曲線積分與曲面積分知識(shí)點(diǎn)

1、第十章曲線積分與曲面積分1、 重點(diǎn)兩類曲面積分及兩類曲面積分的計(jì)算和格林公式、高斯公式的應(yīng)用2、 難點(diǎn)對(duì)曲面?zhèn)鹊睦斫猓褜?duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分，利用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分，及利用高斯公式計(jì)算非閉曲面上的第二類曲面積分。3、 內(nèi)容提要1. 1.曲線(面)積分的定義：(1) (1)第一類曲線積分(存在時(shí))nLf(x,y)dsjlimjf(",JSS表示第i個(gè)小弧段的長度，(與產(chǎn)i)是上的任一點(diǎn)小弧段的最大長度。實(shí)際意義:當(dāng)f(x,y)表示L的線密度時(shí)，(f(x,y)ds表示L的質(zhì)量；當(dāng)f(x,y)三1時(shí)，(ds表示L的弧長，當(dāng)f(x,y)表示位于L上的柱面在點(diǎn)(x,y

2、)處的高時(shí)，f(x,y)ds表示此柱面的面積。(2) (2)第二類曲線積分njPdx+QdyAlimZP(-i,ni)ixi+Q(-i,ni)iyi(存在時(shí))L0iJ實(shí)際意義：設(shè)變力F=P(x,y)i+Q(x,y)j將質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿曲線L移動(dòng)到B點(diǎn)，則F作的功為：W=FdS=(Pdx+Qdy,其中dS=(dx,dy)事實(shí)上，(Pdx,(Qdy分別是F在與旨X軸方向及Y軸方向所作的功。(3) (3)第一類曲面積分n口f(x,y,z)dsN四工f(-i尸i，:i)A§(存在時(shí))三='01S表示第i個(gè)小塊曲面的面積，(0產(chǎn)i4)為上的任一點(diǎn)，K是n塊小曲面的最大直徑。實(shí)際意義：當(dāng)f(

3、x,y,z)表示曲面工上點(diǎn)(x,y,z)處的面密度時(shí)，JJf(x,y,z)ds表示曲面上的質(zhì)量，當(dāng)f(x,y,z)三1時(shí)，ds表示曲面工的面積。£(4) (4)第二類曲面積分nPdydzQdzdxRdxdlim"P(i,i,")(6)yzQ(i,i,i)(6"R(",i,i)(§)、丁'0i=1(存在時(shí))其中(ASi)yz,(Si)zx,(ASi)xy分別表示將工任意分為n塊小曲面后第I塊ASi在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz,dzdx,dxdy分別表示這三種投影元素；(，iJi,G)為ASi上的任一點(diǎn)，丸是n

4、塊小曲面的最大直徑。實(shí)際意義：ihi設(shè)變力V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k為通過曲面上的流體(穩(wěn)定流動(dòng)且不可壓縮)在工上的點(diǎn)(x,y,z)處的速度。則-VdS=PdydzQdzdxRdxdy£i表示在單位時(shí)間內(nèi)從工的一側(cè)流向指定的另一側(cè)的流量。2、曲線(面)積分的性質(zhì)兩類積分均有與重積分類似的性質(zhì)(1) (1)被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號(hào)的外面(2) (2)對(duì)積分弧段(積分曲面)都具有可加性(3) (3)代數(shù)和的積分等與積分的代數(shù)和第二類曲線(面)積分有下面的特性，即第二類曲線(面)積分與曲線(面)方向(側(cè))有關(guān)lPdxQdy=-L_P

5、dxQdy11PdydzQdzdxRdxdy=11PdydzQdzdxRdxdy£y-3、曲線(面)積分的計(jì)算(1) (1)曲線積分的計(jì)算a、a、依據(jù)積分曲線L的參數(shù)方程，將被積表達(dá)式中的變量用參數(shù)表示b、b、第一(二)類曲線積分化為定積分時(shí)用參數(shù)的最小值(起點(diǎn)處的參數(shù)值)作為積分下限(2) (2)曲面積分的計(jì)算方法1、1、第一類曲面積分的計(jì)算a將積分曲面工投向使投影面積非零的坐標(biāo)面b將工的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數(shù)，再將此顯函數(shù)代替被積表達(dá)式中的另一變量。C將ds換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素2、2、第二類曲面積分的計(jì)算a將積分曲面工投向指定的坐標(biāo)面b

6、同1c依工的指定的側(cè)決定二重積分前的“+”或"-4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式(1) (1)格林公式LPdx皿=噂-多崢L是D的正向邊界曲線。若閉區(qū)域其中P、Q在閉區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),D為復(fù)連通閉區(qū)域,；:Q.(一Dx：P一1y=jP、Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則nPdxQdy其中Li(=1,2,n)均是D的正向邊界曲線。(2) (2)高斯公式IlPdydzQdzdxRdxdy=111(史)dxdydzexcycz其中P、Q、R在閉區(qū)域C上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，工是Q的邊界曲面的外側(cè)(3)斯托克斯公式dydzn?工收pdzdx-yQdxdya二=%Pdx+QdyRdz其中P、

7、Q、R在包含曲面工在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，工是以為邊界的分片光滑曲面，r的正向與工的側(cè)向符合右手規(guī)則。5、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)P、Q在開單連同區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，A、B為G內(nèi)任意兩點(diǎn)，則以下命題等價(jià)：(1)用Pdx+Qdy與路徑L無關(guān)(2)對(duì)于G內(nèi)任意閉曲線L,：Pdx+Qdy=0在G內(nèi)處處成立；x；:y(4)在G內(nèi)，Pdx+Qdy為某函數(shù)U(x,y)的全微分6、通量與散度、環(huán)流量與旋度設(shè)向量A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k則通量(或流量)v=Ands_£其中n=(cosot,cosP,cos'<

8、)為工上點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量。散度二Q二P二RdivA=+對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與工的形狀無關(guān)的充要條件是散；:x；:y2度為零。_一ijk旋度rotA=改cyczPQR環(huán)流量向量場a沿有向閉曲線r的環(huán)流量為四、二.Pdx四、QdyRdz=駛難點(diǎn)解析tds本章中對(duì)AS在xoy面上的投影(與)刈為(：O)xy,cos0(S)xy=-(二)xy,cos：二00,cos三0其中cos¥為有向曲面AS上各點(diǎn)處的法向量與Z軸的夾角余弦。(仃)刈為S在xoy上投影區(qū)域的面積。此規(guī)定直接決定了將一個(gè)第二類曲面積分化為二重積分時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇，此規(guī)定貌似復(fù)雜，但其最基本的思想?yún)s非常簡單：即基于用正

9、負(fù)數(shù)來表示具有相反意義的量。比如，當(dāng)溫度高于零度時(shí)用正數(shù)表示，當(dāng)溫度低于零度使用負(fù)數(shù)表示。從引進(jìn)第二類曲線積分的例子看是為了求穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體流向指定側(cè)的流量。如果我們用正數(shù)來表示流體流向指定側(cè)的流量，很自然，當(dāng)流體流向指定側(cè)的反向時(shí)用負(fù)數(shù)表示就顯得合情合理了。因此上面的規(guī)定就顯得非常自然合理了。五、五、典型例題例1、計(jì)算I=52ds圓周x2y2z2農(nóng)xyz=0解：由輪換對(duì)成性，得2一2一一2.1222.12.23I=xds=.ydsI=zds=-.xy-zds=-R,ds=-：R332 2.y.x.+y=a為成平面區(qū)域D,計(jì)算qdx+dyL33x322a+dy=(格林公式)1(x+y

10、)dxdy=40dHf3 d00例2、設(shè)L:x23解：-dxL324rrdr=a2例3、求口z2dxdy,其中e為曲面x2十y2+z2=a2的外側(cè)。解法一、將工分為上半球面工：z=a'a2-x2-y2和下半球面工2:!a2-x2-y2dxdy“a2-x2_y2dxdy=0x2y2<a2x2y2<a2解法二、利用高斯公式(對(duì)稱性)*jz2dxdy=口j(0+0+2z)dxdydz=0例4、求曲線y=x2解：求曲線的交點(diǎn)法一、定積分法x2y2'z2<a2,y2=2x及y2=x所圍成的圖形的面積。B(1,1),C(3/2,V4)則所求面積為1A=0(y法二、二、，三

11、y2、，111)dy+0(y-y)dy=66=3重積分法設(shè)所給曲線圍成的閉區(qū)域?yàn)镈.則2y2、，力-)dy+0(.y-1y2A=.5=°fdx+34y10dy.y：dx=0(yy、，1)dy=-23法三、曲線積分法設(shè)所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L,則A=-Lxdy=oBxdyBcxdyCOxdy=：y2dy+dy1.2=+33例5、計(jì)算解：法2 1.)=-3 3(ydx+xdy,L：從點(diǎn)A(-R,0)到點(diǎn)B(R,0)的上半圓周x2+y2=R2。用曲線積分與路徑無關(guān)一2;:P;:Q;:P.因?yàn)?1=在xoy面上恒成立，且:一及在xoy面上連紋，所以曲線積分:x：:y：xFyydx+x

12、dy與路徑無關(guān)。R于是lydxxdy=abydxxdy=*0dx=0法二、用曲線積分與路徑無關(guān)，則cLRrydx+xdy=0(其中C(0,R)ACBA法三、用曲線積分與路徑無關(guān)，則(R,0)ydxxdy=L(-R.o)(R,0)(R0)ydxxdy=d(xy)=xy(火o)=o(卡,0)法四、用格林公式FQ：:P;:O：:P因?yàn)橐籕=P且；及上在閉曲線ACBA上圍成的閉區(qū)域D上連續(xù)。故由格林公式:xcy二xcy,：:Q：:P.acbaydxxdy=一()dxdy=0d：x二y于是lydxxdy=0-baydxxdy=0法五、用定積分計(jì)算，則L的參數(shù)方程為x=RcoSRc0sL的起點(diǎn)A對(duì)應(yīng)與e=

13、n，綜點(diǎn)對(duì)應(yīng)于8=0,于20R2cos2id。立y=Rsin9lydxxdy0Rsini(-Rsin二)Rcos?Rcosidn210R2-sin2-0.=0例六、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分口(yz)dydz+(zx)dzdx+(x-y)dxdy其中工是z2=x2+y2(0<z<h)的下側(cè)解：設(shè)工1為平面Z=h被錐面z2=x2+y2所圍成部分的上側(cè)。則.:P汜、)dxdydz；:y；zQ1i(y-z)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy=m(三三=1口(0十0十0)dxdydz=0Dxy又(y-z)dydz(z-x)dzdx(x-y)dxdy=11(x-y)dxdy=11(x-y)d

14、xdy=0A所以原式=例h=0-0=0三二三六.曲線積分與曲面積分自測題一、一、填空：(4黑5分)2_2x_2_x.一1、(xycosx2xysinx-ye)dx(xsinx-2ye)dy=222其中L為正向星形線x3+y3=a3(a>0)2、L為xoy面內(nèi)直線x=a上的一段，則LP(xy)dx=3、設(shè)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2-xy)k,則divA=4、,；(xy2z)dydz(3yz)dzdx(z-3)dxdy=y其中工：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所圍成的立體的表面外側(cè)。二、二、選擇題(45分)-b-4f1、1、設(shè)A=P(x,y)i+Q(x

15、,y)j,(x,y)wD,且P、Q在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又L：AB是D內(nèi)任一曲線，則以下4個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是QFPA若Pdx+Qdy與路徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有三Lex二yB若A-ds與路徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有單值函數(shù)u(x,y),使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D內(nèi)上已=史，則必有A65與路徑無關(guān)x:yLD若對(duì)D內(nèi)有一必曲線C,恒有qPdx+Qdy=0,則Pdx十Qdy與路徑無關(guān)2、2、已知(X+ay)dx:ydy為某函數(shù)的全微分，則a等于(xy)A-1;B0;C1;D2;3、3、設(shè)曲線積分(xy'x+yxRy與路徑無關(guān)，其中9(x)具有連續(xù)得到數(shù)，且(i,i)2xydxy(x)dy中(x)=o,則也。)y等于D1;.一2224、設(shè)空間區(qū)域G由曲面z=a-x-y平面z=0圍成，其中a為正常數(shù)，記C的表面外側(cè)為S,建的體積為V,貝UfFJx2yz2dydz-xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=XA0;BV;C2V;D3V;三、三、計(jì)算(6M10)x2y2z2=R221、1、計(jì)算I=平xds淇中為圓周：I,nxyz-02、2、計(jì)算曲線積分«絲二字，其中L為圓周(x1)2+y2=2,L的方向?yàn)槟?(xy)時(shí)針方向。3、3、計(jì)算(x2-y)dx(x+sin2y)dy,其中L是在圓周=52x-x2上點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(