小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)分解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)模型三蝴蝶模型任意四邊形、梯形與相似模型(任意四邊形模型) S1:S2 =S4：S3或者 S1 XS3 =S2 XS4 AO : OC iSi S2 : S4 s3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊 形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。【例1】(小數(shù)報競賽活動試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線 AC BD分成四個部分， AOB1積為1平方千米，BOO積為2平方千米，4COD勺面積為3平方千米，公園由陸地面積是 6. 92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是

2、多少平方千米？A【分析】根據(jù)蝴蝶定理求得 SAAOD =3父1 *2=1.5平方千米，公園四邊形ABCD的面積是1+ 2+3+1.5 = 7.5平方千米，所以人工湖的面積是7.5-6.92 = 0.58平方千米如圖，四邊形被兩條對角線分成 求：三角形 BGC的面積；4個三角形，其中三個三角形的面積已知, AG:GC=?【解析】根據(jù)蝴蝶定理，SBGCM1=2M3,那么SBGC=6;根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC =(1+2 ):(3+6 )=1:3 . ( ? ? ?)【例2】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0(如圖所示)。如果三角形ABD的面積等于三角形 BCD的 文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)面積的1 ,

3、且AO =2 , DO =3 ,那么CO的長度是DO的長度的 倍。文檔大全【解析】在本題中，四邊形 ABCD為任意四邊形，對于這種不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形?？吹筋}目中給出條 件Sabd：S_bcd =1：3 ,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已 知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改 造這個不良四邊形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面積比轉(zhuǎn)化為高之比。 再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)

4、果。請老師注意比較兩種解法，使 學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題。解法一： AO：OC =S&bd :S西dc =1：3 ,OC=2m3=6,OC:OD =6:3 =2:1 .解法二：作 AH_LBD于H,。6,8口于6.1 . S -abd = S b(1“-AH =CG , 3- S._1S.- S AOD - 3 S D- 1”- AO = CO , 3OC=2x3=6,OC:OD =6:3 =2:1 .【例3】如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于O點(diǎn)，4CEF、AOEF AODF ABOE的面積依次是 2、 4、4和6。求：求 OCF的面積；求 4G

5、CE的面積?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知，ABCD的面積為2+4+4+6=16,那么ABCO和ACDO的面積都是16+2 =8,所以O(shè)CF的面積為84=4;由于 ABCO的面積為8, ABOE的面積為6,所以O(shè)CE的面積為86=2,根據(jù)蝴蝶定理，EG:FG =Soe:Saof =2:4 =1:2,所以 S小ce :S而cf =EG:FG =1:2 ,112那幺 SGCE = -Sef =一父2 =一 1 233例4圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了 4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？【解析】 在 Labe , |_cd

6、e 中有 zaeb=/ced ,所以 |_abe, |_cde 的面積比為（aemeb） ：（ce mde）。同 理有 |_ade, |_bce 的面積比為（aemde）：（be mec）。所以有 Sabe x Scde =Sade x Sbce ,也就是 說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。即S|ABE m6 = Sade 77 ,所以有L ABE與L ADE的面積比為 7：6, Sabe 二二一X39 =21 公頃，Sade =6-父 39 =18 公頃。6 76 7顯然，最大的三角形的面積為21公頃

7、。1 ,則圖中陰影三角形的面積例5 （2008年清華附中入學(xué)測試題）如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是為?！窘馕觥窟B接AD、CD、BC。則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到MBC的面積為：1+41=2, MCD的面積為：3 +31=3.5,22 4MBD的面積為：2+-1=3.24412所以 BO ： OD S/ABC ： S&cd 2 ：3.5 4 ： 7 ,所以 SAbo 父 S Abd 父 3 =：4 7：1111如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形 ABC的面積。5510【解析】因?yàn)?BD:CE =2:5 ,且 BD / CE ,所以 DA: AC=2:5 , S殖BC =一一,Sadbc =5X

8、2=.2 577例6 （2007年人大附中考題）如圖，邊長為1的正方形 ABCD中，BE=2EC, CF = FD ,求三角形 AEG 的面積.【解析】【例7】例8連接因?yàn)橐驗(yàn)樗运訠E=2EC ,CF =FD所以S.defABCD ) 根據(jù)蝴蝶定理,AG :GF =:一2 12-S12 -ABCD S AGD =6S GDF=7 S.ADFABCD13S AGE =S AED S AGD =3 S|_ABCDS即三角形AEG的面積是2 .7如圖，長方形 ABCD中, 方形ABCD的面積.【解析】因?yàn)?BE: EC =2:3 , DF因?yàn)?SaED =1%方形ABCD，2=SI ABCD 1

9、4_2SABCD - S ABCD7 BE: EC =2:3 , DF : FC =1:2三角形DFG的面積為2平方厘米，求長:FC=1:2 ,所以S DEF& -) Se 方形 ABCD =工也方形ABCD - 101AG : GF 二一1-一:一=5:1 ,所以 S 2 10AGD =5 GDF =10平方厘米，所以s AFD二12平1方厘米 口為 SaFD =Se方形ABCD， 6如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 形BDG的面積.設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為O ,連接所以長方形10厘米,ABCD的面積是72平方厘米.E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，G為BF中點(diǎn)，求三角BE、 DF .1由蝴蝶7E理

10、可知EO . OC =SJ BED : S BCD ,而 S BED 0ABCD, S BCD4=1S2 S ABCD )1所以 EO:OC =Sjbed : S BCD =1:2,故 EO=EC .一31由于 F 為 CE 中點(diǎn)，所以 EF =EC,故 EO:EF=2:3 , FO:EO=1:2. 211由蝴蝶7E理可知SBFD : S BED = FO : EO =1： 2 ,所以 SbfD =- S BED =- S ABCD ,2 -8 -111那么 S|BGD =Sbfd = Sabcd = X10M10 =6.25 （平萬厘米）.L 2 -16 -16【例9】如圖，在AABC中，已

11、知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若 MOM、AABO和BON的面積分別是 3、2、1,則削NC的面積是 .【解析】這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解.根據(jù)蝴蝶定理得Smon =SAOM SBON =3-J JS.Aob22設(shè)S&ON =X ,根據(jù)共邊定理我們可以得33 一一2二 3 2 解得 x = 22.5.X 1 3 X2【例10】（2009年迎春杯初賽六年級）正六邊形AA2A3A4 4A5的面積是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分別平方厘米.是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是【解析】如圖，設(shè)B6A2與BA3的交點(diǎn)為O ,則圖中

12、空白部分由6個與AAzOAb一樣大小的三角形組成，只要求出了 久OA3的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積.連接 A3A3、B6B1、B6A3.設(shè) M1B1B6的面積為” 1 “，則AB1A2B6面積為 1 ，AAAzB面積為 2 ，那么iAeA3B6面積為&AA2B6 的2倍，為 4 ，梯形 AA2A3A6的面積為2父2+4父2=12, M2B6A3的面積為” 6 “，姐也備的 面積為2 .根據(jù)蝴蝶定理，RO =A3。=5&26 ：S&A2B6 =1： 6 ,故 S應(yīng)OA3 =缶，S與= ,121所以S&oa3：S弟形aaaa =5：12：1： 7 ,即 M20A3的面積 為

13、梯形A1A2A3A6面積的1，故為K 邊形AA2A3AA5A6面積的。，那么空白部分的面積為正六邊形面積的工父6 =旦，所以陰影部分面積為1414732009 Ml1 亍 J=1148（平萬厘米）.板塊二梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理” 廣 S1：S3 =a2:b2 S1: S3: 5 : S4 =a2: b2: ab: ab ；2S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b）.梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明）【解析】設(shè)G為a2份，a為b2份，根

14、據(jù)梯形蝴蝶定理，0=4=/,所以b=2;又因?yàn)镾2=2 = aMb,所以2a=1；那么 S =a =1, S4 =axb=2,所以梯形面積 S=Si+Q +S3+S4 =1+2+4 + 2 =9 ,或者根 22據(jù)梯形蝴蝶te理， S =（a +b ） =（1+2 ） =9 .【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營）如下圖，梯形 ABCD的AB平行于CD ,對角線AC , BD交于O ,已 知AOB與4 80。的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形 ABCD的面積是 平方厘米.【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob ：S_boc =a2：ab=25: 35 ,可得a:b = 5:7,再根據(jù)

15、梯形蝴蝶定理， _2222_一 、一. .一.Suaob ： S_doc =a ：b =5 ：7 =25:49,所以Sdoc=49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面積為 25 +35+ 35+ 49= 14邨方厘米）.【例12】梯形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0,已知梯形上底為 2,且三角形 ABO的面積等于三角形BOC面積的2 ,求三角形 AOD與三角形BOC的面積之比.3【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob :S_BOC =ab:b2 =2:3 ,可以求出a:b=2:3,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S AOD ： S BOC = a2 : b2 = 22 :32 =4:9.OOC通過利用已有幾何

16、模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千 辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論.AC和BD交于O點(diǎn)，已知 AO=1 ,并且【例13（第十屆華杯賽）如下圖，四邊形 ABCD中，對角線一黯=5,那么OC的長是多少？BAD【解析】根據(jù)蝴蝶定理,三角形ABD的面積 三角形CBD的面積AO,所以CO=,又 AO =1 ,所以 CO =.CO 53【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2,問三角形AOD的面積是多少?【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3 , Saod :S為oc =a2 :b2 =22:32 =4

17、:9 , 所以 S&od =4（cm2 ）.如圖，梯形 ABCD中，AAOB、iCOD的面積分別為1.2和2.7 ,求梯形ABCD的面積.根據(jù)梯形蝴蝶定理，S AOB : S ACOD2SUaod : S_aob =ab : a =b:a=3:2,22=a : b =4:9,所以 a: b = 2:3 ,3 一SAOD =S_COB =1.2 M 1.8，S弟形ABCD =1.2 +1.8+1.8 +2.7 =7.5 .【例15】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形BCH的面積是23,求四邊形EGFH的面積.【解析】如圖，連結(jié)EF,顯然四邊形 AD

18、EF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面積等于三角形 ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形 EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積 是 11 +23=34.【鞏固】（人大附中入學(xué)測試題）如圖，長方形中，若三角形 1的面積與三角形 3的面積比為4比5,四邊形2 的面積為36,則三角形1的面積為.【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3,所以1的面積就是36X工=16, 3的面積就是36 M=20 .4 54 5【例16 如圖，正方形 ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.因?yàn)镸是A

19、D邊上的中點(diǎn)，所以 AM :BC=1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道SA AMG : SA ABG : S*A MCG : SA BCG =1 : （1 父2）： （1 * 2）: 2 =1: 2 : 2 : 4 ,設(shè) S40 =1 份，則 S mcd 1 2 3 份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，與影=2+2=4份， 所以6月影: S正方形=1:3 , 所以6月影=1平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形 ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平 方厘米，那么正方形 ABCD面積是 平方厘米.B【解析】連接DE,根據(jù)題意可知BE: AD=1:2 ,

20、根據(jù)蝴蝶定理得S梯形=（1+2）2=9 （平方厘米），SaECD=3（平方厘米），那么Sabcd =12（平方厘米）.【例17如圖面積為12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.【解析】因?yàn)镋,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，所以 EF : AB =1:3 ,設(shè)SAOEF =1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道SA AOE =S OFB =3 份，SA AOB =9 份，SA ADE =$ bcf =（1+3）份，因此正方形的面積為 4+4+（1 + 3）2 =24 份，Si影=6 ,所以影：S正方形=6 ： 24 =1： 4 ,所以升影=3平方厘米【例18如圖，在長方

21、形 ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE = EF = FB ,求陰影部分的面積.【解析】方法一：如圖，連接DE , DE將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形AED的面積為2X6-3-2 =2平方厘米.3由于EF : DC 1:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶正理，SDEO : S EFO 3：1 ,所以S DEO =一 S DEF ,而S匹=鬲 =24 一平方厘米，所以 Sde=3m2=1.5平方厘米，陰影部分的面積為2+1.5 = 3.5平方厘米.4方法二：如圖，連接 DE , FC,由于EF:DC=1:3 ,設(shè)S40ff =1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOED=3份，S梯形 EFCD =（1

22、+3）2=16 份，Saade =Sabcf =1+3 = 4 份，因此 1方形 abcd = 4 + 16+ 4 =24份， 與影=4+3 = 7份，而 右方形abcd =6 m2 =12平方厘米，所以 與影=3.5平方厘米【例19】（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題 ）已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2 ,三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AC .由于ABCD是平行四邊形， BC:CE=3:2 ,所以CE: AD=2:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理，SUCOE : Sjaoc : S_DOE : SAOD = 22: 2 父 3: 2 父 3: 3

23、2 = 4: 6: 6:9 ,所以 Saoc=6（平方厘 米），SAOD =9（平方厘米），又Sabc =SACD =6+9=15（平方厘米），陰影部分面積為6+15 = 21（平 方厘米）.【鞏固】右圖中 ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S&CD =SAE .根據(jù)蝴蝶定理，S&CD MS&AE =SCE M S&AD =4父9=36 ,故 S曰CD? =36 , 所以S OCD -6 （平方厘米）.【鞏固】（2008年三帆中學(xué)考題）右圖中ABC

24、D是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S#CD =S&AE .根據(jù)蝴蝶定理，S&CD MS型AE =SeCE MS戌AD =2x8 =16 ,故S&d, =16 ,所以SaCD =4（平方厘米）.1 1另解：在平仃四邊形 ABED中，S&DE = SABED =X（16+8 ）=12 （平萬厘米），2 2所以S淺OE =SDE S盤OD =12 8 =4 （平方厘米），根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8父2+4 =4（平方厘米）.【例20如圖所示，BD、CF將

25、長方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是5平方厘米，ZkCED的面積是10平方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？【分析】 連接BF ,根據(jù)梯形模型，可知三角形 BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形 BCE的面積為10父10得5 = 20（平方厘米），所以長方形的面積為 （20+10尸2 =60（平方厘米）.四邊形 ABEF的面積為60-5-10-20=25 （平方厘米）.【鞏固】如圖所示， BD、CF將長方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是4平方厘米，ACED的面積是6平 方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？【解

26、析】（法1）連接BF ,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是 6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形 BCE的面積為6M 6。4 = 9（平方厘米）， 所以長方形的面積為 （9+6不2 =30（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為30 4 6 9 = 11（平方厘 米）.（法2）由題意可知，EF = 4 = 2 ,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，-ED =-=-,所以三角形BCE的面積為： EC 63EB EC 326 士& =9（平方厘米）.則三角形CBD面積為15平方厘米，長方形面積為 15x2=30（平方厘米）.四 邊形 ABEF的面積為30_4_

27、6_9=11（平方厘米）.【鞏固】（98迎春杯初賽）如圖，ABCD長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54, OD的長是16 , OB的長是9 .那么四邊形 OECD的面積是多少？【解析】因?yàn)檫B接ED知道ABO和AEDO的面積相等即為54 ,又因?yàn)镺D ： OB =16 ： 9 ,所以4AOD的面積 為54-9x16=96,根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道：BEO的面積為：54x54-96 = 30.375,所以四邊形OECD的面積為：54+9630.375 =119.625（平方厘米）.【例21】（2007年“迎春杯”高年級初賽）如圖，長方形 ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中 3塊的面積分

28、別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為 平方厘米.【解析】連接DE、CF .四邊形EDCF為梯形，所以S西od =Sfoc ,又根據(jù)蝴蝶定理，SOD SgOC =S&OF，S&OD ,所以 SEOD SOC = SOF，S#OD = 2父8=16,所以 SOD =4 （平方厘米）， $推?？?4+8=12（平方厘米）.那么長方形 ABCD的面積為12x2 = 24平方厘米，四邊形 OFBC的面 積為24 5 2 8 =9 （平方厘米）.【例22（98迎春杯初賽）如圖，長方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為 54, OD的長是16, OB的長是9.那么四邊形 OECD的面

29、積是 .11.【解析】 解法一：連接DE ,依題意Saob =MBO MAO =父9父AO =54 ,所以AO=12, 2211則 Saod =一 MDO x AO =一父16父12 =96 . 221-.3又因?yàn)?Saob =S doe =54 =M16MOE ,所以 OE =6一, -241133得 Sboe =-MBO MEO =一父9父6 =30一, 22483 .5所以 SOECD -SLBDC S BOE =S ABD S BOE =(54 +96 )30 =119一 . -8816斛法一：由于 Saod : S aob =OD :OB =16:9 ,所以 0 人?？?=54 父

30、一 =96 ,而 Sdoe = S aob =54 ,根據(jù)9一蝴蝶定理,所以SOECD3S|jBOE 父 S AOD =S AOB 乂 S DOE，所以 S BOE = 54 X 54 3 96 = 30 ,-835= S|_BDC S BOE = S ABD -S BOE =(54 +96 )30-=119.【例23如圖,MBC是等腰直角三角形,DEFG是正方形，線段 AB與CD相交于K點(diǎn).已知正方形-88DEFG的面積48, AK:KB=1:3 ,則&BKD的面積是多少?【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和11MCK的面

31、積是相等的.而AK :KB =1:3 ,所以 MCK的面積是 MBC面積的 =，那么ABDK1 3 41 的面積也是 AABC面積的-.4由于 MBC是等腰直角三角形，如果過 A作BC的垂線，M為垂足，那么 M是BC的中點(diǎn)，而且 AM =DE ,可見 MBM和 MCM的面積都等于正方形 DEFG面積的一半，所以 AABC的面積與正 方形DEFG的面積相等，為 48.1那么 空DK的面積為48黑- =12 .4【例24如圖所示，ABCD是梯形， MDE面積是1.8, MBF的面積是9, ABCF的面積是27.那么陰【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到S小fbMSfcS AFB S CDF 99SA

32、FD =一S=方=3,S BFC27= S&FD *S&FC ,而SFB =SFC （等積變換），所以可得并且 S&ef =Sdf -S&ed =3 -1.8 =1.2,而 S咫fb : S存fc = AF : FC =9 : 27 =1:3 , 所以陰影 AAEC的面積是：SEC =S&EF父4=1.2父4 =4.8 .6 ,那么陰影部分面積為多少?88乂 6 =一.183【解析】 連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積【例26如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn).三角

33、形 ABC由這6部分組成，其中比多 6平方厘米.那么三角形 ABC的面積是多少平方厘米？【解析】因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2FE且平行于AD ,則四邊形 ADEF為梯形.在梯形 ADEF中有=，X=*，：二人口2： FE 2=4.又已知-=6,所以=6+(41) =2 , 二M4=8,所以X=*=16,而=,所以=4,梯形ADEF的面積為、 四塊圖形的面積和，為 8+4+4+2=18.有|_CEF與|_ADC的面積比為CE平方與CD平方的比， 即為1:4.所以|_ADC面積為梯形 ADEF面積的 =4 ,即為18父，=24 .因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所4-1 33以|_ABD與|_AD

34、C的面積相等，而ABC的面積為|_ABD、ADC的面積和，即為24+24 = 48平方 厘米.三角形 ABC的面積為48平方厘米.【例27 如圖，在一個邊長為 6的正方形中，放入一個邊長為 2的正方形，保持與原正方形的邊平行, 現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形的兩個頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分 的面積為.【解析】 本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況.解法一：取特殊值，使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個空白三角形的高均為1.5,因此空白處的總面積為 6 M1.5 + 2父4+2父2 =22,陰影

35、部分的面積為 6 M 6 22=14.解法二：連接兩個正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2,下底都為6,上底、下底之比為 2: 6 =1:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之229比為1 :1父3:1父3:3 =1:3:3:9 ,所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的一，陰影部分的面16積占該梯形面積的,所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的,那么陰影部分的面積為161672_ 2一父(6 -2 ) =14 .16【例28如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE=2BE, CF =2DF ,連接BF、DE ,相交于點(diǎn)G

36、 ,過G作MN、PQ得到兩個正方形 MGQA和PCNG ,設(shè)正方形MGQA的面積為S1 ,正方形PCNG的面積為S2 ,則Si : S2 =.【解析】連接BD、EF .設(shè)正方形 ABCD邊長為3,則CE =CF2 BDSA GEF二33:S GBD222=18.因?yàn)?EF ，BD =8x18=144=12 ,=2 , 所以BE = DF=1,所以，EF2 =22 +22 =8,EF，BD=12.由梯形蝴蝶定理，得所以，Sa BGE:SA DGF : SnBGE622= EF2:BD2:EF BD : EF BD =8:18:12 :12=4:9:6:6,SW形 BDFE =一SW形 BDFE 因?yàn)?Sz BCD259=3 3-2 =一2，Sacef =2h2+2 = 2 ,所以S$形BDFE= Szbcd Sacef =-，所以， Sabge225由于4BGE底邊BE上的高即為正方形 PCNG的邊長,所以CN3二一 2-15669一 ,ND =3 =一 ,555所以 AM :CN =DN :CN =3:2,則 S:&=AM2:CN2【例29 如下圖，在梯形 ABCD中，AB與CD平