自然數(shù)前n項(xiàng)平方和立方和公式及證明

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備自然數(shù)前口項(xiàng)平方和、立方和及證明鄰水縣九龍中學(xué)高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材中，出現(xiàn)了自然數(shù)前n項(xiàng)平方和、立方和公式，它們分別是:7個、r24?2n(n+l)f2n+l)r+2=+3-+4+n-(1)ri2133.3333鮑地(2)以上兩個公式是如何得到的呢？筆者對這兩個公式的推導(dǎo)證明作過一些思考和探索，芍一些收獲，現(xiàn)與大家一起分享：方法一、構(gòu)造等差數(shù)列法、公式(1)的證知設(shè)S0二產(chǎn)+2：+32+/設(shè)-A（n+1）J+B（n+1）3+C（n+1）=SL-Ar?+Bn1+Cn：J.S1工3An?+（3A+2B）n+A+B+C:.3A“rr十（3A-r2B），n+（A平B+C）=（n+

2、1）-=n2+2n+1ra3A=13:*3A+2B=2B=A+B+C=l7、C=-/11i x6以S；-丁代+t+L1首項(xiàng)，0為公差的等差數(shù)列,j26JSn-（-n3+-n2+n）=026艮電3266公式(2)的證明:名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備則SSn=(n+iy設(shè)Sn+1A1(n+1)4+B，(n+1)'+C*n+1十D(口+1)=，一；A,n+Bn一+C，n'+D+n)則S.M-3EA.n%(6A+3B)n-+(4A+3B+2C>i-(A+B+C+D)=(n+爐工rr3+3n，+3n+1fa*A=4A=146A+3B=3b-14A+3B+2C=3fA+B+C+D=!C=

3、7D=0L'SM-1m+iy+；(口+1丫+加十)=sn-%*+$+f1111111>*，數(shù)歹忖%；"%>是兆-p+1+,產(chǎn)卜l-1=0，以0為首項(xiàng)，。為公差的等差數(shù)列方法二I累加法、公式的證明、v(n+l)3-n?=3n:+3n+l(n+iy-n;=3n2+3n+ln3-(n-ir=3(n-l)2+3(n-l)+l二(n-1)3_(n2=3012)2+克寸_2)+3J-23=3-22+32+123-P=31z+3-1+1，上面的1個等式相加穩(wěn)(n+l一產(chǎn)=3儼+2口+3工+口)十知+2+3+4+-+口)+口二n，3i?+加=貢廣+2：十十I?)十3n(；&quo

4、t;)+口產(chǎn)？，+1彳I,in(m-l)(2ii+l)AI-+2-r3-+!'=-n+-n'+-n=-3266t(n+1/-nJ=4n?+6n2+4n+1+6n?+4n+ln4-(n-l)"1=4(n-1)'+6(n-1)'+4(n-1)+1.也一歲-(口-2)'=4(n-1)5+6(n-2)2+4(n-2)+13q-24=4.23+6-22+4-2+12."=4-P+6-12+44+1上固二個等式相加得：'=4(.'+2+3?t,*,+n')6(1'+2+3-+4-rr)+4(+2-3+“i-n)+n

5、*w4，上ia九,n(n+l)(2n+1)、n(ntj).二n-r4iy+6n_+4n=4(1+2+丁4一,+n)+6-+4-+n方法三，觀察、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明：公式O芯證明，通過觀察,分析,我的猜想:=1*2十M應(yīng)該是一個與n相關(guān)的一個多項(xiàng)式,不妨設(shè)S,=An5+B-n2+C-n+分別取n=1,2,3,4時，得D = 0A + SA -r 27A 64A +e+ c + d 4B + 2C:+ D 9B+ 3C+ D I6B+ 4C+ D數(shù)學(xué)H綱法證除（t當(dāng)n=l時，左邊=S;=H=1右邊二！”（l=）x（2x"1）=i6左邊=右邊，等式成立Q）|g設(shè)0=k.kwN,時有S,=成立6那么當(dāng)二k十1時，:、=工十（k丁1）:=小次"）十（