理論力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)

1、第一篇 靜力學(xué)第1 章靜力學(xué)公理與物體的受力分析 1.1靜力學(xué)公理 公理1 二力平衡公理 ：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。 F=-F 工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件或二力桿。 公理2加減平衡力系公理 ：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改變?cè)ο祵?duì)剛體的效應(yīng)。 推論 力的可傳遞性原理 ：作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用。 公理3 力的平行四邊形法則 ：作用于物體上某點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，也作用于同一點(diǎn)上，其大小和方向可由這兩個(gè)力所組成的平行四邊

2、形的對(duì)角線來表示。 推論 三力平衡匯交定理 ：作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力，若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過匯交點(diǎn)。 公理4作用與反作用定律 ：兩物體間相互作用的力總是同時(shí)存在，且其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個(gè)物體上。 公理5鋼化原理 ：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。對(duì)處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來研究。 1.2 約束及其約束力 柔性體約束 光滑接觸面約束光滑鉸鏈約束第2章 平面匯交力系與平面力偶系1. 平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力,合力的作用線通過各力作用線的匯交點(diǎn),其大小

3、和方向可由失多邊形的封閉邊來表示,即等于個(gè)力失的矢量和,即FR=F1+F2+.+Fn=F2. 矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數(shù)和。3. 力對(duì)剛體的作用效應(yīng)分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力失來度量；力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來度量，即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量。（Mo（F）=±Fh）4. 把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系稱為力偶，記為（F,F）。例2-8 如圖2.-17（a）所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶，其力偶矩為500kNm，求A、C兩點(diǎn)的約束力。

4、解 構(gòu)件BC只在B、C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)，因此BC是二力桿，其受力如圖2-17（b）所示。由于構(gòu)件AB上有矩為M的力偶，故構(gòu)件AB在鉸鏈A、B處的一對(duì)作用力FA、FB構(gòu)成一力偶與矩為M的力偶平衡（見圖2-17（c）。由平面力偶系的平衡方程Mi=0，得Fad+M=0則有 FA=FBN=471.40N由于FA、FB為正值，可知二力的實(shí)際方向正為圖2-17（c）所示的方向。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知FC=FB=471.40N，方向如圖2-17（b）所示。第3章 平面任意力系1 合力矩定理：若平面任意力系可合成為一合力。則其合力對(duì)于作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。2

5、 平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對(duì)于面內(nèi)任意一點(diǎn)Q的主矩同時(shí)為零，即FR=0,Mo=0.3 平面任意力系的平衡方程:Fx=0,Fy=0,Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析條件是,力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零,各力對(duì)于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也是等于零.例3-1如圖3-8（a）所示，在長(zhǎng)方形平板的四個(gè)角點(diǎn)上分別作用著四個(gè)力，其中F1=4kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN，平板上還作用著一力偶矩為M=2kN·m的力偶。試求以上四個(gè)力及一力偶構(gòu)成的力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。解（1）求主矢FR，建立如圖3-

6、8（a）所示的坐標(biāo)系，有FRx=Fx=F2cos60°+F3+F4cos30°=4.598kNFRy=Fy=F1F2sin60°+F4sin30°=3.768kN所以，主矢為FR= =5.945kN主矢的方向 cos（FR,i）=0.773,(FR，i)=39.3° cos（FR,j）=0.634，（FR，j）=50.7°（2）求主矩，有M0=M0（F）=M+2F2cos60°2F2+3F4sin30°=2.5kN·m由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結(jié)果是一個(gè)合力FR，如圖3-8（b）所示，F(xiàn)R=FR

7、，合力FR到O點(diǎn)的距離為d=0.421m例3-10連續(xù)梁由AC和CE兩部分在C點(diǎn)用鉸鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18（a）所示，其中M=10kN·m，F(xiàn)=30kN，q=10kN/m，l=1m。求固定端A和支座D的約束力。解 先以整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-18（a）所示。其上除受主動(dòng)力外，還受固定端A處的約束力Fax、Fay和矩為MA的約束力偶，支座D處的約束力FD作用。列平衡方程有Fx=0，F(xiàn)axFcos45°=0Fy=0，F(xiàn)Ay2ql+Fsin45°+FD=0MA（F）=0，MA+M4ql ²+3FDl+4Flsin45°=0以

8、上三個(gè)方程中包含四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程?，F(xiàn)選CE為研究對(duì)象，其受力如圖3-（b）所示。以C點(diǎn)為矩心，列力矩平衡方程有MC（F）=0，ql²+FDl+2Flsin45°=0聯(lián)立求解得FAx=21.21kN，F(xiàn)ay=36.21kN，MA=57.43kN·m，F(xiàn)D=37.43kN第4章 考慮摩擦的平衡問題1. 摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。tanm=fs2. 自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力即合力Fa的方向、大小改變時(shí)，只要Fa的作用線在摩擦角內(nèi)，C點(diǎn)總是在B點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。例4-3梯子AB靠在墻上，其重為W=200N，如

9、圖4-7所示。梯長(zhǎng)為l，梯子與水平面的夾角為=60°已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N的人沿梯上爬，問人所能達(dá)到的最高點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離s為多少？解 整體受力如圖4-7所示，設(shè)C點(diǎn)為人所能達(dá)到的極限位置，此時(shí) FsA=fsFNA，F(xiàn)sB=fsFNBFx=0，F(xiàn)NB-FsA=0Fy=0，F(xiàn)NA+FsB-W-W1=0MA（F）=0，-FNBsin-FsBlcos+Wcos+W1scos=0聯(lián)立求解得 S=0.456l第5章 空間力系1. 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是:該力系的合力等于零,即FR=Fi=02. 空間匯交力系平衡的解析條件是:力系中各力在三條坐標(biāo)軸上投影的

10、代數(shù)和分別等于零.3. 要使剛體平衡,則主失和主矩均要為零,即空間任意力系平衡的必要和充分條件是:該力系的主失和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零,即FR=Fi=0,Mo=Mo(Fi)=04. 均質(zhì)物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀,而與物體的重量無關(guān).若物體是均質(zhì)薄板,略去Zc,坐標(biāo)為xc=Ai*xi/A,yc=Ai*yi/A5. 確定物體重心的方法(1) 查表法(2) 組合法:分割法;負(fù)面積(體積)法(3) 實(shí)驗(yàn)法例5-7試求圖5-21所示截面重心的位置。解 將截面看成由三部分組成：半徑為10mm的半圓、50mm×20mm的矩形、半徑為5mm的圓，最后一部分是去掉的部分，其面積應(yīng)為負(fù)值

11、。取坐標(biāo)系Oxy，x軸為對(duì)稱軸，則截面重心C必在x軸上，所以yc=0.這三部分的面積和重心坐標(biāo)分別為A1=mm²=157mm²,x1=-=-4.246mm，y1=0A2=50×20mm²=1000mm²，x2=25mm，y2=0A3=-×5²mm²=-78.5mm²，x3=40mm，y3=0用負(fù)面積法，可求得Xc= 第二篇 運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 6.2直角坐標(biāo)法 運(yùn)動(dòng)方程 x=f(t)y=g(t) z=h(t)消去t可得到軌跡方程 f（x,y,z）=0 其中 例題6 -1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4（a）所

12、示，曲柄oc以等角速度w繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，通過連桿AB帶動(dòng)滑塊A、B在水平和豎直槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OC=BC=AC=L 。求：（1）連桿上M點(diǎn)（AM=r）的運(yùn)動(dòng)方程；（2）M點(diǎn)的速度與加速度。 解：（1）列寫點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 由于M點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，故建立坐標(biāo)系。點(diǎn)M是BA桿上的一點(diǎn)，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)。曲柄做等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，=wt 。由這些約束條件寫出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程x=(2L-r)coswt y=rsinwt 消去t 得軌跡方程：（x2L-r）²+（y/x）²=1（2）求速度和加速度對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得 dx/dt=-(2L-r)wsinwt dy/dt=rsinwt 再求

13、導(dǎo)a1=-(2L-r)w²coswt a2=-rw²sinwt 由式子可知a=a1i+a2j=-w²r 6.3自然法2.自然坐標(biāo)系：b=t×n其中b為副法線 n為主法線 t3.點(diǎn)的速度 v=ds/dt 切向加速度 at=dv/dt 法向加速度 an=v²/p 習(xí)題6-10滑道連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA長(zhǎng)r，按規(guī)律=+wt 轉(zhuǎn)動(dòng)（以rad計(jì)，t以s計(jì)），w為一常量。求滑道上C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、速度及加速度方程。 解：第七章 剛體的基本運(yùn)動(dòng) 7.1剛體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡的形狀相同。在同一瞬時(shí)，所有各點(diǎn)具有相同的速度和相同的加速度。剛體

14、的平移問題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題。 7.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：瞬時(shí)角速度 w=limt=d/dt 瞬時(shí)角加速度a=limwt=dw/dt=d²/dt² 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的代數(shù)值等于該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積a=(a²+b²)=R(²+w²) =arctan|a|/b =arctan|/w² 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度和加速度的大小都與該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。 例題7-1如圖所示平行四連桿機(jī)構(gòu)中，O1A=O2B=0.2m ,O1O2=AB=0.6m ,AM=0.2m ,如O1A按=15t的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，其中以rad計(jì)，t以s計(jì)。試

15、求t=0.8s時(shí)，M點(diǎn)的速度與加速度。 解：在運(yùn)動(dòng)過程中，桿AB始終與O1O2平行。因此，桿AB為平移，O1A為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)平移的特點(diǎn)，在同一瞬時(shí)M、A兩點(diǎn)具有相同的速度和加速度。A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 s=O1A·=3t m 所以 VA=ds/dt=3 m/s atA=dv/dt=0 anA= (VA)²/O1A=45 m/s 為了表示Vm 、am 的2，需確定t=0.8s時(shí)，AB桿的瞬時(shí)位置。當(dāng)t=0.8s時(shí)，s=2.4mO1A=0.2m ,=2.4/0.2=12,AB桿正好第6次回到起始位置O點(diǎn)處，Vm 、am的方向如圖所示。第8章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 8.1合成運(yùn)

16、動(dòng)的概念：相對(duì)于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相對(duì)于其他參考系的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而成，這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。當(dāng)研究的問題涉及兩個(gè)參考系時(shí)，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系，簡(jiǎn)稱定系。吧相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系。研究的對(duì)象是動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著，因此，牽連運(yùn)動(dòng)具體有剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，常見的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也可分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)參考系，往往能把比較

17、復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。這種研究方法無論在理論上或?qū)嵺`中都具有重要意義。動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度、相對(duì)加速度，分別用vr和ar表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，分別用va和aa表示。換句話說，觀察者在定系中觀察到的動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度；在動(dòng)系中觀察到動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為相對(duì)速度和相對(duì)加速度。在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)M相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的牽連點(diǎn)。如在某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)將沿著牽連點(diǎn)的軌跡而運(yùn)動(dòng)。牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)系上的哪一點(diǎn)，該點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。定義某瞬時(shí)牽連

18、點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度、牽連加速度，分別用ve和ae表示。動(dòng)系Oxy與定系Oxy之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為x=x0+xcos-ysin y=y0+xsin+ycos在點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t，即得點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡；在點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t，即得點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。 例題8-4 礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為v1=4 m/s ，方向與豎直線成30角。已知傳送帶B水平傳動(dòng)速度v2=3 m/s.求礦砂相對(duì)于傳送帶B的速度。 解：以礦砂M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B上。礦砂相對(duì)地面的速度v1為絕對(duì)速度；牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)

19、相重合的哪一點(diǎn)的速度。可設(shè)想動(dòng)參考系為無限大，由于它做平移，各點(diǎn)速度都等于v2 。于是v2等于動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對(duì)速度必須是對(duì)角線，因此作出的速度平行四邊形如圖所示。根據(jù)幾何關(guān)系求得Vr=（ve²+va²-2vevacos60º）=3.6 m/sVe與va間的夾角 =arcsin（ve/vr*sin60º）=46º12總結(jié)以上，在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系是運(yùn)動(dòng)的，因此它們不能處于同一物體；為便于確定相對(duì)速度，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)簡(jiǎn)單清楚。8.3當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)

20、加速度等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。第9章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=f1(t) y=f2(t) =f3(t)完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點(diǎn)為基點(diǎn)而將平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。9.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度分析： 平面圖形在某一瞬時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等，這就是速度投影定理。Vcosa=vcosb例9-1橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動(dòng)，曲柄以勻角速度0繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖9-7所示，OC=BC=AC=r，求圖示位

21、置時(shí)，滑塊A、B的速度和橢圓規(guī)尺AB的角速度。解 已知OC繞軸O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，橢圓規(guī)尺AB做平面運(yùn)動(dòng)，vc=0r。（1） 用基點(diǎn)法求滑塊A的速度和AB的角速度。因?yàn)镃的速度已知，選C為基點(diǎn)。 vA=Vc+VAC式中的vc的大小和方向是已知的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于AC，可以作出速度矢量圖，如圖9-7所示。 由圖形的幾何關(guān)系可得 vA=2vccos30°=0r,Vac=Vc，Vac=ABr 解得AB=0（順時(shí)針）（2） 用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。vBBC=vCBCVccos30°=vBcos30°解得Vb=vC=0r例9-

22、5圖9-15所示機(jī)構(gòu)中，長(zhǎng)為l的桿AB的兩端分別與滑塊A和圓盤B沿豎直方向光滑移動(dòng)，半徑為R的圓盤B沿水平直線做純滾動(dòng)。已知在圖示的位置時(shí)，滑塊A的速度為vA，求該瞬時(shí)桿B端的速度、桿AB的角速度、桿AB中點(diǎn)D的速度和圓盤的角速度。解 根據(jù)題意，桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，vA的方向已知，圓盤中心B的速度沿水平方向，則桿AB的速度瞬心為P點(diǎn)，有AB= vB=AB·BP=vAtan vD=AB·DP=·=圓盤B做平面運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)為其速度瞬心，則B=tan第三篇 動(dòng)力學(xué) 第10章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程1. 牛頓第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速

23、直線運(yùn)動(dòng)。又稱慣性定律。2. 牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。F =ma3. 牛頓第三定律：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。例10-2：曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖10-2（a）。曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r，AB=l，當(dāng)=r/l比較小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似表示為X=l(1-)+r(cost+)如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)=t=0和時(shí)，連桿AB所受的力。解以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng)=t時(shí)，其受力如圖10-2（b）所示。由于連桿不計(jì)質(zhì)量，AB應(yīng)

24、為二力桿，所以受平衡力系作用，它對(duì)滑塊B的拉力F沿AB方向?；瑝K啱x軸的運(yùn)動(dòng)方程Max=-Fcos由滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可得Ax=-r²（cost+cos2t）當(dāng)t=0時(shí)，ax=-r²（1+），且=0，得F=mr²(1+)桿AB受拉力。 同理可得，當(dāng)t=時(shí)，F(xiàn)=-，桿AB受壓力例10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為a時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解 以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為|x|，彈簧力大小為F=k|x|，并指向O點(diǎn)，如圖10-5所示，則此物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)

25、微分方程為 m=Fx=-kx令²n=，將上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 +²nx=0上式的解可寫為X=Acos(nt+)其中A、為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，當(dāng)t=0時(shí)，=0，x=a，代入上式，解得=0，A=a，代入式中，可解得運(yùn)動(dòng)方程為X=acosnt第11章 動(dòng)力定理1. 動(dòng)量：等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理: 微分形式:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和. 積分形式:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一時(shí)間間隔內(nèi)的變化,等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在該指點(diǎn)系上所有外力的沖涼的矢量和.(沖涼定理)3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如

26、果所有作用于質(zhì)心系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即F=0，則Vcx=常量，這表明質(zhì)心的橫坐標(biāo)xc不變或質(zhì)心沿x軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)均勻的。例11-5：已知液體在直角彎管ABCD中做穩(wěn)定流動(dòng)，流量為Q，密度為，AB端流入截面的直徑為d，另一端CD流出截面的直徑為d1。求液體對(duì)管壁的附加動(dòng)壓力。解 取ABCD一段液體為研究對(duì)象，設(shè)流出、流入的速度大小為v1和v2,則V1=，v2=建立坐標(biāo)系，則附加動(dòng)反力在x、y軸上的投影為FNx=Q(v2-0)=FNy=Q 0-（-v1）例11-7：圖11-6所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)。若OA=AB=l，OA及AB都為

27、均質(zhì)桿，質(zhì)量都為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及此系統(tǒng)的動(dòng)量。解 設(shè)t=0時(shí)桿OA水平，則有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，分別位于桿OA的中點(diǎn)、桿AB的中點(diǎn)和B點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為Xc=cost=lcostYc=sint=lsint上式即系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上兩式消去時(shí)間t,得xc²+²=1即質(zhì)心C的運(yùn)功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應(yīng)指出，系統(tǒng)的動(dòng)量，利用式（11-15）的投影式，有Px=mvcx=(2m1+m2)=-2(m1+m2)lsintPy=mvcy=(2m1+m2)=m1lcost例11-11：平板D放置在光滑水平面

28、上，板上裝有一曲柄、滑桿 、套筒機(jī)構(gòu)，十字套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。已知曲柄OA是一長(zhǎng)為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿，以勻角速度w繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑮UAB的質(zhì)量為4m,套筒C的質(zhì)量為2m，機(jī)構(gòu)其余部分的質(zhì)量為20m，設(shè)初始時(shí)機(jī)構(gòu)靜止，試求平板D的水平運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)。解 去整體為質(zhì)點(diǎn)系，說受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因?yàn)橥饬υ谒捷S上的投影為零，且初始時(shí)靜止，因此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。建立坐標(biāo)系，并設(shè)平板D的質(zhì)心距O點(diǎn)的水平距離為a，AB長(zhǎng)為l，C距O點(diǎn)的水平距離為b,則初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的水平軸的坐標(biāo)為Xc1=設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，平板D向右移動(dòng)了x(t)，曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)了角度wt,

29、此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)為Xc2=因?yàn)樵谒椒较蛏腺|(zhì)心守恒，所以xc1=xc2, 解得：X(t)=(1-cost)P207習(xí)題11-3第12章 動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩:指點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩失在z軸的投影,等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩,即Lo(mv)=Lz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和.即:Lo=Lo(mv)2. 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的裝動(dòng)慣量與角速度的乘積.(Lz=wJz)3. 平行軸定理:剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體對(duì)通過質(zhì)心并與該軸平行的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.4. 動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)

30、時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一點(diǎn)的矩.例12-2：已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m,圓盤半徑為R，桿長(zhǎng)3R，求擺對(duì)通過懸掛點(diǎn)O并垂直于圖面的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 擺對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Jz=Jz桿+Jz盤 桿對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Jz桿=ml²=m（3R）²=3mR²圓盤對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Jzc2=mR²利用平行軸定理 Jz盤= Jzc2+m（R+l²）=mR²+16mR²=mR²所以Jz= Jz桿+Jz盤=3mR²+mR²= mR²例12-3：質(zhì)量為M1的塔倫可繞垂直于圖面

31、的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，繞在塔輪上的繩索于塔輪間無相對(duì)滑動(dòng)，繞在半徑為r的輪盤上的繩索于剛度系數(shù)為k的彈簧相連接，彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤上的繩索的另一端豎直懸掛質(zhì)量為M2的重物。若塔輪的質(zhì)心位于輪盤中心O，它對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo=2mr,R=2r,M1=m,M2=2m.求彈簧被拉長(zhǎng)s時(shí)，重物M2的加速度。解 塔輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)該瞬時(shí)角速度為w,重物作平移運(yùn)動(dòng)，則它的速度為v=Rw,它們對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為L(zhǎng)o1，Lo2，大小為L(zhǎng)o1=-Jo·w=-2mr2，Lo2=-2mR2w=-8mr2²系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的外力矩為M0（）=F·r-m2g·R=ksr-4mgr根據(jù)動(dòng)量矩定理L0=M0（）得10mr²=(4mg-ks)r=因