狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程

1、第二章狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程本章引入描述量子體系狀態(tài)的波函數(shù)，給出波函數(shù)的幾率波解釋和態(tài)的疊加原理兩個量子力學(xué)的根本假設(shè)，在此根底上建立非相對論量子力學(xué)的根本方程一一薛定諤(Schr ?dinger)方程，并通過幾個具體實(shí)例介紹定態(tài)薛定諤方程的解法。§ 2.1波函數(shù)的幾率波解釋1. 波函數(shù)由第一章的討論可知，微觀粒子的波粒二象性是對粒子運(yùn)動的一種統(tǒng)計(jì)性的反映。數(shù)學(xué)上，把這種具有統(tǒng)計(jì)性的物質(zhì)波(粒子波)用一個物理量來描述，稱為波函數(shù)。它是位置(x, y,z)和時間t的復(fù)值函數(shù)，表示為或' (x, y,乙t)。微觀體系的狀態(tài)總可以用一個波 函數(shù)* (r,t)來完全描述，即從這個波

2、函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)，且' ( r ,t)和C (r,t)(C為比例常數(shù))描寫同一量子狀態(tài)。引入波函數(shù)來描寫微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)是量子力學(xué) 的根本假設(shè)之一。2. 波函數(shù)的幾率波解釋在歷史上，人們對波函數(shù)的解釋曾有過不同的看法。有人認(rèn)為波是由它所描寫的粒子組成的；也有人認(rèn)為粒子是無限多波長不同的平面波疊加而成的波包。除以上兩種觀點(diǎn)外， 還有其它一些不同的看法。但是，這些看法都與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，而被物理學(xué)家們普遍接受的解釋是玻恩(Born)提出的統(tǒng)計(jì)解釋，即幾率波解釋。為了說明玻恩的解釋，我們首先來考察 電子的雙縫衍射試驗(yàn)。 在電子的雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中，電子槍發(fā)射強(qiáng)電子束時，熒光屏上馬上顯

3、示出明暗相間的雙縫衍射條紋，這是電子的波動性的表現(xiàn)。當(dāng)電子槍發(fā)射弱電子束時，屏上接收的只是一個一個的亮點(diǎn)(電子)，這表達(dá)了電子的微粒性。假設(shè)對弱電子束的衍射作長時 間的曝光，那么得到的衍射把戲與強(qiáng)電子束的衍射把戲完全相同。實(shí)驗(yàn)說明，在出現(xiàn)亮條紋的地方，亮點(diǎn)較密集，電子投射的數(shù)目較多，即電子投射幾率較大；而在比擬暗的地方，到達(dá) 的電子數(shù)目較少，即電子投射的幾率較小。電子在衍射實(shí)驗(yàn)中所揭示的波動性質(zhì)，可看成是大量電子在同一個實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，也可以認(rèn)為是單個電子在屢次相同實(shí)驗(yàn)中顯示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。因此用來描述具有統(tǒng)計(jì)性的物質(zhì)波的波函數(shù)也一定具有統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)。據(jù)此，德國物理學(xué)家玻恩在1924年提出了波函數(shù)的

4、統(tǒng)計(jì)解釋：空間某點(diǎn)波函數(shù)絕對值的平方乘以該點(diǎn)附近的小體積元d- = dxdydz,即|収r,t )|2 d -表示在t時刻在r點(diǎn)附近d -小體積元內(nèi)找到粒子的幾率。這表示，描寫粒子的波是一種幾率波，而不是真實(shí)存在的實(shí)體，不是可觀測的物理量。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是波函數(shù)的一個重要性質(zhì)。在經(jīng)典物理中，一個經(jīng)典波可以用實(shí)數(shù)也可以用復(fù)數(shù)表示，用復(fù)數(shù)表示僅僅是為了數(shù)學(xué)上的方便，實(shí)際上只有實(shí)部才有物理意義。在量子力學(xué)中，波函數(shù)一般必須用復(fù)數(shù)表示，有物理意義的既不是實(shí)部，也不是虛部，而是它的絕對值的平方|収r, t )|2，它表示粒子在空間 r點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的幾率稱為幾率 密度，通常用 w(r,t)表示，

5、而 書叫幾率振幅，或幾率幅。練習(xí)1:設(shè)粒子波函數(shù)為' x, y,z，求在xx dx范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。解：由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋可知：2p | d .代表在x > x dx, y > y dy,z > z dz范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，那么在x. x dx范圍內(nèi)不管y , z取何值的幾率為|2 dydz dx.練習(xí)2：設(shè)在球坐標(biāo)中，粒子波函數(shù)為r, 求：1在球殼r,r dr 中找到粒子的幾率，2在方向的立體角 小中找到粒子的幾率。解：在球坐標(biāo)中，體積元的形式為d 二 r2dr sin 閔訶 ，1在球殼r,r dr中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為2 二二.r, Msir2dr2在兀方向的立

6、體角中找到粒子的幾率為O0.r |2r2drd1 ,0其中 d1=sin d d .3. 波函數(shù)的歸一化量子力學(xué)第一根本假設(shè)告訴我們，|2與i2描寫同一微觀狀態(tài)，這是因?yàn)?c 2和P |2表示的幾率分布是一樣的。比方粒子出現(xiàn)在空間彳與D兩點(diǎn)的相對概率可表示成：|C ntj二 GtJ 。這說明量子力學(xué)中波函數(shù)描述的是相對幾率密度分布。這與經(jīng)|C即并M典波聲波、光波等完全不一樣，經(jīng)典波的振幅增加一倍，那么其波動能量增加為原來的四倍，為兩種完全不同的態(tài)。既然 r ,t |2 d 表示t時刻，r點(diǎn)附近d.體積元發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，而非相對論下，實(shí)物粒子不會產(chǎn)生或湮滅，必定會在空間某點(diǎn)出現(xiàn)， 那么對一個粒子

7、而言， 它在整個空間出現(xiàn)的幾率為1數(shù)學(xué)上表示為：(1)2.1(r,t)| d =1.0這稱為波函數(shù)的歸一化條件，滿足上式的波函數(shù) r ,t稱為歸一化的波函數(shù)。為方便引入符號QO那么歸一化條件可簡寫為：:'21或V 21。由于與描寫同一量子狀態(tài)，所以描寫同一量子狀態(tài)的波函數(shù)形式不是唯一的,般情況下，我們都是選取歸一化了的波函數(shù)來討論問題，對不是歸一化的波函數(shù)門-&：，通常需要把波函數(shù)歸一化，即要求C'滿足下面條件:|C'T2 d =1,(3)O0式中積分號下的無限大符號表示對整個空間積分。由3式有|C|2=N I2 小 *0(4)C稱為歸一化常數(shù)，其解具有不確定性

8、，可以是正負(fù)實(shí)數(shù)，也可是復(fù)數(shù)。如考慮一個常數(shù)ei;-2二CeL 2, eL'-稱為相因子。由此可見，歸一化后的波函數(shù)可以含有一任意相因子，仍然不是完全確定的， 為了方便，一般規(guī)定歸一化常數(shù) C取正實(shí)數(shù)，不討論相因子6 =0,這樣歸一化的波函數(shù)不會有相因子的不確定性。6為實(shí)常數(shù)，因?yàn)閨尹廣=1，貝U C例 假設(shè)粒子在一維空間中運(yùn)動，描寫它的波函數(shù)為- W.'-x,t=Ae22 ,A為任意常數(shù)。式中：和為常數(shù), 求：123歸一化波函數(shù)；粒子坐標(biāo)的幾率密度分布；粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。解：1在一維空間中，歸一化條件為2.(X,t) dx =1 ,于是有所以嚴(yán) 2 22e"

9、dx = 2 A_oQ2= 2|A|歸一化的波函數(shù)為屮x,t=12e2粒子坐標(biāo)的幾率密度分布為3根據(jù)求最大值的條件，令00 2 2ex dxow(x)斗- (x,t) I2 二-5e*2dw(x)小0 ,dx那么有2 a “2 x2-2 a xe 0 ,可得x = 0 ,即在x =0處粒子出現(xiàn)的幾率最大。并不是所有的波函數(shù)都可以按1式或3式進(jìn)行歸一化。這種歸一化條件要求波函 數(shù)絕對值平方在整個空間是可以積分的，如果這個積分是發(fā)散的， 那么不能使用上述歸一化條件。關(guān)于這類波函數(shù)如何歸一化，以后遇到再介紹。4.自由粒子運(yùn)動的波函數(shù)一一平面波自由粒子不受外場的作用，其能量E和動量P均不隨時間變化。由

10、德布羅意關(guān)系知道,與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，它的頻率和波長都不變，數(shù)學(xué)上稱為平面波。角頻率為 ，波長為，沿x軸正向傳播的平面波可表示為：y 二 Acoskx-珂,52兀式中k。有時為了數(shù)學(xué)上的方便，也用復(fù)數(shù)形式表示：y二人嚴(yán)亠,66式中有物理意義的是其實(shí)部。在量子力學(xué)中波函數(shù)一般取復(fù)數(shù)形式，所以描寫一維自 由粒子的平面波波函數(shù)取為：Pe將德布羅意關(guān)系k = p，二j代入7式，得到具有確定動量 Px的一維平面波波函數(shù):nnPxX上t' pxx,tAe，將8式推廣至三維情況，具有確定動量p的自由粒子波函數(shù)為i » p.r_Et' p r,t二 Ae ，在某一時刻，如t

11、 =0,具有確定動量 p的平面波函數(shù)表示為iprp (r)二 Ae .(9)(10)微觀粒子的量子狀態(tài)用波函數(shù)來描述,這與經(jīng)典力學(xué)的描述方法完全不同。在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的坐標(biāo)和動量有完全確定的數(shù)值,并且一旦給定某一時刻粒子的坐標(biāo)和動量,不但§ 2.2態(tài)的疊加原理可確定該時刻粒子的狀態(tài)，而且可以確定以后任何時刻粒子的狀態(tài)。而在量子力學(xué)中，粒子的力學(xué)量如坐標(biāo)、動量等一般可以有許多可能值，這些可能值各自以一定的幾率出現(xiàn)。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的這種差異來源于微觀粒子的波粒二象性，這種性質(zhì)由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋來表現(xiàn)，還可通過態(tài)疊加原理表現(xiàn)出來。1. 態(tài)的疊加原理假設(shè)體系具有一系列不同的可能狀態(tài)屮匕

12、，屮2,，屮n，,那么這些不同的可能狀態(tài)的線性疊加態(tài)=7= *叨2 川C0n 川='、CnS G為復(fù)常數(shù),也是該體系的一個可能n的狀態(tài)。態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的一個根本假設(shè)，無法從更根本的概念把它推導(dǎo)出來，它的正確性由實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。2. 量子力學(xué)對態(tài)疊加原理的解釋設(shè)體系有兩個可能的狀態(tài)和2。當(dāng)在一：1狀態(tài)下，無論何時測量體系的某物理量G 如能量時，都有一個確定值g1 ；當(dāng)在2狀態(tài)下，無論何時測量某物理量G，都有一個確定值g2。根據(jù)態(tài)疊加原理，：二昭 V 也是體系可能的狀態(tài)，那么在屮態(tài)下測量力學(xué)量G ,能得到什么樣的結(jié)果呢 ？量子力學(xué)告訴我們，在'態(tài)下測量力學(xué)量 G ,每次測得 的結(jié)

13、果是不確定的，即可能是g1,也可能是g2 ,但不會是另外的值，而測得g1及g2的相對概 率是確定的。從數(shù)學(xué)上講，態(tài)的疊加原理就是幾個函數(shù)相加等于另一個函數(shù)，沒有新的物理意義.從經(jīng)典物理角度來看，量子力學(xué)對疊加原理的解釋是不可理解的。量子力學(xué)認(rèn)為當(dāng)粒子處于疊加 態(tài)'時,粒子既處在'-1態(tài),又處在2態(tài),只有這樣理解，才能夠解釋為什么在疊加態(tài)下測量力學(xué)量G有時測到g ,而有時測到g2這種事實(shí)。疊加原理的正確性是通過實(shí)驗(yàn)事實(shí)驗(yàn)證 了的。3. 任意波函數(shù)的平面波展開在經(jīng)典力學(xué)中，任何復(fù)雜波都可以看成是許多頻率不同的簡諧波疊加而成在量子力學(xué)中,波函數(shù)也有類似的特點(diǎn)，根據(jù)疊加原理，任意一個波

14、函數(shù)' (r,t)都可以看成是各種不同動量的單色平面波的疊加.以一個確定的動量 p運(yùn)動的粒子的波函數(shù)為一個平面波，其波函數(shù)為'(p.r_Et)' p (r ,t)=Ae .( 1)任意波函數(shù)(r,t)可按上述平面波展開：' (r,t)八 c( p) p(r,t)p考慮到動量p可以連續(xù)變化，求和應(yīng)改為積分：' (r,t)二c(p)'- p(r,t)dp1 p r . Et 二 A ；c(p)e e " dp(3)be7 P.r二 A_c(p,t)edp ，oO上式中采用了記號c( p,t) =c( p)e * .取歸一化常數(shù)A =(2 十

15、)21乂. p.r' (r,t)二3 . ：_c(p,t)e dp. (2 二護(hù)(4)(4)式表示任意波函數(shù)(r,t)可以看成是將具有任意動量值p的平面波疊加在一起，在數(shù)學(xué)上就是匸(r,t)的傅立葉展開。4.動量表象中的波函數(shù)(4)式的逆變換為1： ：- p.rc( P,t)二3(r,t)e dr，(2對尸(5)(4 )、( 5 )兩式互為傅氏變換，由此可見， (r ,t)和c( p,t)是對應(yīng)的：-(r ,t), c( p,t)就完全確定了反之亦然。既然 (r,t)是完全描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，因此c( p,t)也可以用來完全地描述粒子的狀態(tài)。它們是同一個狀態(tài)的兩種不同的描述方式。兩者

16、的區(qū)別在于：(r,t)是以坐標(biāo)為自變量，稱為坐標(biāo)表象的波函數(shù)；c( p,t)是以動量為自變量，稱為動量表象的波函數(shù)。由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：(r,t) I2 dxdydz表示t時刻，r點(diǎn)附近d .體積范圍內(nèi)找到粒2子的幾率，那么c( p,t)dpxdpydpz表示t時刻,粒子動量取值在Px L Px dx,PyLPy，dy,彼LPzdz范圍的幾率。相應(yīng)的，(r,t)|2表示t時刻，r2點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率，而c( p,t)表示t時刻，動量為p的粒子概率。|屮(r ,t)2和c( p,t/分別稱為坐標(biāo)幾率密度和動量幾率密度。一般在量子力學(xué)中討論坐標(biāo)幾率密度分布與動量幾率密度分布，我們只討論

17、一維情況，即1；px' (x,t)1 c(p,t)e dp,(6)(2 吋/ "1說-J-pxc(p,t)二 j(x,t)e" dx.(7)假設(shè)僅考慮在某一時刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)系，在(6)、( 7)式中取t = 0，那么有1七C px' (x)；c(p)e dp，(8)(2二臚1 pxc( p)一一-(x)e dx.( 9)(2兀方)2例一維運(yùn)動的粒子處在3，-(x)二 2'2xe'x,x-0 ;(0,x v 0的狀態(tài)，其中0。求：(1 )粒子在動量表象中的波函數(shù)，(2 )粒子坐標(biāo)幾率密度分布，(3)粒子動量幾率密度分布。解：(1)將(

18、x)帶入(9)式后做分部積分，便有1c( P，t)1(2二擰0：xe 嚴(yán)dx(2)粒子坐標(biāo)幾率密度分布為ri 2P2(Tp(護(hù)(x) |2h*(x)'-(X)十(x)2二 4 3x2e，x(3)粒子動量幾率密度分布為*I c( p) | -c (p)c(p)=(1P、2P、22燈3二(節(jié) P2)2.§ 2.3薛定諤方程在經(jīng)典力學(xué)中，體系運(yùn)動狀態(tài)用坐標(biāo)和動量描述，它們滿足牛頓方程， 如果知道初始條件，由牛頓方程可求出體系在其后任何時刻的運(yùn)動狀態(tài)。在量子力學(xué)中，由量子力學(xué)第一基本假設(shè)(波函數(shù)假設(shè))可知，體系的運(yùn)動狀態(tài)由波函數(shù)*(r,t)來完全描述，(r ,t)如何隨時間演化？它滿

19、足什么樣的運(yùn)動方程呢？為答復(fù)這一問題，我們給出量子力學(xué)第二根本假 設(shè)，即薛定諤方程假設(shè)：體系的狀態(tài)波函數(shù)<(r ,t)滿足薛定諤方程W r ,t),(1)其中R為體系的哈密頓(Hamilton )算符。對于薛定諤方程應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： 薛定諤方程是1926年由薛定諤提出來的，它是量子力學(xué)的一個根本假設(shè)，不能從理論上推導(dǎo)出來，它的合理性已由實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。薛定諤方程既然描述波函數(shù)' (r, t)隨時間t的演化規(guī)律，就必然含項(xiàng)，但不含亠三:t: t21.項(xiàng),否那么要用兩個初始條件(r,0)及：八(rhr才能確定(r,t),這就意味著體系的 ct-初始狀態(tài)不能由波函數(shù)(r ,0)完全描述,違

20、反了波函數(shù)完全描述量子狀態(tài)的根本假設(shè)。薛定諤方程是虛數(shù)域上的方程，所以* (r,t)一般表述為虛數(shù)。薛定諤方程適用于非相對論粒子。當(dāng)力 0時，它能過渡到經(jīng)典牛頓方程。下面我們來討論幾種情況下的薛定諤方程。自由粒子的薛定諤方程一個自由粒子不受勢場作用，其波函數(shù)為平面波：；(P r_Et)- (r ,t) = Ae"(2 )式是自由粒子薛定諤方程的解，兩端對時間求一階偏導(dǎo)數(shù)，可得d ；:,-'(r,t),.iE (r,t)，由(3)式可以看出，粒子能量E與下面作用在波函數(shù)上的算符相當(dāng):ct(3)(4)稱為能量算符。再求(2)式兩端分別對坐標(biāo) x,y,z的二階偏導(dǎo)數(shù)：(-曲Jex(

21、訓(xùn)2 ；：2 -'(-請)2將、(6)、(7)式相加，得-2-2(-i 方)2(+= +excycz-2(8)算符=ex-2 - 2 - 22222，且 P = P Px :y'zP22Pz ，-2)'(r,t) =(Px2Py2Pz2)- (r,t)所以(8)式可寫為(9)(_清)2 2'- (r,t)工 p2- (r,t).由(9)式可以看出，粒子的動量 p與下面作用在波函數(shù)上的算符相對應(yīng):稱為動量算符，其三個分量式為？x = 厶,?y = -i對于自由粒子，能量與動量的關(guān)系滿足(11)為粒子的質(zhì)量。(11)式兩邊同乘-(r, t)，得2(12)E屮(r ,

22、t)=屮(r,t).將(4)、( 10)兩式代入(12)式可得請葺衛(wèi)_£宀(r,t)，(13)這便是自由粒子的薛定諤方程。2匸，自由粒子勢能為零,2考慮到自由粒子的動能 T二 ，可引入動能算符2卩其總能量就是它的動能，即 H =T ，H為經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓量。由此引入哈密頓算符:4仁_尹廠，那么(13)式可表示為:(14)2.勢場中粒子的薛定諤方程勢場中運(yùn)動的粒子，其總能量為動能與勢能之和.設(shè)粒子在勢場中的勢能為u(r)， 那么粒子的能量和動量關(guān)系式為2E 訪 U(r)( 15)上式兩邊同乘屮(r,t)，并以(4)、( 10)兩式代入，可得2i(r,t)=2 U(r)'- (

23、r,t)，(-t2該式即為勢場中運(yùn)動粒子的薛定諤方程。2此種情況下，H =比 U(r)，相應(yīng)的哈密頓算符為2卩H?2 Ur， 172A代入16式得ir,t = H? r,t . 18t對于不同的運(yùn)動粒子，方程中的H?具有不同的形式。方程18稱為含時薛定諤方程。3.多粒子體系的薛定諤方程N(yùn)個粒子的體系，其坐標(biāo)分別為 匚2川5，體系總波函數(shù)為匚，2,川5的函數(shù),即*二ri,r2 JIIrN ,t，體系總能量為E =T U，即2PiUr,r2川口.19N體系勢能U包括N個粒子在外場中的勢能V U ri與粒子間的相互作用能i TVri ,2川1山。上式兩邊同乘波函數(shù)r1 ,r2rN ,t，并作代換l?

24、=i ，Pi = -旅，.t那么得QN巒2irj，Tn ,t=i2 Uri,r2，m - n ,e，g ,t. 20-ti 二 2 i這便是多粒子體系的薛定諤方程，按照前述規(guī)那么，體系的哈密頓算符為N護(hù)H?i2 U斤,艱川,m.21i* 2J練習(xí)：寫出氦原子核帶有 +2e電荷中的兩電子體系的哈密頓算符及相應(yīng)的薛定諤方程。 解：由21式，該體系的哈密頓算符為H?：.J_務(wù) e -i 壬 2叫 4二；° y 斤 4二；o | - a |相應(yīng)的薛定諤方程為i環(huán)Tt二 H?'-百，r2,t.-t4. 算符小結(jié)這里我們對前面給出的算符形式作個小結(jié)。能量算符：律.動量算符：? = -i方

25、y ,其分量px =， 0=一請£，直=一請£.excycz動能算符：T?A2卩勢能算符：U?(r) =U( r).哈密頓算符:H? =T? U(r)2 U(r).2P能量算符與哈密頓算符是有區(qū)別的，當(dāng)u不含時時，H?與E?一致，也可以叫能量算符。2 2對于自由粒子U r=0，所以有H?。2卩§ 2.4定態(tài)與定態(tài)薛定諤方程含時薛定諤方程反映了波函數(shù)如何隨時間演化問題。此波函數(shù)是普遍的，可以描寫任意量子態(tài)。這些量子態(tài)中包括能量本征態(tài)能量具有確定值狀態(tài)，動量本征態(tài)動量具有確定值狀態(tài)，能量疊加態(tài)能量無確定值狀態(tài)等。本節(jié)我們討論一種特殊而常見的狀態(tài)， 即定態(tài)；給出定態(tài)波函

26、數(shù)的形式及其所滿足的運(yùn)動方程一一定態(tài)薛定諤方程。1.定態(tài)假設(shè)勢場U r不顯含時間t,那么每次測量體系的能量時均有確定值，體系所處的這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時，體系的波函數(shù)及薛定諤方程有什么樣的數(shù)學(xué)形式呢?2.定態(tài)薛定諤方程U r不含時時，含時薛定諤方程為2ir ,t=2 U r r ,t. 1-t2 -設(shè)方程的特解為' r,trft，2代入1式，經(jīng)別離變量可得如下兩個方程-：t(3)方程(3)的解是(5)J Etf (t) =Ce ,將(5)式代入(2 )式，并將常數(shù)C歸入r)內(nèi)，那么有二 Et' (r,t)= - (r)e ,(6)式中，E是體系處于這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時的能

27、量。由此可見，體系處于定態(tài)時，能 量具有確定值。描寫該狀態(tài)的波函數(shù)(6)式稱為定態(tài)波函數(shù)。引入哈密頓算符2 2R2 U(r),2卩(4 )式可寫為r? (r )= E (r).( 7)該方程不含時間t，稱為定態(tài)薛定諤方程。 這種類型的方程稱為本征值方程，E稱為算符H?的本征值(即能量本征值)稱為算符H?的本征函數(shù)，它所描述的狀態(tài)稱為本征態(tài)。練習(xí)i自由粒子的單色平面波是否處于定態(tài)？答：自由粒子無外場作用處于定態(tài)，其波函數(shù)形式為ii(p r -Et)Et(r ,t)二 Ae(r)e .練習(xí)2幾個不同單色平面波的疊加態(tài)是否為定態(tài)？答：不是，因?yàn)槟芰坎淮_定。疊加態(tài)的波函數(shù)為' (r，t)二 C

28、j pi(r,t) Cp2'- p2(r,t) III4 Ep t4 Ep tPi()訂 p 1 - p2(r)p2 Jl| .練習(xí)3兩個沿相反方向傳播的具有相同能量(同色)的平面波疊加態(tài)是否為定態(tài)？答：以上平面波疊加以后形成駐波，處于定態(tài)。假設(shè)所討論體系所處外場 U(r)不顯含時間，即為定態(tài)問題。這時求體系的波函數(shù)' (r,t)及與此定態(tài)相對應(yīng)的能量 E，就歸結(jié)為解定態(tài)薛定諤方程(7)，求出'(r)和E。函數(shù)* (r)求出后乘上時間因子 e=戶，即為定態(tài)波函數(shù)。有時為了方便，也稱(r)為波函數(shù)。En表示體系般來說，方程(7)的解不唯一，即可能的態(tài)和可能的能量不只一個，

29、以能量算符的第n個本征值，' n(r)是與En相應(yīng)的波函數(shù)，那么相應(yīng)能量本征值方程為(8)體系第n個定態(tài)波函數(shù)是' n(r,t) = n(r)e下和.含時薛定諤方程的通解，可寫為這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加(9)' (r,t)二為 q? n(r,t)二為 q? n(r)e? nnn(10)t時的波函數(shù)。設(shè)定態(tài)波函數(shù)在定態(tài)問題中，假設(shè)波函數(shù)初始值，那么可確定任意時刻Et為 (r,t) "r)eh ，'-: (r)為任意時刻波函數(shù)的坐標(biāo)局部。當(dāng)t = 0時，-：(r,0)(r)。在定態(tài)下，坐標(biāo)幾率密度分布不隨時間變化，即(r,0) I2(r,t)|2=： (r

30、) |2，那么i Et' (r ,t)( r ,0)i ，(11)可見U (r)不含時時，知道初始時刻的波函數(shù),乘上時間因子后就是t時刻的波函數(shù)。練習(xí)1一維自由粒子在初始時刻的波函數(shù)為' (x,0)",求其在任意時刻的波函數(shù)' (x,t)。解：自由粒子U(r)=0, U不顯含時間t，屬定態(tài)問題。由(11)式:-J-Et' (r ,t) - (r,0)e，2E亠2m2_ P02m，. 2i P0 t 入2m式中Po為初始時刻動量，所以ipx(r,t)re e(2兀血2練習(xí)2設(shè)一非定態(tài)波函數(shù)在t = 0時為' (r,0) y Ei(r) C2- E

31、2(r),求任意時刻該波函數(shù)的形式(r ,t)。解：任意時刻該波函數(shù)的形式為' (r,t) J e,r,t)'飛(r,t).Eit.E?t= '-e1( r ,0)e：'-2 (r ,0)e：E1tE2te,r)e "c e2(r)e '.練習(xí)3當(dāng)體系勢能改變一常數(shù)，粒子的能量本征函數(shù)是否改變？能量本征值是否改變？解：設(shè)哈密頓算符H?0的本征方程為H>n(r) = En(r)，當(dāng)體系勢能平移 一u0時，即H? = R0 _u0,那么H?滿足的本征值方程為H?- n(r)皿0 U。)- n(r) =(E： U。)- n(r)，所以H?與H?

32、0的本征波函數(shù)是一樣的，而H?的本征值變?yōu)閑0 _u0。§ 2.5幾率流密度與幾率守恒定律體系波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律滿足薛定諤方程，而本身無經(jīng)典物理意義，有物理意義的是|2=w( r,t)，稱之為幾率密度。那么一個在勢場 U (r)中運(yùn)動的粒子，它的幾率密 度隨時間的變化滿足什么樣的方程呢？下面就這一問題進(jìn)行討論。1.幾率守恒定律設(shè)描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)為(r,t)，那么在時刻t在r點(diǎn)附近單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率(即坐標(biāo)幾率)是(1)w(r,t)(r,t)廣=*(r,t)' (r,t)，w隨時間的變化率是iw _ 叮-，:*二；:t；:t；:t由薛定諤方程(§2.5節(jié)

33、(16)式)可得-：t(3)3式中，我們假定 U r不含時，并且為實(shí)數(shù)，即 U =：U 在量子力學(xué)中，如不做特別聲明，都假定U取實(shí)數(shù)，那么上式的復(fù)共軛方程為丄i2*1*U r- . 4過2詢將3、 4式代入2式中，得史=也：、22 *厲2也屮*0屮屮N屮* 52 Ji2(6)那么5式可寫成co.:t_J = 0.此方程是經(jīng)典物理中的連續(xù)性方程，量子力學(xué)稱之為幾率守恒定律微分式7，也叫粒子數(shù)守恒定律。在方程7中，W代表幾率密度，而按照連續(xù)性方程， 叫做幾率流密度。為了進(jìn)一步說明 7式的意義，我們將 得J應(yīng)具有流密度的含義，所以7式對空間任意體積V求積分©wd 二- '、LJ d

34、 -,( 8)VV8 式可進(jìn)一步寫為wd：tv=-Q4Jds .s(9)V中增加的幾率，等于從體9式也稱為幾率守恒定律的積分式，它表示單位時間內(nèi)體積 積V外部穿過V的邊界面s而流進(jìn)V內(nèi)的幾率。而矢量 J的大小表示單位時間內(nèi)流過垂直 于流動方向單位面積的幾率， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)幾率流動的方向。 幾率為什么會流動呢？在外場U r的作用下，粒子在 r處出現(xiàn)的幾率密度 W可能會隨時間變化，有的地方密度增加了， 有的地方密度減少了非相對論粒子既不產(chǎn)生，也不湮滅，總數(shù)目不變，這說明幾率在流動。練習(xí)：假設(shè)波函數(shù)r,t與坐標(biāo)有關(guān)的局部是實(shí)數(shù)，證明幾率流密度等于零。證明：*為實(shí)數(shù)波函數(shù)，即 ；：丁 ,由6式可得J

35、= 0，即實(shí)數(shù)波函數(shù)的幾率流密度為零。將(9)式的積分區(qū)域 V擴(kuò)展到整個空間，這時 S界面之外的幾率為零，那么有d 2T d . =0 ,( 10)dt:;這說明2-j 慶二常數(shù)。(11)oO即對一個粒子來說，在全空間發(fā)現(xiàn)該粒子的幾率與時間無關(guān)，為常數(shù)；但是在有效體積 V內(nèi)找到粒子的幾率與時間有關(guān)。初始時刻，如果'為歸一化的，那么在以后任意時刻t, t總是歸一化的，在全空間內(nèi)找到粒子的總概率是1。對非相對論實(shí)物粒子，無產(chǎn)生、湮滅現(xiàn)象，幾率守恒即相當(dāng)于粒子總數(shù)守恒。2 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件粒子的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述。那么怎樣的函數(shù)才能作為波函數(shù)，或者說數(shù)學(xué)上要求波函數(shù)滿足哪些條件呢？(1

36、) 單值性2' (r ,t)代表粒子的幾率密度，物理上要求它是單值的。 這樣r ,t)不一定是單值的，但只要(r,t)是r , t的單值函數(shù)，j連續(xù)性由于 w及J應(yīng)當(dāng)連續(xù)，且定態(tài)薛定諤方程包含' (r,t)對坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，因此要求' (r ,t)及其對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。當(dāng)勢能躍變?yōu)橛邢拗禃r，上述性質(zhì)依然成立；當(dāng)勢能躍變?yōu)闊o限值時，''不連續(xù)，波函數(shù)的連續(xù)性意味著0，所以一個粒子不可能進(jìn)入U -：:的空間。 有限性(平方可積性)這是說粒子在有限的空間范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率有限，即2卜|二有限值.V以上三個條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。這些條件在求解量子力學(xué)問題中

37、具有重要的作 用。實(shí)際上在勢能間斷點(diǎn)處邊界條件的實(shí)質(zhì)是，要求幾率密度連續(xù)和幾率流密度連續(xù)。在多數(shù)情況下，這種要求可以簡化為波函數(shù)連續(xù)和其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。在特殊情況下(如U =二),其波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，但其幾率流密度卻是連續(xù)的。定態(tài)波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在勢能存在 無窮大時是不連續(xù)的，這可以分為三種情況： .U連續(xù)或不連續(xù)，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；就是單值的，這就是波函數(shù)單值性的含義。 .U趨向無窮大一階，波函數(shù)連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)； .U趨向無窮大二階以上，波函數(shù)不連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。§ 2.6定態(tài)問題之一維無限深勢阱求解薛定諤方程是量子力學(xué)的核心任務(wù)。從本節(jié)起，我們將討論在幾種不

38、同勢場下定 態(tài)薛定諤方程的求解問題。我們只研究較為簡單的一維情況，首先討論一維無限深勢阱問 題。如圖2-1所示，對稱勢場(1)a|x|_a0圖2-1一維無限深勢阱稱為一維無限深勢阱。它是一種最簡單的勢形式，金屬中自由電子的運(yùn)動就可以簡化為在該 勢場中的運(yùn)動。在勢阱內(nèi)，體系滿足的定態(tài)薛定諤方程為擴(kuò) d2- X 廠dx2=E (x)| x p： a .在阱外，定態(tài)薛定諤方程形式為方2 d2- (x)F dx2U? (x)(x)|x|_a，(3)式中U°r。由波函數(shù)的連續(xù)性和有限性條件，粒子進(jìn)不到勢場為8的區(qū)域，即將2式變形，得'-(x)=0,|x|_a.d22lE.2'

39、(x) 廠-(x)=0.dx(4)(5)由能量動量關(guān)系式2E二p2及德布羅意關(guān)系式 p2二方2k2，得k2代入5式，方程變?yōu)閐 勺 x+k劃x=0, |x|ca.7dx其解為'- x=C|Sinkx c2,|x|：a.8在邊界處由4式得G sin-ka g =0,Gsinka =0.即-ka C2 =i二，i =0,_1,_2川；9ka C2 = j二，j =0, _1, _2|l .10將上面兩式相減，得2ka = j -i 二-n二.11式中，取n =1,2,3 "I。當(dāng)n=0時，k=0，E=0，粒子能量恒為零，沒有物理意義。當(dāng)n為負(fù)數(shù)時，不給出新的解。將11式兩邊平方后

40、代入6式，得到體系的能量為n2算2方2En盯，n =1,2,311. 128 "aEn代表體系的能量本征值，n為量子數(shù)。對于量子數(shù) n的全部可能值，有無限多個能量值，因而能量是分立的，它們構(gòu)成體系的分立能級，又稱為能量量子化。將9、 10式聯(lián)立，確定出 c2，并與En 一同代入到8式，根據(jù)波函數(shù)的歸一 化條件，并考慮到4式，可得體系的波函數(shù)為1n 二' nx sin x a,|x|：a ;Ta2a 13yx=0,|x莊 a .n x稱為體系的能量本征函數(shù)。下面對解的物理意義作幾點(diǎn)討論： 束縛態(tài)與分立能級。由13式可見，粒子被束縛在-a ： x ： a的區(qū)域內(nèi)，不可能進(jìn)入無窮遠(yuǎn)

41、處。這種粒子的運(yùn)動被限制在一定空間范圍內(nèi)的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一般的，束縛態(tài)的能量只能取分立值,稱為分立能級見12式。 基態(tài)。體系能量最低的狀態(tài)稱為基態(tài)。一維無限深勢阱中粒子的基態(tài)是n =1的本征兀2舟2態(tài)，其本征能量為 巳，這是與經(jīng)典粒子的一個本質(zhì)區(qū)別，是微觀粒子波動性的8也2表現(xiàn)。在經(jīng)典物理中，粒子的能量可以為零，即有靜止的粒子；而在量子力學(xué)中，沒有能量 為零的波，也即沒有靜止的粒子。 激發(fā)態(tài)。n 1的狀態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。激發(fā)態(tài)的能級與量子數(shù)的平方成正比，能級分布 不均勻；當(dāng)量子數(shù)很大時，能級可以看作是連續(xù)的，量子效應(yīng)消失而過渡到經(jīng)典情況。4圖2-2給出一維無限深勢阱中粒子的前四個能量本征函數(shù)，由

42、圖可看出，*n有n-1個節(jié)點(diǎn)。J/>oa "a w-aa a aa圖2-2.一維無限深勢阱的能量本征函數(shù) 阱內(nèi)駐波。假設(shè)阱內(nèi)為駐波那么此波在-a與a處為節(jié)點(diǎn)處，即尹2a,心23山.將實(shí)物粒子波二一 -r代入上式，并平方得pJE體系可能的能量為 E - En -2 2n -8耳2 ，n =1,231丨，這與12式完全相同，說明粒子完全n2 h2束縛在阱內(nèi)，形成駐波。 對稱勢阱中波函數(shù)的宇稱。波函數(shù)在空間反演(r?-r)下的奇偶性稱為宇稱。假設(shè)' ( -r) =-: (r)，稱為偶宇稱態(tài)；假設(shè)- (-r) = - (r)，稱為奇宇稱態(tài)。對于能量本征函數(shù)m1n兀mn兀 n (

43、x) sin (x a)，當(dāng)n為奇數(shù)時，可化為 n(x)二Acos( x)，那么有Ja2a2atn(-X)J：n(X)，是偶宇稱態(tài)；當(dāng) n 為偶數(shù)時，t n(X)二 Bsin( X)，即t n(-x =(n)X，2a是奇宇稱態(tài)。練習(xí)1在一維勢場中運(yùn)動的粒子，勢能對原點(diǎn)對稱：U (_x)二U (x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。練習(xí)2：一粒子在一維勢阱L , a° , |XK-，U(x)才2旳，|xj ,中運(yùn)動，求其能量本征值 En及能量本征函數(shù)n . 阱內(nèi)粒子的第n個定態(tài)波函數(shù)為- n(x,t)二 n(x)e ： “ 二 丄 sin J (x a)e I( 14)、a 2a&

44、#167; 2.7定態(tài)問題之一維線性諧振子在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)量為的粒子受到彈力F二- kx作用時，其勢能為11U kxX，粒子將作簡諧振動，其振動方程為x = As in (；rt：；)，其中A為振22幅， 為振動角頻率，為初相。在量子力學(xué)中，也把在勢場U =丄kx?X中運(yùn)動2 2的微觀粒子稱為一維線性諧振子，其勢能曲線為一拋物線，如圖2-3所示。討論線性諧振子問題具有非常重要的意義。許多微觀體系的運(yùn)動可以近似地看成是平衡位置的線性諧振子運(yùn)動，如原子核內(nèi)核子的簡諧振動，原子和分子的簡諧振動等等。而許多復(fù)雜的微觀運(yùn)動也可以看成許多線性諧振子簡諧振動的疊加。下面我們就來解量子力學(xué)中的線性諧振子問題，

45、即求體系的能級和波函數(shù)。圖2-3線性諧振子的勢能曲線體系的定態(tài)薛定諤方程為H?(1)線性諧振子的哈密頓算符為H? =T? LP 二2上式中，仁一門2為動能算符，皿亠為勢能算符為坐標(biāo)位置算符。于是,方程1可寫成(x)(-丄.22X2 _ E)(x) = 0(3)為了方便引入變量利用dx ddxd'-及三X,ot =2篤，并引入?yún)?shù)d(4)(5)方程3可化為亡® ( - 2)'( )=0.(6)2E屜，方程在區(qū)間的解。當(dāng) 二:：時，方程6 可寫為6是變系數(shù)二階常微分方程?？上惹蟪龇匠淘谝?：時的漸進(jìn)解，然后再求方程它的解是-=e2，根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，當(dāng) j 心時匸為有

46、限，所以取2 -=e2。于是可寫成如下形式2:o=e2H， 8式中，待求函數(shù) HJ在為有限時應(yīng)是有限的，而當(dāng)一；，：時，H的行為也必須保證為有限。將8式代入方程6 中，得到H滿足的方程d2H()( -1)H( ) =0.(9)可以證明，只有當(dāng)=2n 1,n = 0,1,2 |(10)時，方程9才有一個多項(xiàng)式解，保證滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。將10式代入5式得1En =n h ,n 二 0,1,2.112這是一維線性諧振子的能量本征值。對于不同的En，方程9有不同的解H，它可用以下微分式表示:Hn 施HnC) = (-1)n edne，(12)稱為厄密Hermitian 多項(xiàng)式。它滿足如下遞推關(guān)系d

47、Hn()d= 2nHn-1()，(13)Hn1 -2 Hn 2n Hn=0. 14F面列出前面幾個厄密多項(xiàng)式泊0(1，1(令=2H2(J=4t2-2,JH3(E) =8少-12匚(佝由8式，對應(yīng)于能量 En的波函數(shù)是- n( )=2出(対 ，- n(X)=恥叫(：畑/"其中，Nn是歸一化常數(shù)，由波函數(shù)的歸一化條件可定出Nnot2nn!.二(17)線性諧振子前面幾個波函數(shù)為屮 0(X)=12 2pax屮1(x)=2a廿xe屮2(x)=J茁(2a x -1)e 2- 3(x)二a3.2(18)第n個定態(tài)波函數(shù)形式為丿授x2- n(x,t)二 NnHn(2x)e2- e下面對解的情況作幾點(diǎn)

48、討論：由于線性諧振子的勢能在 X;：時,n =0,1,21山(19)趨于無窮大，那么粒子不能運(yùn)動到無限遠(yuǎn)處， 處于束縛態(tài)，這與一維無限深勢阱中的粒子情況相同。所以其能量也取分立值：1En =(n)方，能量是量子化的(圖 2-4 )。21 諧振子的基態(tài)能量 Eo，稱為零點(diǎn)能，與經(jīng)典力學(xué)不同，量子力學(xué)中沒有能2量為零、靜止的波。圖2-4線性諧振子的能級 諧振子相鄰能級差為 AE二En勺- En二力.，是均勻分布的。線性諧振子的波函數(shù)滿足關(guān)系式-：n(_X)=(-1)B n(x)，'匚n(x)的奇偶性由n決定。當(dāng)n為奇數(shù)時，-：n(x)為奇宇稱態(tài)，當(dāng)n為偶數(shù)時，匸n(x)為偶宇稱態(tài)。通常稱諧

49、振子波函數(shù)' n(x)的宇稱為(-1)n。諧振子的基態(tài)波函數(shù)為10(x)=相應(yīng)幾率密度為wo(x) W°(x)f二，這是一種正態(tài)分布，也稱作高斯分布。如圖2-5所示，在'-o(x)圖2-5基態(tài)波函數(shù)X = 0處，幾率密度最大，即找到諧振子的概率最大。但按照經(jīng)典力學(xué)，諧振子在X = 0處(圖中虛線局部)，勢能最小，動能最大，即速度最大，所以在X = 0附近逗留時間最短，即在x = 0附近找到粒子的幾率最小。這與量子力學(xué)結(jié)論相反。圖2-6給出線性諧振子幾率密度分布?？梢钥闯隽Ｗ釉谠c(diǎn)出現(xiàn)的幾率要么最大(n為偶數(shù))，要么為0 ( n為奇數(shù))且粒子有一定的幾率出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)內(nèi)

50、(即粒子的總n增大時，幾率密度分布與經(jīng)能量小于勢能U (x)的區(qū)域)，這是一種量子效應(yīng)。當(dāng)量子數(shù)典情況的相似性在增加，兩種情況在平均上已相當(dāng)符合，差異只在(見圖 2-6(b)。(b)圖2-6線性諧振子的幾率密度分布以上是對一維線性諧振子的討論，如果是二維各向同性諧振子，那么其哈密頓算符為-2 -2定態(tài)薛定諤方程為利用別離變量法，設(shè)1 2 2 2I I 222初(r+=)二皿(x +y ) 2 x ：y 2Hh(x, y) = E?(x, y),E 二 Ex Ey審(X, y)='- (x) (y)(20)(21)(22)代入21式，得到兩個方程:-哄亍2皿2dx 吐 l'2y2

51、，y2dy22 y y兩方程與一維線性諧振子方程形式一致，所以其解的形式也與一維形式一樣，即AAEn =nx -丄方 ny 1 1 = n ， 22-ofx2 丄nnx, y = N N H ®xH ye 2 e 2，x ynx ny nxny二 Ey.(23)(24)其中幾川y =0,1,2 II),n=0,1,2|).當(dāng)n =0時，敗二ny=0,與能級E。對應(yīng)的態(tài)匸只有一個，我們把這種情況叫做能級 無簡并；當(dāng)n_1時，與能級En對應(yīng)的態(tài)有多個(這些態(tài)之間是線性無關(guān)的)，這種情況叫做能級簡并。例如當(dāng)n =1時，可以有nx =0,ny =械nx =1,ny = 0,與能級E1對應(yīng)的態(tài)

52、有兩個，我們稱為基態(tài)能級的簡并度為2,以此類推，能級 En的簡并度為fn = n1。同理，三維各向同性線性諧振子其能量本征值及本征函為1113En =血卄血 -)k (n -)k = (n )/，(26)2 2 2 2、(x2 # 卡2)，-nxnynz(X, y,Z)=比乂NH .乂( ： x)Hy)HnzG z)e (27)1可以證明，第n個能級的簡并度為：fn(n 1)( n 2)。2練習(xí)1：利用厄密多項(xiàng)式的求導(dǎo)關(guān)系，證明練習(xí)2：利用厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，證明§ 2.8定態(tài)問題之一維勢壘隧穿在§ 2.6，§ 2.7兩節(jié)中我們分別討論了一維無限勢阱及一維線性諧振子問題，這兩個 問題均屬于定態(tài)問題中的束縛態(tài)問題，其條