空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣到底有多少種排列形式？按照每個(gè)陣點(diǎn)的周圍環(huán)境

1、-空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣到底有多少種排列形式？按照“每個(gè)陣點(diǎn)的周圍環(huán)境相同的要求, 在這樣一個(gè)限定條件下，法國(guó)晶體學(xué)家布拉菲(A. Bravais )曾在1848年首先用數(shù)學(xué)方法證明，空間點(diǎn)陣只有14種類型。這14種空間點(diǎn)陣以后就被稱為布拉菲點(diǎn)陣?？臻g點(diǎn)陣是一個(gè)三維空間的無限圖形，為了研究方便，可以在空間點(diǎn)陣中取 一個(gè)具有代表性的根本小單元，這個(gè)根本小單元通常是一個(gè)平行六面體， 整個(gè)點(diǎn) 陣可以看作是由這樣一個(gè)平行六面體在空間堆砌而成，我們稱此平行六面體為單 胞。當(dāng)要研究某一類型的空間點(diǎn)陣時(shí)， 只需選取其中一個(gè)單胞來研究即可。 在同 一空間點(diǎn)陣中，可以選取多種不同形狀和大小的平行六面體作為單胞，如圖1

2、-8所示。一般情況下單胞的選取有以圖1-8空間點(diǎn)陣及晶胞的不同取法圖1-9面心立方陣胞中的固體物理原胞圖 1-10 晶體學(xué)選取晶胞的原那么下兩種選取方式：1固體物理選法在固體物理學(xué)中， 一般選取空間點(diǎn)陣中體積最小的平行六面體作為單胞， 這 樣的單胞只能反映其空間點(diǎn)陣的周期性， 但不能反映其對(duì)稱性。 如面心立方點(diǎn)陣 的固體物理單胞并不反映面心立方的特征，如圖 1-9 所示。2 晶體學(xué)選法由于固體物理單胞只能反映晶體結(jié)構(gòu)的周期性， 不能反映其對(duì)稱性， 所以在 晶體學(xué)中，規(guī)定了選取單胞要滿足以下幾點(diǎn)原那么如圖 1-10 所示： 要能充分反映整個(gè)空間點(diǎn)陣的周期性和對(duì)稱性； 在滿足的根底上，單胞要具有盡

3、可能多的直角； 在滿足、的根底上，所選取單胞的體積要最小。根據(jù)以上原那么，所選出的 14 種布拉菲點(diǎn)陣的單胞見圖 1-12 可以分為兩 大類。一類為簡(jiǎn)單單胞，即只在平行六面體的 8 個(gè)頂點(diǎn)上有結(jié)點(diǎn)，而每個(gè)頂點(diǎn) 處的結(jié)點(diǎn)又分屬于 8 個(gè)相鄰單胞，故一個(gè)簡(jiǎn)單單胞只含有一個(gè)結(jié)點(diǎn)。另一類為 復(fù)合單胞 或稱復(fù)雜單胞 ，除在平行六面體頂點(diǎn)位置含有結(jié)點(diǎn)之外，尚在體心、 面心、底心等位置上存在結(jié)點(diǎn)，整個(gè)單胞含有一個(gè)以上的結(jié)點(diǎn)。 14 種布拉菲點(diǎn) 陣中包括 7 個(gè)簡(jiǎn)單單胞， 7 個(gè)復(fù)合單胞。圖1-11單晶胞及晶格常數(shù)根據(jù)單胞所反映出的對(duì)稱性，可以選定適宜的坐標(biāo)系，一般以單胞中某一頂 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，相交于原點(diǎn)的三

4、個(gè)棱邊為 X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)軸，定義X、丫軸之 間夾角為丫，丫、Z之間夾角為a，Z、X軸之間夾角為B，如圖1-11所示。單 胞的三個(gè)棱邊長(zhǎng)度a、b、C和它們之間夾角a、B、丫稱為點(diǎn)陣常數(shù)或晶格參數(shù)。 六個(gè)點(diǎn)陣常數(shù)，或者說三個(gè)點(diǎn)陣矢量 a、b、c描述了單胞的形狀和大小，且確定 了這些矢量的平移而形成的整個(gè)點(diǎn)陣。也就是說空間點(diǎn)陣中的任何一個(gè)陣點(diǎn)都可 以借矢量a、b、c由位于坐標(biāo)原點(diǎn)的陣點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)平移而產(chǎn)生。每種點(diǎn)陣所含的平移矢量為：簡(jiǎn)單點(diǎn)陣：a、b、c底心點(diǎn)陣：a、b、c、 (a + b) /2體心點(diǎn)陣：a、b、c、(a + b + c) /2面心點(diǎn)陣：a、b、c、 (a + b) /2、(b +

5、 c)/2、(a + c) /2所以布拉菲點(diǎn)陣也稱為平移點(diǎn)陣(8)(11)(12)(13)(14)圖1-12 14種布拉菲點(diǎn)陣晶體根據(jù)其對(duì)稱程度的上下和對(duì)稱特點(diǎn)可以分為七大晶系，所有晶體均可歸納在這七個(gè)晶系中，而晶體的七大晶系是和14種布拉菲點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的，如圖1-12和表1-2所表1-2七大晶系和十四種布拉菲點(diǎn)陣A*林號(hào)陣A ft H|對(duì)戕標(biāo)號(hào)p1C 0 Qa：bct a 3 x y(H)簡(jiǎn)隼車斡在心鼻斡pC1I0 0 00 Q 0« *Z Zo»y« wxfl(1：)(n)伙方p1C 0 0(7)謎單三角10 4 0打-3-y>o*(e)馨方1簡(jiǎn)單亞交I面

6、心it交eF11240 0 00 0 0 * 丄"» 丄12 10 Q 0、丄丄03 2ft 0 01 0oi 212e丄A2 2(14)(»)(H)間E網(wǎng)方PI:q a g1 ii000 i2 22a b-c« a fl V so(4 )(O瞬越立方it心立方pIF440 0 0A 1110 o o» “ . v2 110 * D £ £ 芻 0I 2I2Q丄丄t 2atf-ff-y*so*CD(：)(1)示。所有空間點(diǎn)陣類型均包括在這14種之中，不存在這14種布拉菲點(diǎn)陣外的其 它任何形式的空間點(diǎn)陣。例如在圖1-12中未列

7、出底心四方點(diǎn)陣，從圖1-13可以 看出，底心正方點(diǎn)陣可以用簡(jiǎn)單正方點(diǎn)陣來表示， 面心正方可以用體心正方來表 示。如果在單胞的結(jié)點(diǎn)位置上放置一個(gè)結(jié)構(gòu)基元，那么此平行六面體就成為晶體結(jié) 構(gòu)中的一個(gè)根本單元，稱之為晶胞。在實(shí)際應(yīng)用中我們常將單胞與晶胞的概念混淆起來用而沒有加以細(xì)致的區(qū)分§1-2常見的晶體結(jié)構(gòu)及其原胞、晶胞1簡(jiǎn)單晶體的簡(jiǎn)單立方simple cubic, sc它所構(gòu)成的晶格為布喇菲格子。例如氧、硫固體。基元為單一原子結(jié)構(gòu)的晶體叫簡(jiǎn)單晶 體。其特點(diǎn)有:三個(gè)基矢互相垂直；_"_.，重復(fù)間距相等， 為a，亦稱晶格常數(shù)。其晶胞二原胞；體積二/ ；配位數(shù)第一近鄰數(shù)=6 見圖1-

8、7圖1-7簡(jiǎn)單立方堆積與簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)單元2) 簡(jiǎn)單晶體的體心立方 (body-ce ntered cubic, bcc ),例如，Li , K, Na, Rb, Cs, a Fe, Cr, Mq W Ta, Ba等。其特點(diǎn)有：晶胞基矢-F ：,并且一丁乳 廠-啟，其慣用原胞基矢由從一頂點(diǎn)指向另外三個(gè)體心點(diǎn)的矢量構(gòu)成：見圖1-9 b 坷=嗖(J +j +E); a2 二j +E);(1-2)其體積為，.：；配位數(shù)=8;1；一見圖1-8圖1-8體心立方堆積與體心立方結(jié)構(gòu)單元kU.I心立方晶胞、慣用原胞b3簡(jiǎn)單晶體的面心立方 face-ce ntered cubic, fee ,例如，Cu, Ag,

9、 Au, Ni, Pd, Pt, Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al 等。晶胞 基矢，并且八.' 每面中心有一格點(diǎn)其原胞基矢由從一頂點(diǎn)指向另外三個(gè)面心點(diǎn)的矢量構(gòu)成見圖1-10 b:可與0+F；禺 £+咼=丁+?(1-3)其體積二'宀；配位數(shù)=12。 宀一川，見圖1-10圖1-10面心立方結(jié)構(gòu)晶胞a與面心立方慣用原胞b4) NaCI 結(jié)構(gòu)(Sodium Chloride structure )，復(fù)式面心立方互為fcc ，配位數(shù)=6 圖1-11 a表1-1 NaCl結(jié)構(gòu)晶體的常數(shù)a (a(i)LiH4.08AgBr5.77MgO4.2PbS5.92MnO

10、4.43KC16.29NaCI5 63KBr5.595) CsCI 結(jié)構(gòu)(Cesuim Chloride structure )，復(fù)式簡(jiǎn)單立方(互為sc)，配位數(shù)=8(圖1-11 b )。表1-2 CsCI結(jié)構(gòu)晶體的常數(shù)a (a)a U)BeCu2.7LiHg3.29A1N12.S8NH+C13. £7CuZn2.54TIBr3.57CuPd299Csd4.11CsCI結(jié)構(gòu)NaCl結(jié)構(gòu)圖1-11 NaCI結(jié)構(gòu)和CsCl結(jié)構(gòu)6) 金剛石結(jié)構(gòu)(Diamond structure ),兩套fee格子相互沿對(duì)角線位移 1/4 處套合。如 C (a=3.567?), Si(5.431 ? ),

11、 Ge(5.657? ), Sn (6.46 ?);配位數(shù)=4;原胞=fcc布喇菲格子+兩不等價(jià)的C原 子圖 1-12a圖1-12金剛石結(jié)構(gòu)和閃鋅礦結(jié)構(gòu)7閃鋅礦結(jié)構(gòu)Cubic 乙nc Sulfide structure,在金剛石結(jié)構(gòu)中，兩套不等價(jià)的格子分別由不同的原子而非C原子占據(jù)圖1-12b。見下表：表1-3閃鋅礦結(jié)構(gòu)物質(zhì)的晶體常數(shù)a 黃A (A)CuF4.25AlAs5.66SiC4.35GaAs5.155CuCl5.41ZnS5.41A1P5.45CdS5.E2GaAs兩個(gè)'及'晶面方向不等價(jià)，前者為As面而后者為Ga面；它們?cè)谠S多物理、化學(xué)性能上都不一樣例如，腐蝕速度就

12、六方密堆積結(jié)構(gòu)S1-L3不一樣。8六角密堆積hep，由一層層互錯(cuò)的原子層堆而成，重復(fù)周期為二層：ABABABAB;如 Mg, Ce, Co, Zr, Zn, Gd, Cd, Y, Ti,Be, Tl, Se, Te 等。其基矢.：.：_/,-:o fee 也是一種緊密堆積，不同的是，fee的重復(fù)周期為三層：ABCABCABCABG。配位數(shù)=12圖 1-13 。,B'1'廣ZnS有另一種結(jié)構(gòu)，即纖維鋅礦結(jié)構(gòu)與hep很相似，其中A=Zn; B=S;其配位數(shù)也是12,所不同的 是，原子間距不全相等。0 0 Ba Ti圖 1-14鈣鈦礦結(jié)構(gòu)9) 鈣鈦礦(perovskite struc

13、ture )§1-3 14種布喇菲格子和7大晶系布喇菲格子代表晶體基元在空間周期排列的重復(fù)特征，這種微觀的平移對(duì)稱性可導(dǎo)致宏觀上的其它對(duì)稱性，包括轉(zhuǎn)動(dòng)、鏡面、反演點(diǎn)對(duì)稱性。1轉(zhuǎn)動(dòng)：宏觀上，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性具有一次、二次、三次、四次及六次軸對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。角也必定與原格子重合。同理讓轉(zhuǎn)軸通過 B點(diǎn)，A點(diǎn)繞軸旋 轉(zhuǎn)-9角后至A'點(diǎn)，格子也完全重合。二證明：在布喇菲格子中任選 兩近鄰點(diǎn)，A-B;讓轉(zhuǎn)軸通過A點(diǎn)，B點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)9角后至B'點(diǎn)，整 個(gè)格子應(yīng)完全與原來的重合。顯然，轉(zhuǎn) -9平移對(duì)稱性要求 AB/A'B', 并B'A'=mAB m為整數(shù),故有

14、 B'A'二AB+2ABcosa 二AB1-2cos 9 , =180 ° 即 cos 9 =1-m/2; -ivcos 9 <1, m只能取-1, 0, 1, 2 及3,及180° ,這分別對(duì)應(yīng)于 一次、六次、四次、三次及二次軸對(duì)稱性。于是，9只能分別取360° 60° , 90 ° , 120 °2 以這些對(duì)稱性為特征，可分出七類晶系其英文版見附錄二：表1-4 7大晶系和14種布喇非格晶持征布喇菲格子點(diǎn)群國(guó)際符號(hào)a b c簡(jiǎn)單三斜無轉(zhuǎn)軸1JTriclinica /S # 7既無對(duì)稱軸也無對(duì)稱命單斜a b c簡(jiǎn)

15、單單斜屋心單斜2,j?s,2/niMonoclinica=90ay一個(gè)二諛旋轉(zhuǎn)軸，鏡面對(duì)稱直工h * £簡(jiǎn)單正交;底心正交,222F mm2 ,Orthorhombica = x =90°體心正交;面心正交三個(gè)互相垂直ffJ-ffc®轉(zhuǎn)軸三角a = b = c三角3 , T, 32 ,3m fTl / mTrigonala = p = y 90°亍三次旋轉(zhuǎn)軸四方a =方#疔簡(jiǎn)單四肓;體心四方4,耳*4 /耕,422#4初孤可刖2*4 ImmmTetragonala A =尸 90 J個(gè)四次旋轉(zhuǎn)軸I A®a = b c六角6,66/%62乙個(gè)六茨旋轉(zhuǎn)軸HEKagonala=jS= 90=120 9= i? = *簡(jiǎn)單立方;體心立方;23，刑 3 , 432 ，曠3 擁,m 3 m四個(gè)三次旋轉(zhuǎn)軸Cubica = = 90°面心立方關(guān)于晶體對(duì)稱性的操作見附錄三。問題1:為什么沒有底心四方和面心四方？因?yàn)檫@會(huì)構(gòu)成另 一簡(jiǎn)單四方和體心四方問題2: 為什么體心立方不是三角點(diǎn)陣？提示，從對(duì)稱 性考慮問題3： 為什么沒有體心三角？因?yàn)檫@會(huì)構(gòu)成另一套三 角