得到軌跡方程,這種求軌跡方程的方法稱為直接法.例題1等腰三角形的定點(diǎn)為44,2

3、),底邊一個(gè)端點(diǎn)是8(3,5),求另一個(gè)端點(diǎn).的軌跡方程.練習(xí)一1 .點(diǎn)4(一2,0)、8(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足尸求點(diǎn)尸的軌跡方程.2 .線段AB的長(zhǎng)等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？3 .動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)43,0)和8(3,0)的距離的比等于2(即：地=2).求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？4 .動(dòng)點(diǎn)P到一高為h的等邊AABC兩頂點(diǎn)A、B的距離的平方和等于它到頂點(diǎn)C的距離平方,求點(diǎn)P的軌跡？文5.點(diǎn)尸與一定點(diǎn)尸(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1:2.求點(diǎn)尸的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形.7.尸(4,0)是圓V+y2=36的一點(diǎn),a

4、、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn),且滿足NAPB=90,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.8.過(guò)原點(diǎn)作直線/和拋物線y=i-4x+6交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.二.相關(guān)點(diǎn)法利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它,那么可尋它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解,就得到原動(dòng)點(diǎn)的軌跡.例題2一條長(zhǎng)為6的線段兩端點(diǎn)A、B分別在X、Y抽上滑動(dòng),點(diǎn)M在線段AB上,且AM：MB=1：2,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.練習(xí)二1 .點(diǎn)尸見,為在圓犬+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)M2x,比的軌跡方程.2 .設(shè)P為雙曲線上一,2=1上一動(dòng)點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段0P的中4點(diǎn).求點(diǎn)M的軌跡方程.3 .設(shè)尸(1,0),

5、M點(diǎn)在1軸上,P點(diǎn)在y軸上,且M=2而,PMVPF,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡方程.4 .aABC的頂點(diǎn)8(-3,8),C(-l,-6),頂點(diǎn)A在曲線y?=4x上運(yùn)動(dòng),求AABC重心G的軌跡方程.5 .A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上,且A(2,0)、8(2,0),AD=2,1AE=-(AB+AD),求E點(diǎn)的軌跡方程.6 .ZLABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)成等比數(shù)列,且|A句|Aq,點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,0),求定點(diǎn)A的軌跡方程.7點(diǎn)A(2,0),P是圓0：/+產(chǎn)=4上任意一點(diǎn),p在x軸上的射影為Q,QP=2QG.動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為C,求軌跡C的方程.8 .橢圓工十二=1

6、上任意一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,49點(diǎn)M在PQ上,且PM=2M.,點(diǎn)M的軌跡為C,求曲線C的方程.TT9 .如圖,從雙曲線C：/y2=i上一點(diǎn).引直線/+,=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)尸的軌跡方程.10 .雙曲線/一,2=2的左、右焦點(diǎn)分別為冗、F過(guò)點(diǎn)F?的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn).I假設(shè)動(dòng)點(diǎn)M滿足6卷=啟+而+所其中0為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程；II在x軸上是否存在定點(diǎn)C,使&.方為常數(shù)？假設(shè)存在,求出點(diǎn).的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.三.幾何法求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題時(shí),動(dòng)點(diǎn)的幾何特征與平面幾何中的定理及有關(guān)平面幾何知識(shí)有著直接或間接的聯(lián)系,且利用平面幾何的知識(shí)

7、得到包含量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式,化簡(jiǎn)后就可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法.例題3定點(diǎn)42,0),點(diǎn)P在曲線/+y2=i(xwi)上運(yùn)動(dòng),NAOP的平分線交于Q點(diǎn),其中.為原點(diǎn),求點(diǎn)Q的軌跡方程.練習(xí)三L如圖,在正方體ABCD-ABCD中,P是側(cè)面BG一動(dòng)點(diǎn),假設(shè)P到直線BC與直線CD的距離相等,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線.2點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),過(guò)點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線經(jīng)過(guò).(一1,2)的直線為假設(shè)求4與/2交點(diǎn)S的軌跡方程.4.求圓心在拋物線)

8、/=2x(y0)上,并且與拋物線的準(zhǔn)線及工軸都相切的圓的方程.5 .雙曲線中央在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為尸(J7,0),直線y=x+l與其相交于M、N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-士,求此雙曲線方程.36 .動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4,求點(diǎn)P的軌跡方程.四.參數(shù)法有時(shí)候很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間關(guān)系.如果借助中間量參數(shù),使X,之間的關(guān)系建立起聯(lián)系,然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù),這便可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例題4過(guò)不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的動(dòng)直線交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B,過(guò)A、B坐標(biāo)軸的垂線交于點(diǎn)P,求交點(diǎn)P的軌跡方程.練習(xí)四1.過(guò)點(diǎn)P2,4作兩條互相垂直的直線4,假設(shè)4交x軸于A點(diǎn),乙交y

9、軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.y-fk.PC2,4)2.一個(gè)動(dòng)圓的解析式為x2+y2+4x2y+6/4=0,求圓心的軌跡方程.3,過(guò)圓0：/+產(chǎn)=4外一點(diǎn)八4,0,作圓的割線,求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡.4.點(diǎn)B、C是圓V+,2=4上的動(dòng)點(diǎn),且ABJ_AC,求BC中點(diǎn)P的軌跡方程.五.交軌法求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程時(shí),可選擇同一個(gè)參數(shù)及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)X、Y分別表示兩條曲線方程,然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點(diǎn)的軌跡方程,這種方法稱為交軌法.例5直線/過(guò)定點(diǎn)(0,3),且是曲線V=4x的動(dòng)弦PR的中垂線,求直線/與動(dòng)弦PR交點(diǎn)M的軌跡方程.練習(xí)五1.求兩條直線-1=0與mx+y-1=0

10、的交點(diǎn)的軌跡方程.2當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí),求拋物線y=x2+(2/+l)x+?2-1的頂點(diǎn)的軌跡方程.3.設(shè)A、A2是橢圓二十二=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn),Pi、R是垂直于A也的94弦的端點(diǎn).求直線AP與AF?交點(diǎn)的軌跡方程.224雙曲線二一二二1(m0.n0)的頂點(diǎn)為由、A2,與y軸平行的直線/交雙nrir曲線于點(diǎn)P、Qo求直線AP與Ag交點(diǎn)M的軌跡方程.5,橢圓上+二=1,直線1：-+-=1,P是L上一點(diǎn),射線0P交橢圓于R,2416128有點(diǎn)Q在0P上,且滿足當(dāng)P在L上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.六.定義法求軌跡方程時(shí),假設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件滿足某種曲線圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定

11、義,那么可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫定義法.常見曲線：1圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)2橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)大于兩定點(diǎn)的距離3雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)小于兩定點(diǎn)的距離4拋物線：到定點(diǎn)與定直線距離相等.例題61 .設(shè)圓V+/+2x-15=0的圓心為A,直線/過(guò)點(diǎn)31,0且與x軸不重合,/交圓A于C、D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證實(shí)|E4|十|E目為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.2 .AABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為Y,0,4,0,C為動(dòng)點(diǎn),且滿/.sinB+sinA=sinC,求點(diǎn)C的軌跡.4練習(xí)六1 .圓M：(x+l)2+/=l,圓N：(x-l)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓雙切,圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.2 .動(dòng)點(diǎn)P到直線x=6的距離與它到點(diǎn)(2,1)的距離之比為逐,那么點(diǎn)P的軌跡是什么？3 .點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=O的距離小lo求點(diǎn)M的軌跡方程.4 .AA8C中,NA、NB、NC的對(duì)邊分別為b、c,假設(shè)a,c,b依次構(gòu)成等差數(shù)列,且.cb,