重點(diǎn)中學(xué)高中部自主招生數(shù)學(xué)考試試題(含答案)

1、2016年高中部自主招生考試試題數(shù)學(xué)（試題卷）一.選擇題（共 6小題，每小題6分，共36分）1. 一列數(shù) ai,a2,03, ,其中ai,an= （n為不小于 2的整數(shù)），則aioo=（）2A. 1B. 2C. - 1D. - 2i| |2.已知-|x|=l,貝的值為（）XXA. ±立B飛C |+V3D.通或13.已知AD /BC, AB LAD,點(diǎn)E,點(diǎn)F分別在射線 AD,射線BC上.若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G,則（）A. 1+tan/ADB=&B. 2BC=5CFC. / AEB+22 = / DEFD. 4cos/ AGB=企

2、4 .如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè) a=1,則b=（）圖1圖2A.亦-1B,而+1C,除3D,近+1225 .如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3, -2）, OA的半徑為1, P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切。A于點(diǎn)Q,則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.( - 4,0) B. ( 2,0)C.( - 4,0)或(2,0) D.( 3,0)6 .已知拋物線y= -x2+1的頂點(diǎn)為P,點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn) A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn) B,分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D,連結(jié)PA、PD, PD交AB于點(diǎn)E, PAD與 PEA （）

3、A.始終不相似B.始終相似第1頁共1頁EDCxC.只有AB=AD時(shí)相似D.無法確定二.填空題(共 4小題，每小題6分，共24分)7.如果函數(shù)y=b的圖象與函數(shù) y=x2 - 3|x- 1| - 4x - 3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，則 b的可能值是 8.如圖，已知直線3交x軸、y軸于點(diǎn)A、B ,。P的圓心從原點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t (s),半徑為1,則t=s時(shí)。P與直線AB相切.29 . 一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合.一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的. 如一組數(shù)1,1,2, 3, 4就可以構(gòu)成一

4、個(gè)集合， 記為A=1 , 2, 3, 4 類 比實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，集合也可以 相加”.定義：集合A與集合B中的所有元素組成的集合稱為集合 A與集合B的 和，記為 A+B .若 A= 2, 0, 1, 5, 7, B= - 3, 0, 1 , 3, 5,貝U A+B=.10 .對(duì)于X, Y定義一種新運(yùn)算 *'"： X*Y=aX+bY ,其中a, b為常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法的運(yùn)算.若T3 - 2 -8 4a +成立,那么 2*3=-三.解答題(共5題，每題12分，共60分) ，一 、，一，1 2 , . ，一 一一， . "、，,、一11 .如圖，一次函數(shù) 尸一

5、5工+2與x軸父于A、B兩點(diǎn)，與y軸父于C點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒 的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè) PQ交直線AC于點(diǎn)G.(1)求直線AC的解析式；(2)設(shè) PQC的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；(3)在y軸上找一點(diǎn) M,使 MAC和 MBC都是等腰三角形.直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)過點(diǎn)P作PEXAC,垂足為E,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 EG的長度是否發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由.試題圖備用圖12.已知直線y=-，x+4與x軸和y軸分別交與B、A兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過點(diǎn) B和點(diǎn)D (11, 6

6、). 3(1)求AB、BD的長度，并證明 ABD是直角三角形；(2)在x軸上找點(diǎn)C,使 ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求出 C點(diǎn)坐標(biāo)；(3) 一動(dòng)點(diǎn)P速度為1個(gè)單位/秒，沿A-B- D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，另有一動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿 D-B-A運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，PQ的長度為y (單位長)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系13 .在邊長為1的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不運(yùn)動(dòng)至B,C), 過點(diǎn)E作弧BD的切線EF,交CD于F, H是切點(diǎn)，過點(diǎn) E作EG± EF,交AB于點(diǎn)G,連接AE .(1)求證： AGE是等

7、腰三角形；(2)設(shè)BE=x, BGE與 CEF的面積比繪更田二y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；SACEF(3)在BC邊上(點(diǎn)B、C除外)是否存在一點(diǎn) E,使得GE=EF,若存在，求出此時(shí) BE的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.14 .如圖，AE切。于點(diǎn)E, AT交。于點(diǎn) M, N,線段 OE交AT于點(diǎn)C, OBLAT于點(diǎn)B,已知/ EAT=30 °, AE=3 近，MN=2 V22(1)求/ COB的度數(shù)；(2)求。O的半徑R;(3)點(diǎn)F在。上(而宿是劣弧)，且EF=5,把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E, F重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角

8、形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在。上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與OBC的周長之比.15.如圖，直角梯形 ABCO的兩邊OA, OC在坐標(biāo)軸的正半軸上， BC/x軸，OA=OC=4 ,以直線x=1為對(duì)稱軸 的拋物線過A, B, C三點(diǎn).(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知直線l的解析式為y=x+m ,它與x軸交于點(diǎn)G,在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.當(dāng)m=0時(shí)，如圖1,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與 BC的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHL直線l于點(diǎn)H,連結(jié)OP,試求 OPH 的面積；當(dāng)m=-3時(shí)，過點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn) E, F.是否存在這樣的點(diǎn) P,使以P, E

9、, F為頂點(diǎn) 的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖】圖£簫用圖2016年高中部自主招生考試數(shù)學(xué)參考答案選擇題1-6.ABABDB填空題7 . - 6、-苫- 4948 .或 24-119 .- 3, - 2, 0, 1 , 3, 5, 7 10.1解答題11. (1) y= - 2x2+2, 2x=0 時(shí),y=2 ,y=0 時(shí)，x= i2,y=kx+b , .A (2, 0), B (2, 0), C (0, 2),設(shè)直線AC的解析式是2 /曰 fO= _ 2k+b 代入得：*,(2=b解得：k=1 , b=2 ,即直線AC的解析式是y=x+2 ;(

10、2)當(dāng) 0V t<2 時(shí)，OP= (2-t), QC=t,PQC 的面積為：S=1 (2-t) t=-1t2+t 22'當(dāng)2V t9時(shí)，OP= (t-2), QC=t,.PQC 的面積為：S=1 (t2) t=lt2- t,22- ；L乙(3)當(dāng) AC=CM=BC 時(shí)，M 的坐標(biāo)是：(0, 2破+2), (0, 2); 當(dāng) AM=BM=CM 時(shí)，M 的坐標(biāo)是：(0, 0), (0, 2-%/)； 一共四個(gè)點(diǎn)，(0, 2點(diǎn)+2), (0, 0), (0, 2-入耳)，(0, 2);(4)當(dāng)0V t<2時(shí)，過G作GHy軸，垂足為 H.由 AP=t,可得 AE=*t.M- GH

11、/ OP幽口 GH =GHH 解得 gh= i上，PO-QO 2-t 2+t2所以GC=JGH=J -亨仁于是，GE=AC AE GC=z (6一返)=&.£2即GE的長度不變.當(dāng)2Vt9時(shí)，過G作GH，y軸，垂足為H.由AP=t,可得 AE=W十.2 1由以即也=3, PO QO t - 2 2+t.GH (2+t) =t (t- 2) - ( t-2) GH,GH (2+t) + (t2) GH=t (t2),2tGH=t (t-2),-3t - 9解得 GH=-_2所以 GC=VGH=& " 一 2).2于是,GE=AC - AE+GC=2 花-亞t+

12、第LR一2=近22即GE的長度不變.綜合得：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 EG的長度不發(fā)生改變，為定值 ,反.12. (1)令 x=0 , y=4,令 y=0 ,則-x+4=0 ,3解得x=3 ,所以，A (0, 4), B (3, 0),由勾股定理得，AB=+05 2=5 ,BD=個(gè)11 3),62=1°，過點(diǎn) D 作 DHy 軸于 H, DH=11 , AH=2 ,由勾股定理得，AD= 2 +dh 2=J。2 +11 " V125,- AB2=25, BD2=100, ab2+bd2=ad 2,. .ABD是直角三角形；(2)設(shè)OC長為x,由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=

13、 (11 -x) 2+62,解得x=費(fèi);，所以，C (四，0)；22(3)設(shè)t秒時(shí)相遇，由題意得，t+t=5+10 ,解得t=7.5,點(diǎn) P 在 AB 上時(shí)，04號(hào)，PB=5 -t, BQ=10 - t,PQ='二 BYi產(chǎn) 一 . ：- 1 1 ,二：，=,：t"11 二，點(diǎn) P、Q 都在 BD 上重合前，5VtM.5, PQ=5+10 - t-t=15-2t, 重合后，7.5V t40, PQ=t+t- 5 - 10=2t - 15,點(diǎn) Q 在 AB 上時(shí)，10Vt得5, PB=t - 5, BQ=t - 10,pq="/pb2+bq 2T (t-5)4(t-i

14、o) 2y2t2 _ 30t+125 13. (1)連 AH ,AH ±EF, GE± EF,GE / AH ,/ GEA= / EAH , AH=AB , AE=AE , / ABE= / AHB ,AHEA ABE ,/ BAE= / EAH ,/ BAE= / GEA ,AG=EG ,即 AGE是等腰三角形.(2) EH=EB=x , EC=1 x, CF=1 - FD, FD=FH ,EF=EH+HF=x+FD , 在 RtECF 中，EF2=EC2+CF2,( 1-x) 2+ (1 - FD) 2= (x+FD) 2,整理得，(1+x) FD=1 x,- FD=1

15、 -；匕工,1+x1+x 1+x/ B=/C,又 GE± EF, ./ GEB= ZFEC, GEBA EFC, ,BE BGCFEC， 二1'.尹51+工.,'J (0vxv 1).(3)假設(shè)BC上存在一點(diǎn) E,能使GE=EF,則還型EF-CF-1解得x=0或x=1 ,經(jīng)檢驗(yàn)x=0或x=1是原方程的解但動(dòng)點(diǎn) E不能與B, C點(diǎn)重合,x-l+x故x為且x力， BC邊上符合條件的 E點(diǎn)不存在.14. (1) AE 切。O 于點(diǎn) E, AEXCE,又 OBLAT, ./ AEC= ZCBO=90 °, 又/ BCO= Z ACE ,AECAOBC,又/ A=30

16、 °, ./ COB=/A=30 °(2) AE=3V3, Z A=30 °, 在 RtAAEC 中，tanA=tan30 =耳，即 EC=AEtan30 =3, AE OBXMN ,，B為MN的中點(diǎn)，又 MN=2在過，MB= 1MN= V22, 2連接 OM,在 MOB 中，OM=R , MB= V22, -OB= J1,1'.二J 二，在 COB 中，/ BOC=30 °, . cos/ BOC=cos30 °=,OC 2屈 BO=OC,2-22,2OC=-i-OB=3又 OC+EC=OM=R ,R=+ - 22+3,整理得：R2+

17、18R - 115=0, 解得：R=-23 (舍去)或 則 R=5;即(R+23) ( R- 5) =0,R=5,(3)以EF為斜邊，有兩種情況，以 EF為直角邊，有四種情況，所以六種, 畫直徑FG,連接EG,延長EO與圓交于點(diǎn)D,連接DF,如圖所示：ADg(ovEF=5,直徑 ED=10,可得出/ FDE=30 °, ，F(xiàn)D=5V5，貝U Caefd=5+10+5 Vs=15+5 '/s ,由(2)可得 Cacob=3+ 3,- Caefd： Cacob= (15+5：/§): (3+-/3) =5: 1.EF=5,直徑 FG=10,可得出/ FGE=30

18、76;,eg=5V3,貝U Caefg=5+10+5 V3=15+5V3,1- C：Aefg Cacob= (15+573): (3+Vs)=5: 1 .15. (1)由題意得：A (4, 0), C (0, 4),對(duì)稱軸為 設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c,則有：16a+4b+c0解得，LT -拋物線的函數(shù)解析式為： y=-工x2+x+4 .2(2)當(dāng)m=0時(shí)，直線l ： y=x.;拋物線對(duì)稱軸為 x=1 ,.CP=1.則4 OMH、 CMP均為等腰直角三角形.cm=cp=i , 0M=0C+CM=5SaQPH=SaQMH - Saomp= (OM ) 2 - J1OM ?CP=Jl

19、 x ( Vs X5) 2 - J； >5 >1=25 - _=JJ12 222224 2 4, , SaQPH= .4當(dāng)m= 一 3時(shí)，直線l: y=x - 3.設(shè)直線l與x軸、y軸交于點(diǎn) G、點(diǎn)D,則G (3, 0), D (0, -3).假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) P.a)當(dāng)點(diǎn)P在OC邊上時(shí)，如答圖2 - 1所示，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.設(shè) PE=a (0va)，貝U PD=3+a, PF=，PD=* (3+a).22過點(diǎn) F 作 FN，y 軸于點(diǎn) N,貝U FN=PN=2/1pF, . EN=|PN PE|=|亞PF PE|.22在 RtA EFN 中，由勾股定理得：ef=VeM +

20、 FN=VpE _ V2PE*PF+PF,若PE=PF,則：a=Y (3+a),解得a=3 (加+1) >4,故此種情形不存在； 2若PF=EF,則：PF=心產(chǎn)-PF 2，整理得PE=&PF,即a=3+a,不成立，故此種情形不存在;若 PE=EF,貝U： PeYfe2, 每E.PF+ PF 2, 整理得 PF=&PE,即4 (3+a) =a,解得 a=3.Pi (0, 3).%yi b)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，如答圖2-2所示，此時(shí)PE=4.若PE=PF,則點(diǎn)P為/OGD的角平分線與 BC的交點(diǎn)，有 GE=GF,過點(diǎn)F分別作FHLPE于點(diǎn)H, FKx軸于點(diǎn)K,. / OGD=

21、135 °,./ EPF=45°,即 PHF為等腰直角三角形,設(shè) GE=GF=t ,貝U GK=FK=EH=亞t,2八八 V21 . PH=HF=EK=EG+GK=t+ t,PE=PH+EH=t+解得t=4花-4,則 OE=3 - t=7 4M,2 .P2 (7 4/2, 4)c) A (4, 0) , B (2, 4),，可求得直線 AB解析式為：y= - 2x+8 ;聯(lián)立 y= 2x+8 與 y=x 3,解得 x=_H, y=.33設(shè)直線BA與直線l交于點(diǎn)K,則K (H, 2)3 3當(dāng)點(diǎn)P在線段BK上時(shí)，如答圖2-3所示.設(shè) P (a, 8 2a) (2Q<li),貝U Q (a