用二元一次方程組解決問題例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用二元一次方程組解決問題例題目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1能夠借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用2進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性3體會列方程組比列一元一次方程容易4進(jìn)一步培養(yǎng)化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力5掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；重點： 1經(jīng)歷和體驗用二元一次方程組解決實際問題的過程。2進(jìn)一步體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型。難點：正確找出問題中的兩個等量關(guān)系知識要點梳理知識點一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重

2、要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路

3、程。(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 船的順?biāo)俣却哪嫠俣?水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。2工程問題：工作效率工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價成本(進(jìn)價)；(2)；(3)利潤成本（進(jìn)價）利潤率；(4) 標(biāo)價成本(進(jìn)價)(1利潤率)；(5)實際售價標(biāo)價打折率；注意：“商品利潤售價成本”中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲蓄問題：(1)基本概念 本金

4、：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。 利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。 (2)基本關(guān)系式 利息本金利率期數(shù) 本息和本金利息本金本金利率期數(shù)本金 (1利率期數(shù)) 利息稅利息利息稅率本金利率期數(shù)利息稅率。 稅后利息利息 (1利息稅率) 年利率月利率12 。注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量(1增長率)增長后的量；原量(1減少率)減少后的量.7

5、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9濃度問題：溶液質(zhì)量濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的12優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社

6、購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、設(shè)、找、列、解、檢、答”七步.即：（1） 審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)；（2） 設(shè)：根據(jù)題意設(shè)元（3）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；（4）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（5）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（6）檢：檢查所求的解是否符合實際問題;（7）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案

7、.要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組. 解答步驟簡記為：問題方程組解答(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。

8、經(jīng)典例題透析類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī). 這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 思路點撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程. (2)有兩個等量關(guān)系： 相向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機(jī)行駛小時的路程160千米; 同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機(jī)行駛小時的路程.解：設(shè)汽車的速度為每小時行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時千米.根據(jù)題意，列方程組 解這個方程組

9、，得:.答：汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。2在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？【分析】設(shè)巡邏車

10、、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時，則()， 整理得，解得，因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時 點評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離； “同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走

11、多少千米？解：設(shè)甲、乙兩人每小時分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：解得：答：甲每小時走6千米，乙每小時走3.6千米?！咀兪?】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度靜水中的速度水速船逆流速度靜水中的速度水速 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，水速為y千米/時，則 ，解得：答：船在靜水中的速度為17千米/時，水速3千米/時。 跟蹤訓(xùn)練1、 甲、乙兩人在東西方向的公路上行走，甲在乙的西邊300米，若甲、乙兩人同時向東走30分鐘后，甲正好追上乙；若甲、乙兩人同時相向而行，2分鐘后相遇，問甲、乙兩人的速度是多少？甲乙兩人以

12、不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行每隔兩分鐘相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分鐘跑多少圈？類型二：列二元一次方程組解決工程問題1一批機(jī)器零件共840個，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個機(jī)器零件？分析：由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系我們可列方程組求解設(shè)甲每天做x個機(jī)器零件，乙每天做y個機(jī)器零件，根據(jù)題意，得 解得： 答：甲每天做50個機(jī)器零件，乙每天做30個機(jī)器零件2某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完

13、成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天， 依題意，得 ， 解得點評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時間工作效率”以及它們的變式“工作時間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時間”其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無關(guān)時，通常用“1”表示總工作量舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套

14、新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：， 解得：所以甲、乙單獨(dú)完成這項工程分別需要10周、15周。設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：，解得：故甲公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）。 答：甲公司單獨(dú)完成需6萬元，乙公司單獨(dú)完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成. 跟蹤訓(xùn)練1、 一千零一夜中有這樣一段文字：有一

15、群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的1/3，若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了?！蹦阒罉渖?、樹下各有多少只鴿子嗎？類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題1一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品的定價為x元，進(jìn)價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得

16、方程0.8x-y=10. 解方程組， 解得， 因此，此商品定價為200元總結(jié)：利潤率是相對于進(jìn)價而言的，利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=售價-進(jìn)價；二是：利潤=進(jìn)價利潤率特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩個概念2有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元？ 思路點撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤進(jìn)價利潤率解：甲商品的進(jìn)價為x元，乙商品的進(jìn)價為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價分別為600元和400元。舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔

17、去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：，解得答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價 進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；解：設(shè)購進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：化簡得： 解得：答：該商場購進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和120

18、件。跟蹤訓(xùn)練1、 打折前，買60件A商品和30件B商品用了1080元，買50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，買50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少錢？2、有甲、乙兩種債券，年利率分別是10與12，現(xiàn)有400元債券，一年后獲利45元，問兩種債券各有多少？類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）思路點撥：

19、 設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格： 解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：，解得：答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得

20、稅=利息金額20%） 思路點撥：扣稅的情況：本金年利率(1-20%)年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息 金額 20%）.不扣稅時：利息=本金年利率年數(shù). 解：設(shè)第一種儲蓄的年利率為x，第二種儲蓄的年利率為y，根據(jù)題意得: ，解得:答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%. 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩

21、種存款各存入了多少元？解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為y元，根據(jù)題意得：，解得： 答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用米布料做衣身，

22、用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須

23、生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)1因此，設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25個，螺母20個，依題意，得，解之，得故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母總結(jié)：解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：“二合一”問題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么一套中甲乙的數(shù)量比為a:b，要想生產(chǎn)出來的所有產(chǎn)品配套，就得滿足甲乙的總數(shù)量之比也為a:b.舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用

24、多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路點撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；制盒身個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù). 解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子. 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有 x人，生產(chǎn)螺母的有y人，則：，解得：答：生產(chǎn)螺栓的有25人

25、，生產(chǎn)螺母的有35人?！咀兪?】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？解：設(shè)用 x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：， 解得：可做503150張方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。類型六：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8. 兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個

26、四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。思路點撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：，解得：答：這兩個兩位數(shù)分別為45，23.舉一反三：【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，則：，解得：答：這兩位數(shù)為56 【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上

27、的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y， 根據(jù)題意得：，解得：答：這個兩位數(shù)為72.【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為 x，個位數(shù)字為y，由題意得：， 答：所求三位數(shù)是504。跟蹤訓(xùn)練1、一個兩位數(shù)字，個位數(shù)字比十位數(shù)字大5，如果把這兩數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù)2、甲乙兩盒中各有一些小球，如果從甲盒中拿出10個放入乙盒，則乙盒球就是

28、甲盒球數(shù)的6倍，若從乙盒中拿出10個放入甲盒，乙盒球數(shù)就是甲盒球數(shù)的3倍多10個，求甲乙兩盒原來的球數(shù)各是多少？類型七：列二元一次方程組解決增長率問題6. 某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 思路點撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根

29、據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，由題意得：，解得：答：今年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬；（2）城鎮(zhèn)人口(1+0.8%)+農(nóng)村

30、人口（1+1.1%）=42（1+1%）解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：解得答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬人，農(nóng)村人口為28萬人類型八：列二元一次方程組解決年齡問題1今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小

31、，并且增大（或減小）的歲數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）。舉一反三：【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.思路點撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得：，解得：答：今年小李的年齡為12歲。類型九：列二元一次方程組解決和差倍分問題1.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂

32、，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。解：設(shè)原計劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 舉一

33、反三：【變式1】 (2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動解：設(shè)中國內(nèi)地去年有x個城市參加了此項活動，今年有y個城市參加了此項活動依題意得 ， 解得： 答：去年有33個城市參加了此項活動，今年有86個城市參加了此項活動【變式2】 游泳池中有

34、一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時 只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：，解得：答：男孩4人和女孩有3人。類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別

35、是多少？ 思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點撥：此題隱含兩個可用的等

36、量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。解：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：， 所以正方形的邊長為：9+3=12厘米正方形的面積為：=144厘米長方形的面積為：159=135厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵?！咀兪?】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？解：設(shè)草坪的長為y m 寬為x m，依題意得：，解得：答：草坪的長為m,寬為m類型十一：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題： 12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸. 但兩種加工方式不能同時進(jìn)行. 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了