北師大版八年級(jí)下因式分解

1、1 因式分解1. 使學(xué)生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念.2. 認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的關(guān)系互逆關(guān)系 (即相反變形),并能運(yùn)用這種關(guān)系尋求因式分解的方法.1. 通過解決實(shí)際問題,學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題,體驗(yàn)解決問題策略的多樣性,發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí).2. 通過對(duì)因式分解與整式乘法的觀察與比較,學(xué)習(xí)代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力與綜合應(yīng)用能力.培養(yǎng)學(xué)生接受矛盾的對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn),獨(dú)立思考、勇于探索的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【重點(diǎn)】因式分解的概念.【難點(diǎn)】理解因式分解與整式乘法的關(guān)系,并運(yùn)用它們之間的關(guān)系尋求因式分解的方法.多媒體課件.復(fù)習(xí)有關(guān)整

2、式乘法的知識(shí)導(dǎo)入一 :【問題】簡(jiǎn)便運(yùn)算.(1)736 × 95+736 ×5;(2)-2 . 67 × 132+25 ×2. 67+7 ×2 . 67. 設(shè)計(jì)意圖 觀察實(shí)例,分析兩個(gè)問題的共同屬性:解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成幾個(gè)數(shù)的積的形式 ,此時(shí)學(xué)生對(duì)因式分解還相當(dāng)陌生,但學(xué)生對(duì)用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算應(yīng)該相當(dāng)熟悉. 這一步的目的是設(shè)計(jì)問題情境 ,復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與計(jì)算,引入新課,讓學(xué)生通過回顧用簡(jiǎn)便方法計(jì)算因數(shù)分解這一特殊算法,運(yùn)用類比很自然地過渡到因式分解的概念上,從而為因式分解的理解和掌握打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二 :【問題】(1)993-99 能被

3、99 整除嗎?為了回答這個(gè)問題,你該怎樣做?把你的想法與同學(xué)交流.因?yàn)?93- 99=99× 992-99× 1=99 (992-1 ),所以993-99 能被 99 整除 .(2)993-99 能被100整除嗎?為了回答這個(gè)問題,你該怎樣做?把你的想法與同學(xué)交流.小明是這樣做的:993- 99=99× 99 2-99 ×1=99(992-1 )=99× 9800=99× 98× 100 ,所以993-99 能被 100整除 . 設(shè)計(jì)意圖 以一連串的知識(shí)性問題引入,在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上,先讓學(xué)生解決一些具體的數(shù)的運(yùn)算問題,

4、通過簡(jiǎn)便運(yùn)算把一個(gè)式子化成幾個(gè)數(shù)的乘積的形式,并且問題的設(shè)置由淺入深,逐步讓學(xué)生體會(huì)因數(shù)分解的過程和意義. 這一環(huán)節(jié)的設(shè)置對(duì)學(xué)生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,體現(xiàn)了知識(shí)螺旋上升的特點(diǎn).一、因式分解的概念思路一 過渡語 (針對(duì)導(dǎo)入二)前面問題中解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成了幾個(gè)數(shù)的積的形式. 如果我們將數(shù)字換成字母,上述結(jié)論仍然成立嗎?用 a 表示任意一個(gè)常數(shù),則 :a3-a=a· a2-a· 1=a· (a2-1 )=a· (a+1)(a-1 )=(a-1 )· a· (a+1).(1)你能理解嗎?你能與同伴交流每一步是怎么

5、變形的嗎?(2)這樣變形是為了達(dá)到什么樣的目的?像這樣 ,把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做因式分解. 因式分解也可稱為分解因式.設(shè)計(jì)意圖 從知識(shí)性的問題過渡到思考性的問題,巧妙設(shè)問“: 如果我們將數(shù)字換成字母,上述結(jié)論仍然成立嗎?”引發(fā)學(xué)生聯(lián)想到用字母表示數(shù)的方法,得出a3-a=(a-1 )· a· (a+1),這個(gè)過程對(duì)學(xué)生來說是思維上的一次飛躍,是從對(duì)具體、個(gè)別事物的認(rèn)識(shí)上升到對(duì)一般事物規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí),是對(duì)學(xué)生思維能力水平的一次提高,同時(shí)很自然地從因數(shù)分解過渡到因式分解,初步樹立起學(xué)生對(duì)因式分解概念的直觀認(rèn)識(shí).思路二過渡語 前面我們研究了數(shù)字的情況

6、,下面我們看教材第92 頁(yè)做一做,關(guān)于字母的情況.觀察下面的拼圖過程,寫出相應(yīng)的關(guān)系式.解答:(1) ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2 .像這樣,把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做因式分解. 因式分解也可稱為分解因式設(shè)計(jì)意圖 以拼圖前后面積不變的方式,加深學(xué)生對(duì)因式分解的理解,形象地說明因式分解是整式的恒等變形,對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有實(shí)際價(jià)值. 學(xué)生通過觀察,給出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都應(yīng)給予鼓勵(lì). 要注意的是,這里拼圖前后的數(shù)量關(guān)系主要指向面積,教師要適當(dāng)引導(dǎo).二、例題講解 過渡語 剛剛我們學(xué)習(xí)了什么是因式分解,我們通過下面

7、的幾個(gè)例題來看看同學(xué)們理解得怎么樣.(教材做一做)計(jì)算下列各式:(1)3x(x-1 )=;(2)m(a+b-1 )=;(3)(m+4)(m-4 )=;2(4)(y-3)=.根據(jù)上面的算式進(jìn)行因式分解:2(1)3x-3x=()();(2)ma+mb- m=()();(3)m2-16= ()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解與整式乘法有什么關(guān)系?舉例說明. 設(shè)計(jì)意圖 通過兩組練習(xí),類比兩種不同的運(yùn)算,進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)什么是因式分解,以及因式分解與整式乘法之間的互逆關(guān)系,這個(gè)時(shí)候, 因式分解的概念已基本在學(xué)生頭腦中確立. 由整式乘法的逆運(yùn)算逐步過渡到因式分解,發(fā)展學(xué)生的逆向思維.

8、知識(shí)拓展 對(duì)于因式分解應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式;(2)分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式;(3)要分解到不能分解為止.1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做因式分解,因式分解也可稱為分解因式.2. 因式分解與整式乘法是互逆過程.3. 因式分解要注意以下幾點(diǎn):(1)分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式;(2)分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式;(3)要分解到不能分解為止.1. 下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是()2A.x -x-2=x(x-1 )-2B.(a+b)(a- b)=a2- b22C.x2-4=(x+2)(x-2 )解析:主要考查因式分解的概念. 故選

9、C.2. 下列各式因式分解正確的是()A. a+b=b+a22B.4xy-8xy +1=4xy(x-2y)+12C.a(a-b)=a- abD.a2-2 ab+2a=a(a-2 b+2)解析:主要考查因式分解的概念. 故選D.3. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成的形式,這種變形叫做因式分解答案:幾個(gè)整式的積4. 因式分解與整式乘法的關(guān)系是.答案:互為逆過程5. 計(jì)算× 13-× 6+ ×2 的結(jié)果是解析:利用因式分解可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 原式 =× (13-6+2 )=× 9=7. 故填7.1 因式分解一、因式分解的概念二、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第 9

10、3 頁(yè)隨堂練習(xí)的1,2題 .【選做題】教材第 94 頁(yè)習(xí)題 4. 1 的 1,2題 .二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1. (柳州中考)下列式子是因式分解的是()A.x(x-1 )=x(4)x +2+ =;(5)2a3=2a· a· a.【答案與解析】-12B.x - x=x(x+1)2C.x +x=x(x+1)2D.x - x=(x+1)(x-1 )2. 下列各式從左到右的變形中,是因式分解的是()2A.x -9+6x=(x+3)(x-3 )+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2 )(x+3)=(x+3)(x-2 )3. 觀

11、察下面計(jì)算962× 95+962×5的過程,其中最簡(jiǎn)單的方法是()A.962× 95+962× 5=962× (95+5)=962× 100=96200B.962× 95+962× 5=962× 5×(19+1)=962× (5× 20)=96200C.962× 95+962× 5=5× (962× 19+962 )=5× (18278+962)=96200D.962× 95+962× 5=91390+48

12、10=96200【能力提升】4. 計(jì)算(1)(3)題 ,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果將(4)(6)題進(jìn)行因式分解.(1)(x-2 )(x-1 )=;(2)3x(x-2 )=;(3)(x-2 )2=;2 (4)3x -6 x=()();2(5)x -4 x+4=()()2(6)x -3 x+2=()()【拓展探究】5. 下列從左到右的變形中,哪些是因式分解?哪些不是?請(qǐng)說明理由.(1)a(x+y)=ax+ay;(2)x2+2xy+y2-1= x(x+2y)+(y+1)(y-1 );2 (3)ax -9 a=a(x+3)(x-3 );5. 解 :因?yàn)?1)(2)的右邊都不是整式的積的形式,所以它們不是因式分解;

13、(4)中, 都不是整式,所以不是因式分3解 ;(5)中的2a 解 :原式=I(R1+R2+R3)=2. 5× (24.2+36.4+39. 4)=250. 故代數(shù)式的值為250. 解 :如右圖所示.x 2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)· (x+1).不是多項(xiàng)式,所以它也不是因式分解. 只有 (3)的左邊是多項(xiàng)式,右邊是整式的積的形式,所以(3)是因式分解.本節(jié)課以學(xué)生的思維進(jìn)程發(fā)展為主線,采用逐步滲透和類比的思想方法. 在概念引入時(shí)從因數(shù)分解與因式分解的類比,到概念強(qiáng)化階段整式乘法與因式分解的過程的類比,再到等式恒等變形與因式分解的類比,逐漸加深學(xué)生的認(rèn)識(shí). 主

14、要體現(xiàn)在從一開始以一連串的知識(shí)性問題引入,到后來教學(xué)環(huán)節(jié)中多次提出思考性的問題,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步的猜想、探究,這種循序漸進(jìn)的思維進(jìn)程有助于學(xué)生理解接受新知識(shí).本課的設(shè)計(jì)過多強(qiáng)調(diào)學(xué)生用高度抽象的語言來描述概念. 在例題的講解過程中,沒有讓學(xué)生嘗試自己獨(dú)立完成 .注意引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度理解因式分解. 最好將因式分解的方法也一起適當(dāng)?shù)厝谌氲奖竟?jié)課的教學(xué).隨堂練習(xí)(教材第93 頁(yè) )1 .解 :2 . 解 :(2)(4)是因式分解. 因?yàn)?2)(4)滿足因式分解的定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式習(xí)題 4. 1(教材第 94 頁(yè) )1 .解 :2 . 解 :(2)(3)是因式分解.5.

15、解 :(1)原式=1999× (1999+1)=1999× 2000,所以19992 +1999能被 1999 整除,也能被2000整除 .(2)原式= × (16.9+15. 1)=4,故16. 9× +15. 1× 能被 4整除 .學(xué)生已經(jīng)熟悉乘法的分配律及其逆運(yùn)算,并且學(xué)習(xí)了整式的乘法運(yùn)算,因此對(duì)于因式分解的引入,學(xué)生不會(huì)感到陌生,它為今天學(xué)習(xí)因式分解打下了良好基礎(chǔ). 由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程而逆向思維對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來說還比較生疏,接受起來還有一定的困難,另外本節(jié)還沒有涉及因式分解的具體方法 ,所以對(duì)于學(xué)生來說,尋求因式分解的方法是一個(gè)難點(diǎn).a=2,b=3,c =5. 求代數(shù)式a(a+b- c)+b(a+b- c)+c(c- a- b)的值 .解 :當(dāng)a=2,b=3,c =5 時(shí) ,a(a+b- c)+b(a+b- c)+c(c- a- b) =a( a+b- c)+b(a+b- c)- c(a+b- c)