平面向量與解三角形單元檢測題(含答案)匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料更多精品文檔平面向量與解三角形單元檢測題一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1 .設(shè) x, y C R,向量 a = (x,1), b= (1, y), c= (2, 4),且 a,c, b / c,則 |a+ b|=()A幸B.yfioC. 2乖 D. 10uuu i uuuuuruuur2 .在 ABC中，N是AC邊上一點，且 AN =2 NC , P是BN上的一點，若 AP=mAB +3 uuu4 AC ,則實數(shù)m的值為()911A.q B.o C. 1 D. 3 933.已知點 A(-1, 1), B(1

2、, 2), C(-2, 1), D(3, 4),則向量AB在CD方向上的投影為A.3,223 15B. 工C.3,22D.3 1524,在直角坐標(biāo)系 xOy中，AB=(2,1), AC=(3, k),若三角形 ABC是直角三角形，則 k 的可能值個數(shù)是()A. 1 B. 2C. 3 D. 45.已知向量a與b的夾角為120°, |a|=3, |a+b|=«3,則|b|等于 ().A. 5 B. 4 C. 3 D. 16 .在四邊形A. 5ABCD中，AC=(1, 2), BD= (-4, 2),則該四邊形的面積為B. 275 C.5 D. 107 .如圖所示，非零向量=a0

3、= b,且BCXOA,C為垂足若=a(入w則)，入=(8.在 ABC|仃 'a b中,sin2A< sir2B+sin 2C-sin Bsin C,則 A 的取值范圍是()冗冗冗冗(a)(0，6/ (C)(0,-(D)-,)9.設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C所對邊分別為a,b, c若 b+c= 2a,3sin A=5sin B,則角 C=兀A.- 3B 2jt3jrB. 3 C. 4_ 5 TtD.610 .在平面直角坐標(biāo)系中，若 O為坐標(biāo)原點，則 A, B, C三點在同一直線上的等價條件為存在唯一的實數(shù) )使彳#OC= XOA+(1- ?)OB成立，此時稱實數(shù) 入為 向量OC關(guān)

4、于OA和OB的 終點共線分解系數(shù)”.若已知Pi(3, 1), P2(1,3),且向量OP3與向量a= (1,1)垂直，則向量OP3關(guān)于OPi和OP2的終點共線分解系數(shù)”為()A. - 3 B. 3 C. 1 D. 1二、填空題(本大題共5小題,每小題5分洪25分.請把正確答案填在題中橫線上)11 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA = (-1, t), OB = (2,2).若/ABO = 90。，則實數(shù)t的值為12 .已知a=(1,2), b=(1,九若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)入的取值范圍是 13 .已知正方形 ABCD的邊長為2, E為CD的中點，則AE BD =.一 、,.、，一 一

5、，-r TT ，.一，一，、，14 .設(shè)ei,e2為單位向重，且ei,e2的夾角為三，右a = e1+3e2,b=2e1，則向重a在b萬向3上的射影為.15 .若非零向量 a, b滿足同=|b|, (2a+ b) b=0,則a與b的夾角為.三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16 .已知 ABC的角A, B, C所對的邊分別是 a, b, c,設(shè)向量 m=(a, b), n= (sin B, sin A), p= (b-2, a-2).(1)若m/n,求證： ABC為等腰三角形；(2)若m±p,邊長c=2,角C = 3,求 ABC的面

6、積.17 .在 ABC 中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.求證:a,b,c成等差數(shù)列；(2)若C=，求a的值.3 b18 .在 ABC中,a、b、c分別是角 A、B、C所對的邊，且a=1 c+bcos C.2(1)求角B的大小；(2)若Saabc = 33，求b的最小值. .2c2A 319 .在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,若 acos-2+ccos 2 = 2b.(1)求證：a, b, c成等差數(shù)列；(2)若/B=60°, b = 4,求 ABC的面積.20 . AA

7、BC為一個等腰三角形形狀的空地 ，腰AC的長為3(百米)，底AB的長為4(百米).現(xiàn)決 定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路 EF(寬度不計，將該空地分成一個四邊形和一個三角形 ，設(shè)分成 的四邊形和三角形的周長相等，面積分別為6和&.(1)若小路一端E為AC的中點，求此時小路的長度； (2)若小路的端點E、F兩點分別在兩腰上，求母的最小值.21 .已知 ABC的角A, B, C所對的邊分別是 a, b, c,且滿口 sin B sinC 2 - cosB - cosCsin AcosA(1)證明：b +c = 2a ；(2)如圖，點。是AABC外一點，設(shè) /AOB =8(0父日 n),OA=2O

8、B=2,當(dāng)b=c時，求平面四邊形 OACB面積的最最大值。學(xué)習(xí)-好資料參考答案:2x-4=0,x=2,1. B 由題意可知,解得,-4-2y=0,|y=- 2.故 a+b=(3, 1), |a+b|=通. uu口 i uu口uuu i uu口2. 選B 如圖，因為 AN =-NC ,所以AN =-AC ,23uuu2AN ,因為B, P, N三點共線，所以 m+ -= 1,所以m=313.5）,所以AB在CD方向上的投影為AB - CD 2X5 + 1X53. A 解析 Ab= (2, 1), CD=(5,更多精品文檔CD4. B 解析：.若/ A= 90°,則AB AC=6+k=0

9、, k= 6;若/ B=90°,則 AB BC = A6 (ACAB) = 0, 6+k 5= 0, k= 1; 若/C=90°,則 AC CB=AC (ABAC)=0, k2k+3=0 無解.，綜上，k可能取6, 1兩個數(shù).故選B.5. B解析 向量a與b的夾角為120°, |a|=3, |a+b|= 阮， 則 a b= |a|b| cos 120 = |b|, |a+ b|2= |a|2+ 2a b+ |b|2. 所以 13=9-3|b|+|b|2,則 |b|= 1(舍去)或|b|=4.6. C解析 因為AC BD = 0,所以ACBD.故四邊形 ABCD 的

10、面積 S= 2|AC|BD|= 2班><275 = 5.7. a【解析】0國,即臼國,所以（0國）國二0,所以國-El 0=0, 0即？|af-入a - b=0,入w解得 入比LJ.8. C.解析：根據(jù)正弦定理，由 sin2A< sir2B+sin 2C-sin Bsin C 得 a2< 2+c2-bc,根據(jù)余弦定理cos A= b c a Jc =12bc2bc 2一 一一一一 .兀一又< 0<A< tt,.,. 0<A< 一，故選 C.39. B 【解析】 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因為 b+ c= 2a, .5

11、7所以 a=gb, c=3b,5 2 . .2 Z. 2)所以C=g.訴門 n a2+b2-c2 bJ + b _ bJ _ 1所以 cos C R o.因為 CC (0,兀2X；bXb2ab5210. D.解析：設(shè) 6P3=(x, y),則由 Op3，a 知 x+ y=0,于是 Op3=(x, -x), 設(shè)OP3= X5P 1+(1 2)OP2, (x, - x)= ?(3,1) + (1萬(1,3)=(4A 1,32萬.4 b i = x, 于是4 b 1 + 3 2谷0,甘-1.3 2 x,urn uuu uururn uur11. 5 解析：AB =OB OA = (3,2 t),由題

12、意知 OB AB =0,所以 2X3+2(2-t)= 0, t =5.12. 一0°, 2j 因為a與b的夾角為鈍角，所以cos«0且cosO 1,1所以a b<0且a與b不反向.由a b<0得1 + 2 K0,故?< -由a與b共線得 42,故a與b不可能反向.所以入的取值范圍為 :42)113. 2 解析 由題意知：AE BD = (AD+DE) (ADAB)=(AD+2AB) (AD 茹)=AD2-2AD AB-2;AB2= 4-0-2 = 2.14. 2解析a在b方向上的射影為|a|cosa, b> =號. a b= (e+ 3e2) 2e1

13、 = 2e2 + 6e &= 5.|b|= |2e1| = 2.，abb = 5.15. 120 【解析】1. (2a+b) b=0, . . 2a b + b2 = 0,a b=- 2b2,設(shè) a 與 b 的夾角為 & 又 |a|=|b|,b2cos 0=瑞=需- 2, . 0= 120°.16. 解:(1)證明：: m/ n, 1- asin A= bsin B.即a2R= b 2bR?其中R是三角形ABC外接圓半徑，故2 =腦 即 ABC為等腰三角形.(2)由題意可知 m p=0,即 a(b 2) + b(a2)=0.，a+b=ab.由余弦定理可知 4=a?+b

14、?ab=(a+b/一3ab, 即(ab)23ab 4=0,ab=4(舍去 ab=- 1).故 S= 2absin C= 2 4 sin3= V3.-，所以 a+c-2b=0,因為17. (1)證明：由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 2B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0.sin A sin B sinC所以2b=a+c,即a、b、c成等差數(shù)列.(2)解:由余弦定理 c2=a2+b2-2ab cos C 及 2b=a+c,c=a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,3得(a-2b)2=a2+b2-2ab .即I 2也即3b2=5ab,所以=b 518.

15、 解:(1)由正弦定理可得sin A= - sin C+sin Bcos C,2又因為 A=tt-(B+C),所以 sin A=sin(B+C),可得 sin Bcos C+cos Bsin C=1sin C+sin Bcos C,又 sin C w 0,2即 cos B= 1,所以 B=.23(2)因為 SAABC = 33，所以一2acsin；= - 3，所以 ac=4,由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac n 2aac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.所以b2>41P b>知以b的最小值為2.如2C ,2A1 + cos C ,19.解析：(1) acos 2'+

16、ccos-= a2+ c1 + cos A 3即 a(1 + cos C) + c(1 + cos A) = 3b.由正弦定理得：sin A + sin Acos C+sin C + cos Asin C = 3sin B,即 sin A+ sin C+ sin(A+ C)= 3sin B, sin A+ sin C = 2sin B.由正弦定理得，a+c=2b,故a, b, c成等差數(shù)列.(2)由/B=60°, b= 4 及余弦定理得：42 = a2+c22accos 60 °,.(a+c)23ac=16,又由知 a+c=2b,代入上式得 4b23ac=16,解得 ac=

17、16,11. .ABC 的面積 S=2acsin B = 2acsin 60 = 45.20.解: E 為 AC 中點時，則 AE=EC= - , / 3+3< -222+4,.1. F不在BC上.故F在AB上,可得AF=,在三角形 ABC中,cos A=.在三角形 AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AE AFcos A=15,，2ef/.2即小路一端E為AC中點時小路的長度為,30右業(yè)百米.2(2)若小路的端點E、F兩點分別在兩腰上，如圖所示，設(shè) CE=x,CF=y,貝U x+y=5, S = S" - S®EF = SABC -11 _ _/1CA CBsinC21八 八八CE CF sinC 299115 ,一，.一-1= - -12 -1=，當(dāng) x=y=一時取等節(jié)xy x + y 252I 2 /答:最小值為112521.（1）證明】.sin5-sinC 21cos5-cosCsitk4sinSccsA+sinCcoeA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA)sinB