小學奧數(shù)數(shù)論專題知識總結(jié)

1、小學數(shù)學總復(fù)習資料數(shù)論基礎(chǔ)知識小學數(shù)論問題，起因于除法算式：被除數(shù)赫數(shù)=商余數(shù)1 .能整除：整除，因數(shù)與倍數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)，公因數(shù)與公倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)等；2 .不能整除：余數(shù)，余數(shù)的性質(zhì)與計算（余數(shù)），同余問題（除數(shù)），物不知數(shù)問題（被除數(shù)）。一、因數(shù)與倍數(shù)1、因數(shù)與倍數(shù)（1） 定義：定義1：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。定義2：如果非零自然數(shù) a、b、c之間存在axb=c,或者c+a=b,那么稱a、b是c的因數(shù)，c是a、b 的倍數(shù)。注意：倍數(shù)與因數(shù)是相互依存關(guān)系，缺一不可。（a、b是因數(shù)，c是倍數(shù)）一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是 1,最大的因數(shù)是它

2、本身。一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。（2） 一個數(shù)的因數(shù)的特點： 最小的因數(shù)是1,第二小的因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)； 最大的因數(shù)是它本身，第二大的因數(shù)是：原數(shù)+第二小的因數(shù)（3） 完全平方數(shù)的因數(shù)特征： 完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個，有奇數(shù)個因數(shù)的數(shù)是完全平方數(shù)。 完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是偶數(shù)次；1000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個數(shù)是31個，2000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個數(shù)是 44個，3000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個數(shù)是 54 個。（ 312=961, 442=1936, 542=2916）2、數(shù)的整除（數(shù)的倍數(shù)）（1） 定義：定義1 ：一般地，三個整數(shù)a、b、c,且bw0,如

3、有a+b=c,則我們就說，a能被b整除，或b能整除a,或a能整除以bo定義2：如果一個整數(shù)a,除以一個整數(shù)b （bw0）,得到一個整數(shù)商 c,而且沒有余數(shù)，那么叫做 a能被 b整除或b能整除a,記作b|a。（a'b）（2）整除的性質(zhì)：如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b ）也能被c整除。如果a能被b整除，c是整數(shù),那么axc也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。（3） 一些常見數(shù)的整除特征（倍數(shù)特征）：末位判別法2、5的倍數(shù)特征：末位上的數(shù)字是2、5的倍數(shù)。4、25的倍數(shù)特征：末兩位上的數(shù)

4、字是4、25的倍數(shù)。8、125的倍數(shù)特征：末三位上的數(shù)字是8、125的倍數(shù)。截斷求和法（從右開始截）9 （及其因數(shù)3）的倍數(shù)特征：一位截斷求和99 （及其因數(shù)3、9、11、33）的倍數(shù)特征：兩位截斷求和999 （及其因數(shù)3、9、27、37、111、333）的倍數(shù)特征：三位截斷求和截斷求差法（從右開始截）11的倍數(shù)特征：一位截斷求差101的倍數(shù)特征：兩位截斷求差1001 （及其因數(shù)7、11、13、77、91、143）的倍數(shù)特征：三位截斷求差公倍數(shù)法6的倍數(shù)特征：2和3的公倍數(shù)。先判斷是否 2的倍數(shù)，再判斷是否 3的倍數(shù)。12的倍數(shù)特征：4和3的公倍數(shù)。先判斷是否 4的倍數(shù)，再判斷是否 3的倍數(shù)。

5、3、奇數(shù)與偶數(shù)（自然數(shù)按是否能被 2整除分類）（1） 定義：奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)。在自然數(shù)中，最小的奇數(shù)是1。偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)。在自然數(shù)中，最小的偶數(shù)是0。（2）數(shù)的奇偶性質(zhì)： 奇偶相連，奇偶相間，偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)中，奇偶各半。 奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個偶數(shù)的和是偶數(shù); 兩個奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的差是奇數(shù); 若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇偶性；n個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個偶數(shù)的乘積是2 n的倍數(shù)；算式中有一個是偶數(shù)， 則乘積必是偶數(shù)。連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)差為奇偶分析：奇+奇=偶2。如，與奇數(shù) m相鄰的兩個奇數(shù)分別是（m-2）和（m+2

6、）。奇一奇=偶奇x奇=奇奇+偶=奇偶一偶=偶奇*偶=偶偶+偶=偶奇一偶=奇偶*偶=偶4、質(zhì)數(shù)與合數(shù)（非0自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)分類）（1） 定義：質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)。（因數(shù)個數(shù)：2個）合數(shù)：除了 1和它本身還有其它因數(shù)的數(shù)。（因數(shù)個數(shù)：3個或3個以上）（2） 常見質(zhì)數(shù)特征：1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)（1只有1個因數(shù)）；2是最小的質(zhì)數(shù)；4是最小的合數(shù)；2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，也是偶數(shù)中唯一的質(zhì)數(shù)（除 2外，其它質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)）。（3） 100 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表（25 個）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、 61、 67、 71、 73、

7、 79、 83、 89、 97（4）分解質(zhì)因數(shù) 唯一分解定理：任何一個大于1的自然數(shù) N,如果N不是質(zhì)數(shù)，那么 N可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積。 質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的因數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)寫成它的幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。如：28=2X2X 7= 22 X7 通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。 要求出乘積中末尾 0的個數(shù)，只需要知道這些乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后2和5的個數(shù)，不用考慮其它質(zhì)因數(shù)。（5）互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)。常見的互質(zhì)數(shù)：相鄰自然數(shù)：8和9相鄰奇數(shù)：21和23 2與任意奇數(shù)：2和15不同的兩個質(zhì)數(shù)：

8、11和171與任意非零自然數(shù)：1和4當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)：3和14公因數(shù)只有1的兩個合數(shù)：6和253、5、7 如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)：5、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)(1) 定義：最大公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)叫這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個叫做最大公因數(shù)，用(a, b)表示。最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做最小公倍數(shù)，用a, b表示。(2)最大公因數(shù)的性質(zhì)： 幾個數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。 幾個數(shù)的最大公因數(shù)都是這幾個數(shù)的因數(shù)。 幾個數(shù)的公因數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。 幾個數(shù)都乘一

9、個自然數(shù) m所得的積的最大公因數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公因數(shù)乘傕(3)最小公倍數(shù)的性質(zhì)：兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 兩個數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即 (a , b) xa , b =ax b(4)求最大公因數(shù)的方法：列舉法短除法 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公因數(shù)。(5)求最小公倍數(shù)基本方法：列舉法短除法分解質(zhì)因數(shù)法(6)分類求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)： 倍數(shù)關(guān)系：a是b的倍數(shù)，(a, b)=b, a, b = a 互質(zhì)關(guān)系：a與b互質(zhì)，(a, b)=1, a

10、, b=axb 一般關(guān)系：a與b不互質(zhì)也不倍數(shù)，用短除法。 (a , b)=左側(cè)除數(shù)連乘積，a , b=除數(shù)和商連乘積 6、分解質(zhì)因數(shù)的運用：(1)求一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)列舉法：2個一組列舉 分解質(zhì)因數(shù)法：分解質(zhì)因數(shù)所有不同質(zhì)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)+1連乘積(指數(shù)加1再相乘)如：360=23 X32 X 5, 360 的因數(shù)個數(shù)：(3+1) X(2+1) X (1+1) = 4X 3 X 2= 24 (個)(2)求一個數(shù)的所有因數(shù)的和步驟：分解質(zhì)因數(shù)所有不同質(zhì)因數(shù)的各種取法之和的連乘積。如：180 = 22 X 32 X 5, 180 的所有因數(shù)之和：(2 °+2422) X (3 °+3

11、432)(5 ° +51) = 7X 13X 6= 546二、余數(shù)性質(zhì)與同余問題1、余數(shù)的性質(zhì)(1)余數(shù)小于除數(shù)。(2)若a、b除以c的余數(shù)相同，則(a-b)或(b-a)可以被c整除。(3) a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加b除以c的余數(shù)的和除以 c的余數(shù)。 (和的余數(shù)=余數(shù)的和)(4) a與b的差除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)減b除以c的余數(shù)的差除以 c的余數(shù)。 (差的余數(shù)=余數(shù)的差)(5) a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以 c的余數(shù)。 (積的余數(shù)=余數(shù)的積)2、余數(shù)的計算(求余數(shù))(1)末位判斷法：2, 5, 4, 25, 8, 125（

12、2）數(shù)字求和法：3, 9各個數(shù)位上數(shù)字之和除以3或9的余數(shù)=某數(shù)除以3或9的余數(shù)。如：234569。2+3+4+5+6+9=29,因為 29+9=3 -2,所以 234569+9=?2,即 234569三29（mod 9） （3）截斷求和法：99, 999及其因數(shù)99 （3、9、11、33）:兩位截斷求和，得到的和除以99余數(shù)，即原數(shù)除以 99的余數(shù)。999（3、9、27、37、111、333）:三位截斷求和，得到的和除以999余數(shù)，即原數(shù)除以999的余數(shù)。如：12345。345+12=357,357 <999,所以 12345+ 999 余 357。（4）截斷求差法：從右開始截斷，奇段

13、和偶段和。11, 101 , 1001及其因數(shù)7、11、13、77、91、143。11: 一位截斷作差。從右開始，1位截斷，（奇數(shù)位數(shù)字之和）-（偶數(shù)位數(shù)字之和）+11的余數(shù)，即為原數(shù)+11的余數(shù)；如不夠減，求出的負數(shù) +11。如：234569。奇數(shù)位數(shù)字之和 3+5+9=17,偶數(shù)位數(shù)字之和 2+4+6=12, 17-12=5,所以234569+11 余 5,即 234569三5（mod 11）如：98,（奇數(shù)位 8偶數(shù)位 9） 8-9 = -1 , -1+11=10,貝U 98+11 = 810,即 98三 10（mod 11）101:兩位截斷作差。從右開始，2位截斷，（奇位和）-（偶位和

14、）+ 101的余數(shù)，即為原數(shù)+ 101的余數(shù)；如不夠減，求出的負數(shù) +101。1001 （7、11、13、77、91、143）:三位截斷作差。 從右開始，3位截斷，（奇位和）-（偶位和）+ 1001的余數(shù)，即為原數(shù)+ 1001的余數(shù)；如不夠減，求出的負數(shù) +1001。3、費馬小定理如果p是質(zhì)數(shù)，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1= 1（mod p）。即：假如a是自然數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么a的（p-1）次方除以p的余數(shù)恒等于1。如：a是自然數(shù)2, p是質(zhì)數(shù)5, 2和5互質(zhì)，2'5-1）+5余1。a 是自然數(shù)10, p是質(zhì)數(shù)3, 10和3互質(zhì)，101）+3余1。4、同余問題

15、（求除數(shù)）同余的定義：（1）若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱 a、b對于模m同余。（2）已知三個整數(shù) a、b、m如果m能被（a-b）整除，就稱a、b對于模m同余，記作a=b（mod m）,讀作a 同余于b模ni5、中國剩余定理（物不知數(shù)問題：求被除數(shù)）在一千多年前的孫子算經(jīng)中有著名算題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？物不知數(shù)問題，又叫孫子問題、韓信點兵問題。方法： 最小公倍數(shù)法：和同加和，余同加余，差同減差（缺同減缺）。列舉法（逐步滿足條件法） 口訣法（僅適應(yīng)于3、5、7）:三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；七子團圓正半月，除百零五便得知。口訣法解釋（

16、只看數(shù)字即可）：將除以3的余數(shù)乘70,將除以5的余數(shù)乘21,將除以7的余數(shù)乘15,全部 加起來后除以105,得到的余數(shù)就是答案。步驟：2X 70+3X 21+2X 15=140+63+30=233, 233+ 105=223三、完全平方數(shù)完全平方數(shù)：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方數(shù)特征：（1）末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;（個位數(shù)字是 2、3、7、8的一定不是完全平方數(shù)）（2）奇數(shù)的平方的個位數(shù)字是奇數(shù)，十位數(shù)字是偶數(shù)，如 25,49,81 。（個位數(shù)和

17、十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一 定不是完全平方數(shù)）（3）如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6;反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6,它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。如 16,36,196 , 256。(個位數(shù)是6,十位數(shù)是偶數(shù)的一定不是平方數(shù))(4)偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。奇數(shù)的平方是8n+1型，偶數(shù)的平方是8n或8n+4型。(形如8n+2,8n+3, 8n+5,8n+6,8n+7型的一定不是完全平方數(shù))(6)完全平方數(shù)的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。(形如3k+2的一定不是完全平方數(shù))(7)完全平方數(shù)的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。(形如4k+2和4k+3的一定不是平方數(shù))(8)能被5整除的數(shù)的平方是 5k型，不能被5整除的數(shù)的平方是 5k±1型。(9) 完全平方數(shù)對的形式具有：16m 16m+