最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解21 .直接法32 .相關(guān)點法63 .幾何法104 .參數(shù)法125 .交軌法146 .定義法16一題多解設(shè)圓Gx1斗/=1,過原點.作圓的任意弦Q,求所對弦的中點的軌跡方程.一.直接法設(shè)匕夕,制是圓.的一條弦,尸是制的中點,那么夕_L制,xWO,設(shè)曲中點為VLo,那么|加*L比1,得xL之+/;乙杼.,即點的軌22224跡方程是X12+y2=1OVxWl.24二.定義法/如90,動點夕在以1.0為圓心,為直徑的圓除去原點20上,：施1=1,故點的軌跡方程為X-2+/=-0124三.相關(guān)點法設(shè)一x,y,.乂.必,其中加10,xr2x,yi=2y,而X1+y=l.二

2、2工一1尸+21,又WO,二.xWO,即x2+y2=0=7.-1+k2設(shè)點Px,y,那么x=+二-二eOJ,y=kx=21+女1+K消去女得X,2+/=_LoxWl24另解設(shè).點1+cosJ,sin,其中cos.wl,Px,y,那么x=匕,9e0.1,y=消去.得JL+/=OVxWl2224一.直接法課本中主要介紹的方法.假設(shè)命題中所求曲線上的動點與條件能直接發(fā)生關(guān)系,這時,設(shè)曲線上動點坐標*,),)后,就可根據(jù)命題中的條件研究動點形成的幾何特征,在此根底上運用幾何或代數(shù)的根本公式、定理等列出含有X、y的關(guān)系式.從而得到軌跡方程,這種求軌跡方程的方法稱為直接法.例題1等腰三角形的定點為44,2

3、),底邊一個端點是8(3,5),求另一個端點.的軌跡方程.練習一1 .點4(一2,0)、8(3,0),動點P(x,y)滿足尸求點尸的軌跡方程.2 .線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,求AB中點P的軌跡方程？3 .動點P(x,y)到兩定點43,0)和8(3,0)的距離的比等于2(即：地=2).求動點P的軌跡方程？4 .動點P到一高為h的等邊AABC兩頂點A、B的距離的平方和等于它到頂點C的距離平方,求點P的軌跡？文5.點尸與一定點尸(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1:2.求點尸的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.7.尸(4,0)是圓V+y2=36的一點,a

4、、B是圓上兩動點,且滿足NAPB=90,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.8.過原點作直線/和拋物線y=i-4x+6交于A、B兩點,求線段AB的中點M的軌跡方程.二.相關(guān)點法利用動點是定曲線上的動點,另一動點依賴于它,那么可尋它們坐標之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進行求解,就得到原動點的軌跡.例題2一條長為6的線段兩端點A、B分別在X、Y抽上滑動,點M在線段AB上,且AM：MB=1：2,求動點M的軌跡方程.練習二1 .點尸見,為在圓犬+y2=1上運動,求點M2x,比的軌跡方程.2 .設(shè)P為雙曲線上一,2=1上一動點,o為坐標原點,M為線段0P的中4點.求點M的軌跡方程.3 .設(shè)尸(1,0),

5、M點在1軸上,P點在y軸上,且M=2而,PMVPF,當點P在y軸上運動時,求點N的軌跡方程.4 .aABC的頂點8(-3,8),C(-l,-6),頂點A在曲線y?=4x上運動,求AABC重心G的軌跡方程.5 .A、B、D三點不在同一條直線上,且A(2,0)、8(2,0),AD=2,1AE=-(AB+AD),求E點的軌跡方程.6 .ZLABC的三邊AB、BC、CA的長成等比數(shù)列,且|A句|Aq,點B、C坐標分別為(-1,0)、(1,0),求定點A的軌跡方程.7點A(2,0),P是圓0：/+產(chǎn)=4上任意一點,p在x軸上的射影為Q,QP=2QG.動點G的軌跡為C,求軌跡C的方程.8 .橢圓工十二=1

6、上任意一點P,由點P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,49點M在PQ上,且PM=2M.,點M的軌跡為C,求曲線C的方程.TT9 .如圖,從雙曲線C：/y2=i上一點.引直線/+,=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點尸的軌跡方程.10 .雙曲線/一,2=2的左、右焦點分別為冗、F過點F?的動直線與雙曲線相交于A、B兩點.I假設(shè)動點M滿足6卷=啟+而+所其中0為坐標原點,求點M的軌跡方程；II在x軸上是否存在定點C,使&.方為常數(shù)？假設(shè)存在,求出點.的坐標；假設(shè)不存在,請說明理由.三.幾何法求動點軌跡問題時,動點的幾何特征與平面幾何中的定理及有關(guān)平面幾何知識有著直接或間接的聯(lián)系,且利用平面幾何的知識

7、得到包含量和動點坐標的等式,化簡后就可以得到動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法.例題3定點42,0),點P在曲線/+y2=i(xwi)上運動,NAOP的平分線交于Q點,其中.為原點,求點Q的軌跡方程.練習三L如圖,在正方體ABCD-ABCD中,P是側(cè)面BG一動點,假設(shè)P到直線BC與直線CD的距離相等,求動點P的軌跡所在的曲線.2點C的坐標是(2,2),過點C的直線CA與X軸交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點B.設(shè)點M是線段AB的中點,求點M的軌跡方程.3.經(jīng)過點P(4,0)的直線經(jīng)過.(一1,2)的直線為假設(shè)求4與/2交點S的軌跡方程.4.求圓心在拋物線)

8、/=2x(y0)上,并且與拋物線的準線及工軸都相切的圓的方程.5 .雙曲線中央在原點且一個焦點為尸(J7,0),直線y=x+l與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標為-士,求此雙曲線方程.36 .動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4,求點P的軌跡方程.四.參數(shù)法有時候很難直接找出動點的橫、縱坐標之間關(guān)系.如果借助中間量參數(shù),使X,之間的關(guān)系建立起聯(lián)系,然后再從所求式子中消去參數(shù),這便可得動點的軌跡方程.例題4過不在坐標軸上的定點的動直線交兩坐標軸于點A、B,過A、B坐標軸的垂線交于點P,求交點P的軌跡方程.練習四1.過點P2,4作兩條互相垂直的直線4,假設(shè)4交x軸于A點,乙交y

9、軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程.y-fk.PC2,4)2.一個動圓的解析式為x2+y2+4x2y+6/4=0,求圓心的軌跡方程.3,過圓0：/+產(chǎn)=4外一點八4,0,作圓的割線,求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡.4.點B、C是圓V+,2=4上的動點,且ABJ_AC,求BC中點P的軌跡方程.五.交軌法求兩條動曲線交點的軌跡方程時,可選擇同一個參數(shù)及動點坐標X、Y分別表示兩條曲線方程,然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點的軌跡方程,這種方法稱為交軌法.例5直線/過定點(0,3),且是曲線V=4x的動弦PR的中垂線,求直線/與動弦PR交點M的軌跡方程.練習五1.求兩條直線-1=0與mx+y-1=0

10、的交點的軌跡方程.2當參數(shù)m隨意變化時,求拋物線y=x2+(2/+l)x+?2-1的頂點的軌跡方程.3.設(shè)A、A2是橢圓二十二=1的長軸兩個端點,Pi、R是垂直于A也的94弦的端點.求直線AP與AF?交點的軌跡方程.224雙曲線二一二二1(m0.n0)的頂點為由、A2,與y軸平行的直線/交雙nrir曲線于點P、Qo求直線AP與Ag交點M的軌跡方程.5,橢圓上+二=1,直線1：-+-=1,P是L上一點,射線0P交橢圓于R,2416128有點Q在0P上,且滿足當P在L上移動時,求點Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.六.定義法求軌跡方程時,假設(shè)動點軌跡的條件滿足某種曲線圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定

11、義,那么可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫定義法.常見曲線：1圓：到定點的距離等于定長2橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)大于兩定點的距離3雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)小于兩定點的距離4拋物線：到定點與定直線距離相等.例題61 .設(shè)圓V+/+2x-15=0的圓心為A,直線/過點31,0且與x軸不重合,/交圓A于C、D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.證實|E4|十|E目為定值,并寫出點E的軌跡方程.2 .AABC的頂點A,B的坐標分別為Y,0,4,0,C為動點,且滿/.sinB+sinA=sinC,求點C的軌跡.4練習六1 .圓M：(x+l)2+/=l,圓N：(x-l)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓雙切,圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.2 .動點P到直線x=6的距離與它到點(2,1)的距離之比為逐,那么點P的軌跡是什么？3 .點M到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=O的距離小lo求點M的軌跡方程.4 .AA8C中,NA、NB、NC的對邊分別為b、c,假設(shè)a,c,b依次構(gòu)成等差數(shù)列,且.cb,