用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型浙江曾安雄求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為下面例析四種常見(jiàn)的類型及解法類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（）解：設(shè)為切點(diǎn)，則切

2、點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)故切線方程為，即，故選評(píng)注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選類型三：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例3 求過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問(wèn)題可用待定切點(diǎn)法類型四：已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)

3、求解例4求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，即評(píng)注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性例5已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足因，故切線的方程為點(diǎn)在切線上，則有化簡(jiǎn)得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為評(píng)注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)2、求圓錐曲線的切線在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒(méi)有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一

4、個(gè)交點(diǎn)的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，是的切線，但與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，但卻不是的切線，由此可見(jiàn)，用“一個(gè)交點(diǎn)”來(lái)定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識(shí)后，就可以給出曲線切線的一般定義了。切線的定義：設(shè)是曲線上一定點(diǎn)，是該曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，從而有割線，令沿著曲線無(wú)限趨近于，則割線的極限位置就是曲線在的切線（如果極限存在的話）。這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時(shí)），用這一定義也容易證明是的切線，而不是的切線，這一切線定義可用于任何曲線。導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)的切線斜率。故運(yùn)用上述切線的一般定義和結(jié)論，可以處理與切線有關(guān)

5、的許多問(wèn)題。例6 求曲線在時(shí)的切線方程。解： 當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所求的切線方程為：即反思：由此可見(jiàn)，用微積分法解此類問(wèn)題是多么的簡(jiǎn)單容易，可是在初等數(shù)學(xué)中，曲線的切線定義都難得給出，更別說(shuō)討論與的切線有關(guān)的問(wèn)題了。例7 已知函數(shù)在處取得極值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。解：由例4，曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)為則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，由于，故切線的方程為.注意到點(diǎn)在切線上,有化簡(jiǎn)得,解得.因此,切點(diǎn)為,切線方程為.要點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)是如何定義2.如何求曲線在點(diǎn) 處的切線方程與法線方程。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 § 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念由于機(jī)器制造，遠(yuǎn)洋航海，天象觀測(cè)等大量實(shí)際問(wèn)題給數(shù)學(xué)家提出了

6、許多課題。其中求曲邊梯形面積的研究導(dǎo)致了積分學(xué)的產(chǎn)生，而求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，求曲線上一點(diǎn)的切線，求函數(shù)的極大值和極小值等問(wèn)題的研究導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生。 歷史上，Newton從瞬時(shí)速度出發(fā)，Leibniz從曲線的切線出發(fā)，分別給出導(dǎo)數(shù)的概念，并明確給出計(jì)算導(dǎo)數(shù)的步驟，而且建立了有關(guān)積分與微分是互為逆運(yùn)算的完整理論。一. 導(dǎo)數(shù)的概念1. 平均變化率 設(shè)在點(diǎn)處自變量改變，函數(shù)相應(yīng)地改變, 則平均變化率是 . 圖3.1不難看出，平均變化率的幾何解釋是連續(xù)曲線上兩點(diǎn)的割線的斜率(如何？)2. 瞬時(shí)變化率當(dāng)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度隨時(shí)間而確定，此時(shí)平均變化率表示時(shí)刻從到這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，若設(shè)

7、路程是時(shí)間的函數(shù)，則 ，當(dāng)很小時(shí)，可以用近似地表示物體在時(shí)刻的速度，愈小，近似的程度就愈好。當(dāng)時(shí)，如果極限 存在，則稱此極限為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即.例1. 已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為 .求（1）： 落體從到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 .（2）：落體在時(shí)的瞬時(shí)速度。解 （1） ， . . 平均速度 . （2）：落體在時(shí)的瞬時(shí)速度。 瞬時(shí)速度 .3. 切線的斜率設(shè)有一連續(xù)函數(shù) ，則平均變化率是指曲線上的兩點(diǎn)的割線的斜率。 即割線的斜率是.當(dāng) 時(shí), 顯然, 割線越來(lái)越趨于曲線在點(diǎn)處的切線.即切線是割線的極限位置，平均變化率的極限值（如果存在） 則是曲線在點(diǎn)的切線的斜率。 圖3.2例2 求曲線在點(diǎn)處的切線

8、斜率和切線方程.解：先計(jì)算從點(diǎn)到鄰近任意點(diǎn) 的平均變化率 .故曲線在點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)為 =3.而過(guò)點(diǎn)的切線方程為 .即 .思考題 如果上題中改為求過(guò)點(diǎn)的切線，此時(shí)要驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上。然后求出切點(diǎn)（，再用點(diǎn)斜式求出切線方程，此時(shí)個(gè)能有左、右兩條切線。對(duì)一般曲線，既使點(diǎn)在曲線上，如果求在點(diǎn)處的切線，則切線可能有1條、2條、3條。由上面的例題可以看出，平均變化率的極限可以給出不同的解釋。一個(gè)是作為變速直線運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，一個(gè)是看作曲線上某一點(diǎn)的切線的斜率。其實(shí)這個(gè)量或（其中）在各個(gè)不同領(lǐng)域中可以有許多不同的解釋。數(shù)學(xué)上給它一個(gè)特殊的名稱，叫做函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。4. 導(dǎo)數(shù)的定義定義 設(shè)函數(shù)

9、在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量()時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的改變量.如果當(dāng)時(shí)，改變量的比 的極限存在，即存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（或叫微商）。記作, 或 是從到的平均變化率，而則稱函數(shù)在點(diǎn)處的變化率?？梢?jiàn)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的局部性質(zhì)。如果在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。如果在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo). 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值，因此就定義了內(nèi)的一個(gè)新函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作, , , 利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，瞬時(shí)速度就是路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即. 而曲線 在點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)為. 而過(guò)點(diǎn)（ 的切線方程應(yīng)為.當(dāng) 是或（此時(shí)極限不

10、存在，故導(dǎo)數(shù)不存在）在幾何上則表示曲線在點(diǎn)處有一條垂直的切線。（所以“曲線函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在,則曲線在此點(diǎn)就沒(méi)有切線”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的）。例3 求線性函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。解 求導(dǎo)數(shù)的步驟是：（1） 計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的改變量=.（2） 計(jì)算改變量的比值（3） 求極限 . 即 .例4 求 的導(dǎo)數(shù)。解，. 即 例5 求 的導(dǎo)數(shù)，并算出 .解 , （型） . 即 因此 .前面所采用的導(dǎo)數(shù)定義是如下形式 .但有時(shí)為方便，也可以換一種形式：若記 ，則有.另外一種形式是：若令 ，即 ，則有.以下要點(diǎn) 1. 左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù) 2. 分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要用定義求例6用定義討論函數(shù) 在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解 ，故知在處連續(xù)。

11、因?yàn)樵邳c(diǎn)處函數(shù)的改變量 .（不存在，上下振蕩）。所以在處不可導(dǎo)。此例說(shuō)明在處連續(xù)未必可導(dǎo) 。*思考題 討論 在點(diǎn)處（1）連續(xù)；（2）可導(dǎo)；（3）連續(xù)。（答 例 設(shè) ，求.解 其中 ，而 .5. 左，右導(dǎo)數(shù)的概念定義 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)。記作 . 如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)。記作 由極限的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的。所以函數(shù)在上可導(dǎo)，是指在開(kāi)區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，且存在 與 .在求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，就需要研究分段點(diǎn)處的左，右導(dǎo)數(shù)。例8. 設(shè) ，求.解（去掉絕對(duì)值符號(hào)） ,是分段

12、點(diǎn)。 （已講過(guò)，復(fù)習(xí)）令 ，則 .同理.故 不存在，因此 在 處不可導(dǎo)。例9. 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解 連續(xù)性：. 圖3.3.在處連續(xù)。 可導(dǎo)性： ，故在處不可導(dǎo)。此例再一次說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，未必在該點(diǎn)可導(dǎo)。6. 可導(dǎo)必連續(xù)定理 如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)必連續(xù)。證 在點(diǎn)可導(dǎo)， =.由 ，可知 即 在點(diǎn)處連續(xù)。根據(jù)此定理，如果已經(jīng)判斷出函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則立即可以得出函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)的結(jié)論。例10. 討論函數(shù) 在分段點(diǎn)及處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解（1）在點(diǎn)處 . . 不存在；故在不連續(xù)，從而在處也不可導(dǎo)。 （2）在點(diǎn)處. .且.因此在處連續(xù)。進(jìn)一步研究在處的可導(dǎo)性，因?yàn)?是分段點(diǎn)，

13、所以要考慮 . . .故在處可導(dǎo)，且.(3) 在點(diǎn) 的連續(xù)性：. .而. ，故在點(diǎn)是連續(xù)的。再討論可導(dǎo)性：.，故不存在，即在處不可導(dǎo)。由上可知，在討論分段點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，都要先考慮其左，右極限和左，右導(dǎo)數(shù)。附加例題 設(shè)和是常數(shù)，定義求，其中. 本周作業(yè)：p.112. 2(1,3) ,3, 5 (2,6,7); 6(3,4,6,7,8,10,11,12,14,23,)2006.10.26 （1）解答放在一班杜鵬同學(xué)那里。歡迎查看。 （2）書(shū)p.96 定理2.1.1。 （3）“數(shù)學(xué)之美”改在11月3日(周5)下午4點(diǎn)，于（東校門(mén)內(nèi)）綜合實(shí)驗(yàn)樓一樓報(bào)告廳。兩個(gè)例題：*例 設(shè)在上有定義

14、，在上若都有，其中為常數(shù).（1）寫(xiě)出在內(nèi)的表達(dá)式；（2）問(wèn)在處可導(dǎo)。解（1）當(dāng)即 時(shí)， （2）由題設(shè)知 故在處可導(dǎo)，且 *例 內(nèi)可導(dǎo)，且滿足求，求解 設(shè)則因?yàn)楣?. 由已知條件得，因此即解出(?)由得故Weierstrass曾舉一例：其中.處處連續(xù)處處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章章頭圖是由一幅超級(jí)市場(chǎng)飲料貨架的照片和一幅圓柱形圖象組成與圖相配，引言給出了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：當(dāng)圓柱形金屬罐的容積一定時(shí)，怎樣選取圓柱形罐的尺寸，能使所用材料最省?這可以歸納為求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題在日常生活、生產(chǎn)和科研中，類似的問(wèn)題大量存在，一般來(lái)說(shuō)，這些問(wèn)題是可以用初等方法來(lái)解決的，但更有效、更簡(jiǎn)潔的工具還

15、是微積分另外利用微積分還可以解決曲線的切線問(wèn)題，物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度及方向等問(wèn)題本章主要內(nèi)容有：(1)導(dǎo)數(shù)的概念(2)幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(6)微分的概念與運(yùn)算(7)函數(shù)的單調(diào)性(8)函數(shù)的極值以及函數(shù)的最大值與最小值本章的重點(diǎn)是：1導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義2常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章的難點(diǎn)是：1導(dǎo)數(shù)概念的理解2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值【基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)引】1了解曲線的切線的概念2在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念3了解導(dǎo)數(shù)的概念，并能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)4了解導(dǎo)數(shù)的幾

16、何意義【教材內(nèi)容全解】1曲線的切線在初中學(xué)過(guò)圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過(guò)該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說(shuō)直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是說(shuō)直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線因此，對(duì)于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本P110利用割線的極限位置來(lái)定義了曲線的切線2瞬時(shí)速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，

17、涉及過(guò)瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書(shū)中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說(shuō)明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度3導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(3)如果函數(shù)y=

18、f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)求函數(shù)的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。4導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義

19、，可得切線方程為【難題巧解點(diǎn)撥】例1 已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）分析 在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解 （1）（2）點(diǎn)撥 只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例2 （1）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。解 （1），。（2） ，。y=2x+a點(diǎn)撥 應(yīng)熟練掌握

20、依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟。例3 已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線與的夾角。分析 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解 （1）由方程組解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，所以點(diǎn)撥 本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例4 證明：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。分析 從已知和要證明的問(wèn)題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明，由于函數(shù)f

21、(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化。已知：求證： 證明：考慮，令，則，等價(jià)于x0，于是 函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。點(diǎn)撥 函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限。反之則不一定成立，例如y=|x|在點(diǎn)x=0處有極限且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在?！菊n本習(xí)題解答】練習(xí)（P111）1（1）切線的斜率為4；（2）切線方程為y=4x-2。2切線方程為y=-4x-3。練習(xí)（P113）1瞬時(shí)速度為10m/s（比較略）。2瞬時(shí)速度為8m/s（比較略）。練習(xí)（P116）1162。3切線方程y=4x-2。4切線方程為。習(xí)題31(P116)1速度為210m/

22、s2速度為2.8m/s3y=2x-2，4,5(1)；(2) 。6切線方程為y=6x+1及y=2x+17切線方程為y=8x-108切線方程為y=-x+69切線方程為y=15x+16【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于（ ）A B C D2若，則等于（ ）A B C3 D23若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（ ）A90° B0° C銳角 D鈍角4一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（ ）A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度C當(dāng)時(shí)間為t 時(shí)該物體的速度

23、D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率5對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為（ ）A B C D6設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（ ）（1）； （2）； （3） （4）。A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）二、填空題7若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_。8已知曲線，則_。9設(shè)，則_。10在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)。三、解答題11曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。12在拋物線上求一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的切線和直線3x-y

24、+1=0的夾角為。13判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。14求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1C 2B 3C 4B 5B 6B二、填空題7。8。9-6。10（2，4）。三、解答題11由導(dǎo)數(shù)定義求得，令，則x=±1。當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。12由導(dǎo)數(shù)定義得f(x)=2x，設(shè)曲線上P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)處切線的斜率為，根據(jù)夾角公式有解得或，由，得；由，

25、得；則P（-1，1）或。13，不存在。函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。14可以驗(yàn)證點(diǎn)（2，0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為。由 ，得所求直線方程為。由點(diǎn)（2，0）在直線上，得，再由在曲線上，得，聯(lián)立可解得，。所求直線方程為x+y-2=0。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念 2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)

26、單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用 3了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 4了解復(fù)合函數(shù)的概念。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過(guò)程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法則解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。 二考試要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a,lnx,

27、 logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)），會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三教學(xué)過(guò)程：（）基礎(chǔ)知識(shí)詳析導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題：（1）刻畫(huà)函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問(wèn)題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于

28、較難類型。2關(guān)于函數(shù)特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。4曲線的切線 在初中學(xué)過(guò)圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過(guò)該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說(shuō)直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還

29、是說(shuō)直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線因此，對(duì)于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本利用割線的極限位置來(lái)定義了曲線的切線 5瞬時(shí)速度 在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過(guò)瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書(shū)中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說(shuō)明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度 6導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù) 對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)x是自

30、變量x在 處的增量(或改變量) (2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo) 由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： (1)求函數(shù)的增量； (2)求平均變化率； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。 7導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y

31、=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率； (2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為 8和（或差）的導(dǎo)數(shù) 對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。 由此我們猜測(cè)在一般情況下結(jié)論成立。事實(shí)上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。 9積的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，證明過(guò)程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過(guò)程見(jiàn)課本P120） 說(shuō)明： （1）

32、； （2）若c為常數(shù)，則(cu) =cu。 10商的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運(yùn)用就可以?，F(xiàn)補(bǔ)充證明如下： 設(shè) 因?yàn)関(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是x0時(shí)，v(x+x)v(x)，從而 即。 說(shuō)明：（1）； （2） 學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。11. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界

33、點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)

34、間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 （1）恒成立 為上 對(duì)任意 不等式 恒成立（2）恒成立 在上 對(duì)任意不等式 恒成立注意事項(xiàng)1導(dǎo)數(shù)概念的理解 2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

35、則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過(guò)實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來(lái)對(duì)法則進(jìn)行了證明。 對(duì)于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見(jiàn)過(guò)，沒(méi)有專門(mén)定義和介紹過(guò)它，課本中以描述性的方式對(duì)復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對(duì)復(fù)合函數(shù)的的概念有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。 3要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)： （1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 （2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。 4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； （2

36、）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）； （3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。 也就是說(shuō)，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說(shuō)明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過(guò)程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。（） 范例分析例1 在處可導(dǎo)，則 思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) 例2已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)

37、的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解：（1） （2） 說(shuō)明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3觀察，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù) 令 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)例4（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程； （2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。

38、瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 解：（1）， ，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）（2）（3） （4）解：（1） 時(shí) ， （2） ，（3） ， ，（4） 定義域?yàn)?例6求證下列不等式（1） （2） （3） 證：（1） 為上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 例7利用導(dǎo)數(shù)求和： （1）； （2）。 分析：這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷。 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)， ； 當(dāng)x

39、1時(shí)， ， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 即 （2）， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。 令x=1得 ， 即。例8求滿足條件的（1）使為上增函數(shù)（2）使為上（3）使為上解：（1） 時(shí) 也成立 （2） 時(shí) 也成立 （3） 例9（1）求證（2） 求證 （1）證：令 原不等式 令 令 （2）令 上式也成立將各式相加 即 例10 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力. 解：. 當(dāng)時(shí) .（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，此時(shí)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增

40、（iii）當(dāng)時(shí)，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.說(shuō)明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無(wú)法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗(yàn)本第三冊(cè)P148）：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。 例11已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。 （1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線與的夾角。 分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。 解 （1）由方程組 解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，

41、根據(jù)兩直線的夾角公式， 所以 說(shuō)明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例12設(shè)，是上的偶函數(shù)。（I）求的值；（II）證明在上是增函數(shù)。解：（I）依題意，對(duì)一切有，即，對(duì)一切成立，由此得到，又，。（II）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。在上是增函數(shù)。例13設(shè)函數(shù)，其中。（I）解不等式；（II）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。解1：（I）分類討論解無(wú)理不等式（略）。（II）作差比較（略）。解2：（i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。（ii）當(dāng)時(shí)，解不等式，得，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程，得或，當(dāng)且

42、僅當(dāng)時(shí)，綜上，（I）當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：。（II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)。例14 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。 （）求的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：若，則解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題得，切線方程中令，得，其中，（）由，有，及，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。（）當(dāng)時(shí)，因此，且由（），所以。例15 已知為正整數(shù). （）設(shè)； （）設(shè)分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。證明：（）因?yàn)?，所以（）?duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù): 即對(duì)任意（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于 （ ） A B C D2若，則等于

43、（ ）A B C3 D23曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A（-1，2） B（1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）4若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（ ） A90° B0° C銳角 D鈍角5函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是 （ ）A5，15B5，4C4，15D5，166一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（ ） A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度 B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度 C當(dāng)時(shí)間為t 時(shí)該物體的速度D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率7關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不

44、正確的是 （ ）A在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)B在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)C在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù)D在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)8對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （ ）A B C D9函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是 （ ） （1）； （2）； （3） （4）。 A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）11f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下

45、列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.B若a=1，2<b<0,則方程g（）=0有大于2的實(shí)根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個(gè)實(shí)根.D若a1,b<2,則方程g（）=0有三個(gè)實(shí)根.12若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_。13設(shè)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_(kāi)。14設(shè)，則_。 15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是_ 16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 18曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)。19P是拋物線上的點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過(guò)P

46、點(diǎn)處的切線方程是_。 20在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)。21曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。22在拋物線上求一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。23判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。24求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。25求曲線y=xcosx在處的切線方程。26已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).27已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。28設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。29求曲線在