因式分解地常用方法(方法最全最詳細)

1、標(biāo)準(zhǔn)實用因式分解的常用方法第一部分：方法介紹因式分解：因式分解是指將一個多項式化成幾個整式的積的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等因式分解的一般步驟是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù) 法、試除法、拆項(添項)等方法；。注意：將一個多項式進行因式分解應(yīng)分解到不能再分解為止。、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、運用

2、公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因2-b2=(a+b)(a -b);2 ±2ab+b2=(a ± b)2； 3+b3=(a+b)(a 2-ab+bj ; 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).式分解中常用的公式，例如:(1) (a+b)(a-b) = a 2-b2a(2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+b2a(3) (a+b)(a2-ab+bj =a 3+b3a(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3a卜面再補充兩個常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=

3、(a+b+c) 2;(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知 a, b, c 是 AABC 的三邊，且 a2+b2+c2 = ab+ bc+ ca ,則 MBC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：a2 b2 c2 = ab bc ca= 2a2 2b2 2c2 = 2ab 2bc 2ca=(a b)2(b c)2 (ca)2 = 0= a = b =c三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分

4、解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a,后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考 慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式 =(am an) (bm bn)=a(m + n) + b(m + n)每組之間還有公因式！ =(m n)(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay - 5by -bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組。解：原式=(2ax -10ay) +(5by -bx) =2a(x -5y) -b(x -5y) =(x -5y)(2a -b)解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。原式=(2ax -bx) (-10ay 5by)=x(2a

5、-b) -5y(2a - b)=(2a -b)(x -5y)文案大全練習(xí)：分解因式 1、a2ab+ac bc2、xy x y+1(二)分組后能直接運用公式22例3、分解因式：x - y ax ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因 式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。22、，、解：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x - y) a(x y)=(x y)(x -y a)例4、分解因式：a2 2ab b2 -c2.,2_ . 2、2解：原式=(a -2ab b ) -c=(a -b)2 - c2=(a - b - c)(a - b c)練習(xí)：

6、分解因式 3、x2-x-9y2-3y 4、x2 - y2 - z2 - 2yz綜合練習(xí)：(1) x3+x2yxy2 - y3(3) x2 +6xy+9y2 -16a2 +8a-1(5) a4 -2a3 +a2 -9(2) ax2 -bx2 + bx-ax + a -b (4) a2 -6ab 12b 9b2 -4a (6) 4a2x - 4a2 y - b2x b2y222_.2 x -2xy-xz + yz + y(8) a 2a+b -2b+2ab + 1(9) y(y _2) (m 1)(m+1)(10) (a + c)(a c) + b(b 2a)222333(11) a (b+c)+

7、b (a+c)+c (a+b)+2abc(I2)a +b +c 3abc四、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為 1的二次三項式接利用公式 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)進行分解。特點：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？ 例.已知0V aw5,且a為整數(shù)，若2x2 +3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三項 式ax2+bx+c,都要求 =b2 -4ac >0而且是一個完全平方數(shù)。于是 = 9 -8a為完全平方數(shù)，a = 1例5、

8、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X 3的分解適合，即 2+3=5。12解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 313=(x +2)(x +3)1 x 2+1 x 3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù) 的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：x2 7x，61 -1-6(-1) + (-6) = -7解：原式=x2+(1)+(6)x + (1)(-6)=(x -1)(x -6)練習(xí) 5、分解因式(1) x2 14x

9、 24 (2) a2 -15a 36 (3) x2 4x - 5練習(xí) 6、分解因式(1) x2 x -2(2) y2 -2y -15(3) x2 -10x - 24(二)二次項系數(shù)不為 1的二次三項式ax2 +bx+c條件：(1)(2)(3)分解結(jié)果：c =gc2b = a1c2 a2c1ax2c1C2b = a1c2a2c1bx c = (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式：3x2 -11x 10分析：1、_-23-5(-6) + (-5) = -112(2) 3x2 -7x 22(4) -6y2 11y 10(3) 10x2 -17x 3解：3x2 -11x 10 = (x -2

10、)(3x -5) 練習(xí)7、分解因式：(1) 5x2 +7x 6(三)二次項系數(shù)為 1的齊次多項式22例8、分解因式：a -8ab -128b分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。1 - 8b2 -16b8b+(-16b)= -8b3 22 ，.一-，一.、解：a -8ab -1 2 8 = a 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)練習(xí)8、分解因式(1) x2 -3xy 2y22222(2) m -6mn 8n (3) a -ab -6b(四)二次項系數(shù)不為 1的齊次多項式例 9、2x2 -7xy 6y212一 -2y-3

11、y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x -2y)(2x -3y).22例 10、x y - 3xy 2把xy看作一個整體1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy - 1)(xy -2)2 2(2) a x 6ax + 8練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2 +7xy-4y2綜合練習(xí) 10、(1) 8x67x31 12x2 11xy 15y222-(3) (x + y) 3(x + y)10(4) (a + b) 4a 4b+ 32 222,_、2.2(5)x y -5xy6x(6) m 4mn+4n -3m+6n+22 一一 22222 x +4xy+4y 2x4y3 (

12、8) 5(a+b) +23(a b)10(a b)222222(9)4x 4xy6x + 3y + y -10 (I0)12(x+y) +11(x y) + 2(x y)思考：分解因式：abcx2 (a2b2 - c2)x - abc五、換元法。(1)、換單項式例1分解因式x6+ 14x3y + 49y2.分析：注意到x6= (x3) 2,若把單項式x3換元，設(shè)x3 = m,則x6= m2, 原式變形為m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y) 2= ( x3 + 7y)2.(2)、換多項式例 2分解因式(x2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析：本題前面的兩個多

13、項式有相同的部分，我們可以只把相同部分換元，設(shè) x2 +6= m,貝U x2+4x+6= m+4x , x2+6x+6= m+6x ,原式變形為(m+4x)(m+6x)+x 2= m2 +10mx+24x 2+x2= m2 +10mx+25x2=(m+5x) 2= ( x2 +6+5x)2=(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3)2.以上這種換元法，只換了多項式的一部分，所以稱為“局部換元法” 當(dāng)然，我們還可以把前兩個多項式中的任何一個全部換元，就成了 “整體換元法”.比如，設(shè)x2+4x+6=m ,則x2+6x+6=m+2x ,原式變形為m(m+2x)+ x 2 = m2+2mx

14、+x 2= (m+x) 2= ( x 2+4x+6+x) 2= ( x2+5x+6) 2=(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3) 2.另外，還可以取前兩個多項式的平均數(shù)進行換元，這種換元的方法被1 稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡化運算 .對于本例，設(shè)m= 2 (x 2+4x+6) + (x 2+6x+6)= x 2+5x+6 ,則 x2+4x+6=m-x , x2+6x+6=m+x ,(m+x)(m-x)+x 2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6) 2= (x+2)(x+3) 2 =(x+2) 2 (x+3) 2.例 3 分解因式(x-1)(x+2)(

15、x-3)(x+4)+24.分析：這道題的前面是四個多項式的乘積，可以把它們分成兩組相乘，使之轉(zhuǎn)化成為兩個多項式的乘積.無論如何分組，最高項都是x2,常數(shù)項不相等，所以只能設(shè)法使一次項相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分組為(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x 2+x-12),從而轉(zhuǎn)化成例 2 形式加以解決.1ccc我們米用 均值換兀法，設(shè)m= 2 (x +x-2)+ (x +x-12)=x +x-7,則x2+x-2=m+5 , x2+x-2= m-5 ,原式變形為(m+5)(m-5)+24=m 2-25+24=m 2-1=(m+1)(m-1

16、)=( x 2+x-7+1)( x 2+x-7-1) =(x2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x 2+x-8).(3)、換常數(shù)例 1 分解因式 x2(x+1)-2003 X 2004x.分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效.注意到2003、2004兩個數(shù)字之間的關(guān)系，把其中一個常數(shù)換元.比如，設(shè)m=2003,則2004=m+1. 于是，原式變形為x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x 2+x-m2-m) =x(x 2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)=x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(

17、x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 1)x-20052(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x解：(1)設(shè) 2005= a,則原式=ax2 一(a2 -1)x-a=(ax 1)(x -a)=(2005x 1)(x -2005)(2)型女q abcd +e的多項式,分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2設(shè) x2 +5x+6 = A,貝 U x2 + 7x+6 = A + 2x .原式=(A 2x)A x2 = A2 2Ax x2=(A x)2 = (x2 6x

18、 6)2練習(xí) 13、分解因式(1) (x2 +xy + y2)2 4xy(x2 +y2)(2) (x2+3x+2)(4x2+8x+3)+90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 -4(a2 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 x3 6x2 x 十2觀察：此多項式的特點一一是關(guān)于 x的降的排列，每一項的次數(shù)依次少 1, 并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式商于“等距離多項式”。一方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元替一解：原式=x2(2x2 x 6 112 ) = x2 2(x2 12) (x 1) 6x xxx1 c 1 c設(shè) x+ =t，則 x + 2=t -2 xx，原

19、式=x2 2( t2 2) t 6 =x2(2t2 t 10 )=x2 2t -5 t 2 =2 12x - - 5 x 2 xxC ,2 L 1=x 2x + -5 |x x +< x <1 oo2 = 2x -5x 2 x 2x 1 x2=(x 1)2(2x -1)(x -2)(2) x4 -4x3 +x2 +4x +1解：原式=x2(x2 -4x +1 +4 +4)=x2 ,/x2l-4 x J 1+1x x"Il x2J、x1 c 1c設(shè) x =y，則 x +-2 = y +2 xx，原式=x2(y2 -4y 3)= x2(y-1)(y-3)2 1122=x2(x

20、 1)(x 3) = X2 -x-1 x2 -3x-1 X x練習(xí) 14、(1) 6x4 +7x3 36x2 7x+6(2) x4 2x3 x2 1 2(x x2)六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式(1) x3 一3x2 +4解法2添項。3- 2.原式=x -3x - 4x 4x 4，2 一 、，、=x(x - 3x - 4) (4x 4)=x(x 1)(x 一 4) 4(x 1)，、，2、=(x 1)(x - 4x 4)-2=(x 1)(x-2)解法1拆項。原式=x3 1 -3x2 32=(x 1)(x2 -x 1) -3(x 1)(x-1)=(x 1)(x2 -x 1 -3x 3)，

21、、，2、=(x 1)(x -4x 4)-2=(x 1)(x-2)(2) x9 +x6 +x3 -3解：原式=(x9 -1) (x6 -1) (x3 -1)=(x3 -1)(x6 x3 1) (x3 -1)(x3 1) (x3 -1)=(x3 -1)(x6 x3 1 x3 11)練習(xí)15、分解因式(1) x3 -9x +8(3) x4 -7x2 +1(5) x4 + y4 +(x +y)4=(x - 1)(x2 x 1)(x6 2x3 3)(2) (x 1)4 (x2 -1)2 (x-1)4(4) x4 x2 2ax 1 - a2(6) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 - a4 -b4 -c

22、4七、待定系數(shù)法。例 16、分解因式 x2 + xy -6y2 + x + 13y - 6分析：原式的前3項x2+xy6y2可以分為(x+3y)(x 2y),則原多項式必定可分為(x 3y m)(x -2y n)解：設(shè) x2 xy -6y2 x 13y _6 = (x 3y m)(x - 2y n)1 (x 3y m)(x -2y n) = x2 xy _6y2 (m n)x (3n 2m)y mn2222x xy -6yx 13y -6 = x xy -6y (m n)x (3n - 2m)y - mnm = -2m n = 1對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得<3n -2m =13 ,解得

23、 mn = -6，原式=(x - 3y -2)(x 2y - 3)例17、(1)當(dāng)m為何值時，多項式 x2 y2+mx +5y 6能分解因式，并分 解此多項式。, 一 32(2)如果x +ax +bx +8有兩個因式為x +1和x +2 ,求a +b的值。(1)分析：前兩項可以分解為(x+y)(x-y),故此多項式分解的形式必 為(x y a)(x - y b)解：設(shè) x2 - y2 mx 5y - 6 = (x y a)(x - y b) 2222貝U x - y mx 5y - 6 = x - y (a b)x (b - a) y aba b=ma = -2a = 2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：也

24、2=5,解得：4 b=3或4b = 3©b = -6、m = 1口 = -1.當(dāng)m = ±1時，原多項式可以分解；當(dāng) m =1 時，原式=(x + y -2)(x 一 y +3);當(dāng) m = _1 時，原式=(x + y +2)(x - y - 3)(2)分析：x3+ax2+bx+8是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘， 因此第三個因式必為形如x + c的一次二項式。解：設(shè) x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x 2)(x c)則 x3 ax2 bx 8 = x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca = 3 c a = 7，小=2 +3c 解得b = 14,2

25、c = 8c = 4Ja b =21練習(xí) 17、(1)分解因式 x2 -3xy10y2 +x+9y 2(2)分解因式 x2 +3xy+ 2y2+5x+7y+6(3)已知：x2 -2xy-3y2 +6x14y+ p能分解成兩個一次因式 之積，求常數(shù)p并且分解因式。(4) k為何值時，x22xy十ky2+3x5y+2能分解成兩個一次 因式的乘積，并分解此多項式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1.把一個多項式化成幾個整式的 的形式，叫做把這個多項式分解 因式。2分解因式：m3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= .4、分解因式： -x _4x -4=。5.將x“-yn分解因式的 結(jié)果

26、為(x 2+y2)(x+y)(x-y)，則n的 值為.22226、若x-y=5y=6 ，貝仆 y xy= 2x +2y =o二、選擇題3 2-22 37、多項式15m n +5m n -20m n的公因式是()2 222A、5mn b 、5m n c、5m n d、5mn8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是 ()22223m -2m -3 = m I m-2 一-A (a+3%a3)=a29 B a2b2 =(a+b X ab )2C a -4a-5=a(a-4卜5 D、)(D)x2-4x+410 .下列多項式能分解因式的是(A)x 2-y (B)x2+1(C)x2+y+y2211 .

27、把(xy) (y x)分解因式為()A. (xy)(xy 1)B.(y x)(xy1)C. (yx)(y x 1)D.(y x)(yx+1)12 .下列各個分解因式中正確的是()A. 10ab2c+ 6ac2+2ac = 2ac (5b2+3c)B. (ab) 2 (b a) 2= (ab) 2 ( ab+ 1)C. x (b+ca)y (ab c)a+bc= (b+c a)(x +y1)D. (a2b) (3a+b)5 (2ba) 2= (a2b) (11b 2a)13 .若k-12xy+9x 2是一個完全平方式，那么 k應(yīng)為（）A.2B.4 C.2y 2 D.4y 2三、把下列各式分解因式

28、：14、nx-ny15、4m2 9n216 m(m-n)+n(n-m)17322、a -2a b ab222x 4 -16x18、*199(m + n)2 -16(m- n)2.五、解答題20、如圖，在一塊邊長a=6.67cm的正方形紙片中, 的正方形。求紙片剩余部分的面積。挖去一個邊長21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d =45cm,外徑D = 75cm，長l =3m。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？（冗取3.14 ,結(jié)果保留2位有效數(shù)字）22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個等式。2(1) x -1 = x 1 x -14

29、2(2) x -1 = x 1 x 1 x -1842 x8 -1 = x4 1 x2 1 x 1 x -1(4) x16 -1 = x8 1 x4 1 x2 1 iix 1 x -1經(jīng)典二：1. 通過基本思路達到分解多項式的目的例 1.分解因式 X5 一x4 +x3 -x2 +x 一1分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把x5 -x4 +x3和-x2 +x 1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把x5 -x4 , x3 -x2 , x -1分別看成一組， 此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解":原式=(x5 x4 x3) -

30、(x 2 x 1)= x3(x2 -x 1) -(x2 -x 1)二(x3 - 1)(x2 - x 1)22=(x -1)(x - x 1)(x - x - 1)解二：原式二(x5 -x4) , (x3 -x2) - (x -1)=x4 (x - 1) x2(x -1) (x - 1)二(x T)(x4 x - 1)=(x -1)(x42x2 1) -x2=(x -1)(x2 -x 1)(x2 x 1)2. 通過變形達到分解的目的例1.分解因式x3 +3x2 -4解一：將3x2拆成2x2 +x2 ,則有原式=x32x2 (x2 -4)2二x (x 2) (x - 2)(x -2)=(x 2)(

31、x2 x -2)=(x -1)(x 2)2解二：將常數(shù)-4拆成-1 -3 ,則有原式=X3 -1 (3x2 一3)2二(x -1)(x2 x 1) (x -1)(3x 3)， 2、=(x -1)(x 4x 4)2Kx 1)(x 2)23. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式(x2 -4)(x2 10x+21)+100的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：(x2 -4)(x2 -10x 21) 100=(x 2)(x -2)(x -3)(x -7) 100二(x 2)(x -7)(x -2)(x -3)

32、 100二 (x2 -5x -14)(x2 -5x 6) 100設(shè) y =x2 -5x ,則原式=(y -14)(y 6) 100 =y2 -8y 16 =(y -4)2丫無論y取何值都有(y 4)2之0(x2 -4)(x2 -10x +21) +100的值一定是非負數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：(a +2b +c)3 -(a +b)3 -(b +c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b, b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè) a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B二原式=(A +B)3 -A3 -B3=A3 3A2B 3AB2 B

33、3 -A3 -B3= 3A2B 3AB2=3AB(A B)= 3(a b)(b c)(a 2 b c)說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要 的。中考點撥例 1.在 MBC 中，三邊 a,b,c 滿足 a2 16b2 c2+6ab+10bc = 0求證：a , c =2b證明： a2 -16b2 -c2 6ab 10bc =0,a2 6ab 9 b2 -c2 10bc -25b2 =0即(a 3b)2 -(c -5b)2 =0(a 8b -c)(a -2b c) =0a b c,a 8b c,即 a 8b - c 0于是有a -2b c =0即a ,c =2b說明：此題是

34、代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。例 2.已知：x+1=2,則x3+±=xx3-21191斛：x =(x )(x -1)xxx二(x 1)(x -)2 -2 -1x x=2 1二211 c說明：利用x2+2=(x+)2 2等式化繁為易。xx題型展示1. 若x為任意整數(shù)，求證：(7 x)(3x)(4 X2)的值不大于100。解：(7 x)(3x)(4 x2) -100-_(x -7)(x 2)(x -3)(x -2) -100 22-_(x2 5x -14)(x2 5x 6) -10022=-(x2 -5x) -8(x2 -5x) 16 22=-(x2 -5x

35、-4)2 .0.(7 -x)(3 -x)(4 -x2) <100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100,即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2. 將a2 +(a +1)2 +(a2 +a)2分解因式，并用分解結(jié)果計算62 +72 +422。解：a2 (a 1)2 (a2 a)22222=a a 2a 1 (a a)= 2(a a) 1 (a a)二(a2 a 1)26272422 =(36 6 1)2 =432 =1849說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1 .分解因式：(1)3x5 -10x4 -8

36、x3 -3x210x 822(2)(a +3a -3)(a +3a +1) -5 22(3)x 2xy _ 3y +3x5y+23(4) x -7x +62 .已知：x+y=6, xy=1,求：x3+y3 的值。3 .矩形的周長是28cmi,兩邊x,y使x3 +x2y -xy 2 _y3 =0 ,求矩形的面 積。4 . 求證：n3+5n是6的倍數(shù)。(其中n為整數(shù))5 . 已知： a、 b、 c 是非零實數(shù)， 且22211111 1，.a +b +c =1, a(一+_)+b(_+_)+c(_+) =-3，求 a+b+c 的值。bccaa b6 . 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較 a2 +

37、 b2 _c2和4a2b2的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：(30分)21、若x+2(m3)x+16是完全平方式，則 m的值等于。222、x +x+m = (xn)則 m=n=3、 2x3y2與12x6y的公因式是4、若 xm -yn = (x + y2)(x -y2)(x2 + y4),貝U m=, n=一 235 .5、在多項式3y5y =15y中，可以用平方差公式分解因式的有 ,其結(jié)果是。6、若x2 +2(m3)x+16是完全平方式，則 m=。2，、一，一，、7、x +()x+2=(x+2)(x+)2.2004200520068、已知 1+x+x +x +x =0,則 x =.

38、29、若16(ab) +M +25是完全平方式 M=。10、x2+6x+(_)= (x+3)2, x2+()+9 = (x3)22.2.11、若9x +k+y是完全平方式，則 k=。22212、若x +4x4的值為0,則3x +12x5的值是。.213、若 x ax15 = (x+1)(x T5)貝U a=。2214、右 x+y=4,x +y =6則 xy=215、方程x +4x=0,的解是.二、選擇題：（10分）1、多項式a（ax）（xb）+ab（ax）（bx）的公因式是（）D、 a(x a)A、一 a、B、 一a(a x)(x b) C、a(a x)2、若 mx2 +kx+9 = (2x3

39、)2 ,則 m, k 的值分別是()A、m= 2, k=6 , B、m=2 , k=12 , C、m=4, k=-12、D m=4 , k=12、3、下列名式：x2 -y2,-x2 + y2,一x2 -y2,(-x)2 +(-y)2,x4 - y4 中能用平方差公式分解因式的有()A、1 個，B、2 個，C、3個,D、4 個1111 一4、計算（1-（1-牙廠（1-弁（1-港）的值是（）A、B、11一,C一,D.20101120、分解因式：（30分）4321 、 x -2x -35x2、3x6 -3x23、25(x-2y)2 -4(2y-x)2224、x 4xy1+4y55、x x6、 x3

40、-12,2,7、ax -bx bx+ax+ba8、x4 -18x2 +81429 、 9x -36y10、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)24四、代數(shù)式求值（15分） 14 33 4,1、已知 2xy=3, xy = 2,求 2xy -x y 的值。2、若x、y互為相反數(shù)，且（x+ 2）2 （y +1）2 = 4 ,求x、y的值.22 2223、已知 a+b=2,求（a -b ） -8（a +b ）的值五、計算：（15）3(1)0.75X3 66 -2.6641 1 .0011 ¥000(2)-i + i,、_2_ _2（3） 2x56 +8x56x22 +2x44六、試說明

41、：（8分）1、對于任意自然數(shù) n, （n +7）2 （n5）2都能被動24整除。2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計算（8分）1、一種光盤的外 D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結(jié)果 保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長比正方形 2的周長長96厘米，其面積相差 960平方厘 米求這兩個正方形的邊長。八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學(xué)分別對這個多項式進 行了描述：甲：這是一個三次四項式乙：三次項系數(shù)為 1,常數(shù)項為1。丙：這個多項式前三項有公因式?。哼@個多項式分解因式時要用到公式法若這四

42、個同學(xué)描述都正確請你構(gòu)造一個同時滿足這個描述的多項式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四:因式分解選擇題1、代數(shù)式 a3b2- -a2b3, 2A、a3b2B、a2b21 a3b4+ a4b3,a 4b2 a2b4 的公因式是(2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式 5a(xy) 10b (x y),提出的公 因式應(yīng)當(dāng)為()A、5a-10b B、5a+10bC、5(x-y) D、y-x3、把一8n3+12n2+ 4m分解因式，結(jié)果是()A、 4m(2m2 3m)B、4m(2m2+ 3m- 1)C、-4m(2m2-3m- 1)D、一 2m(4m2 6m+ 2)4、把多項式一2x4 4x

43、2分解因式，其結(jié)果是()A、2( 一 x 2x )B、一 2(x + 2x )C、一 x (2x +4) D、 一5、A(- 2) 1998+ ( 2) 1999 年一 21998R 21998C、199919992x2(x2+2)6、把16 x4分解因式，其結(jié)果是()A (2 -x)4B、(4 +x2)( 4 x2)C、(4+x2)(2 +x)(2 -x) D 、(2 + x) 3(2 - x)7、把a4-2a2b2+b4分解因式，結(jié)果是()A a2(a2-2b2)+ b4 B、(a2- b2)2C 、(a - b)4 D 、(a +b) 2(a b)28、把多項式2x2- 2x+分解因式，

44、其結(jié)果是()212-12-12_12A、(2x鼻)2B、2(x-2)2C、(x1)2D、2(x-1)29、若9a2+ 6(k 3)a + 1是完全平方式，則 k的值是()A、±4 B、±2C、3 D、4或 210、一J2xjy) (2x + y)是.列哪個多項式?解中式的結(jié)果 (2 I A、4x2 y2 B、4x2+ y2 C 、一4x2 y2 D 、一 4x2 + y2 11、多項式x2+ 3x 54分解因式為(A (x+6)(x -9)B、(x6)(x +9)C、(x+6)(x +9)D、 (x 6)(x -9)二、填空題1、2x2 4xy-2x =(x -2y- 1)

45、2、4a3b2 10a2b3 = 2a2b2()3、(1 a)mn+ a 1=()(mn 1)4、m(m- n)2(n m)2 =()()2_ 225、x -() + 16y=()6、x2 () 2=(x + 5y)( x 5y)7、a2 - 4(a - b) 2=() ()8、 a(x + y z) + b(x + y z) c(x + y z尸 (x + y z) - ()2 29、16(x y) - 9(x+ y) =() ()310、(a+b) (a + b)=(a +b) () ()11、x2+3x + 2=()()12、已知 x2+ px+12=(x2)(x -6),貝U p=.三

46、、解答題1、把下列各式因式分解。3-6y2+ 3y(1)x22x3(2)3y(3)a 2(x -2a)2- a(x - 2a)2(4)(x-2)2- x+2(5)25m210mn n2(6)12ax)2b(x y) 4ab(y 2_ 一+ 5a+ 6(9)x 2-11x+24(10)y2_-12y-28(11)x2 + 4x 5(12)y4 3y3 - 28y22、用簡便方法計算。(1) 9992 + 999(2)2022 542+256 X 35219972 1997 -1996 1998(x 1)2(3x 2) + (23x)(8)a3、已知：x + y= 1 ,xy=1.求 x3y +

47、2x2y2+ xy3 的值。 2四、探究創(chuàng)新樂園1、若 ab=2,ac=1,求(b c)2+ 3(bc) + -的值 242、求證：1111 1110 119=119X109五、證明（求值）1 .已知 a+ b=0,求 a3 2b3 + a2b 2ab2 的值.2 .求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1, 一定是一個完全平 方數(shù).3 .證明：(ac bd)2+(bc+ad)2=(a2 + b2)(c 2+d2).4 .已知 a=k+ 3, b=2k+2, c=3k 1,求 a2+b2 + c2+2ab 2bc-2ac 的值.5 .若 x2+ m奸n=(x3)(x +4),求(m+ n)2的值.6

48、.當(dāng)a為何值時，多項式x2+ 7xy + ay2 5x+43y24可以 分解為兩個一次因式的乘積.7 .若x, y為任意有理數(shù)，比較6xy與x2+ 9y2的大小.8 .兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是 4的倍數(shù).經(jīng)典五:因式分解分類練習(xí)題因式分解一提公因式法1、下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A. x2 - y B. x2 2x C.x2y2 D. x2 - xy y2.232、在把a x+ay-a xy分解因式時，應(yīng)提取的公因式是().2A. aB. aC. axD. ay3、下列變形是因式分解的是 ()A. 3x2y - xy y = y(3x2 -x) B.x2 - 2x 3 = (x

49、 -1)22C. x2y2 2xy -1 = (xy 1)(xy -1)D. xn 2 -xn 1 -xn 二 xn(x2 -x-1)4、多項式 a3b2 -a2b3, a4b2 -a2b4, a3b4 +a4b3 的公因式5 、多項式(x +y -z)(x - y +z) -(y +z x)(z -x -y)=。6 、 已知a2=b+c, 則 代 數(shù) 式a(a _b_c) _b(a_ b_c)_c(a _b _c) 。7、用提公因式法將下列各式因式分解： ax - ay ； 6xyz 3xz2 ；一x3z + x4y ；(6)36aby - 12abx +6ab ;3x( a -b) +2y(b - a);x(m -x)(m - y) - m(x - m)( y - m)8、若 7a8b =5,求(3a 4b)(7a-8b)(11a 12b)(8b7a)的值。9、利用因式分解計算：(1)31 X 3.14+27 X 3.14+42 X 3.14271222當(dāng) x=n y=, z =：時，求 xyz + xy z + x yz 的值。5204因式分解一公式法1、若x2 +2(m3)x+16是完全平方式，則 m的值等于()A. 3B. -5