數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)中的應(yīng)用理論

1、初中二次函數(shù)教學(xué)中 如何運(yùn)用和培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”的思想 摘要： 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。要解決 學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)， 行之有效的方法就是在教學(xué)中從分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 的思想方法，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法， 加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解； 讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)性質(zhì)； 加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系。 運(yùn)用數(shù)形 結(jié)合的思想方法可以使復(fù)雜問題直觀化。 使學(xué)生的抽象思維能力得到 發(fā)展。也為學(xué)生提供了一種簡單解決問題的方法， 培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用 “數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和意識。關(guān)鍵詞：二次函數(shù)教學(xué) 運(yùn)用 培養(yǎng) 數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，初中數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)三種簡單函 數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、

2、二次函數(shù)。二次函數(shù)是學(xué)習(xí)了一次函數(shù) 和反比例函數(shù)之后所認(rèn)識的另一種函數(shù)， 相對前兩種函數(shù)來說， 二次 函數(shù)反應(yīng)出來的關(guān)系和性質(zhì)更復(fù)雜抽象一些，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難 點(diǎn)。學(xué)生主要存在的困難是對函數(shù)概念難以理解， 對各類函數(shù)中兩個 變量的變化關(guān)系感覺比較抽象，對函數(shù)關(guān)系的表示方法不能靈活轉(zhuǎn) 化。要解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)， 行之有效的方法就是在教學(xué)中從分運(yùn) 用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問 題簡單化、 抽象問題具體化； 下面就二次函數(shù)談?wù)労瘮?shù)教學(xué)中如何滲 透和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。一、數(shù)形結(jié)合思想的概論。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一，包含“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”兩個方面。著名數(shù)

3、學(xué)家華羅庚教授曾精辟的概述： “數(shù)以形而直觀 形以數(shù)而入微 ”，其應(yīng)用大致分為兩種情形：借助形的生動和直觀來 闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形為手段，數(shù)為目的。借助數(shù)的規(guī)范嚴(yán)密和 精確來闡明形的屬性。通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題 簡單化、抽象問題具體化； 數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)基本思想之一，是用 來解決數(shù)學(xué)問題的重要思想。二、借助數(shù)形結(jié)合加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。 初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對函數(shù)概念的要求是“了解常量、變量、函數(shù)的 意義，會舉出函數(shù)的實例以及分辨出常量與變量以及兩者之間的關(guān) 系?！闭n本通過大量實例，如一天的氣溫隨時間的變化而變化，郵資 隨郵件重量的變化而變化，園的面積隨半徑的變化而變

4、化，路程、速 度和時間的關(guān)系等， 得出“一個量隨另一個量的變化而變化” 的結(jié)論， 使學(xué)生感知函數(shù)問題在客觀世界中是大量存在的， 充分認(rèn)識到建立函 數(shù)概念的必要性。初中數(shù)學(xué)對函數(shù)的定義是：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個 變量 x 和 y，并且對于 x 的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與 其對應(yīng)，那么我們就把 x 稱為自變量，把 y 稱為因變量， y 是 x 的函 數(shù)。學(xué)生對于這一概念的理解比較抽象而機(jī)械的， 比如學(xué)生認(rèn)識一次函數(shù) 和反比例函數(shù)的概念后，學(xué)生從函數(shù)表達(dá)式（關(guān)系式）可以判斷兩個 變量間屬于哪一種函數(shù)關(guān)系， 但并不能透過表達(dá)式看到其中隱含的兩 數(shù)量間的變化關(guān)系的區(qū)別， 面

5、對新的問題是不會建立相應(yīng)的函數(shù)模型 解決問題，缺乏函數(shù)思想和觀點(diǎn)，也就是對函數(shù)概念理解不全面。對 函數(shù)概念理解模糊和機(jī)械的背誦函數(shù)的定義， 學(xué)生不可能從本質(zhì)上體 會和理解數(shù)學(xué)的另一種重要思想 - 函數(shù)的思想。而借助數(shù)形結(jié)合加 深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。三、“數(shù)形結(jié)合”讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)性質(zhì)。 二次函數(shù)中的自變量和因變量的變化比較抽象， 學(xué)生難以把握， 由于 “數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)，而“圖像”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能 表達(dá)出具體的思維過程，有利于問題解決，因此教師可以把“數(shù)”的 對應(yīng)“形”找出來，利用圖像來幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的性質(zhì)。 教師在二次函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中， 充分讓學(xué)生自己作圖， 通

6、過列表格觀 察數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，再畫圖像，把函數(shù)表達(dá)式的特征在圖像中顯示出來， 逐步深入地探索二次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論。 讓學(xué)生從最簡單的形式 y = a x2 入手，逐步過渡到 y ax 2 k ，y a （x h ）2，y a（x h） 2 k 的圖像，從簡單到復(fù)雜，作出圖像觀察常數(shù) a，h，k與圖像 的對應(yīng)關(guān)系，即完成由“數(shù)”化“形”的過程。 觀察二次函數(shù)圖像性質(zhì)時，狠抓 y = ax 2 的基本圖像，讓學(xué)生通過圖 像體驗圖像平移過程，從圖像的平移變換角度認(rèn)識 y a （x h ） 2 + k 型二次函數(shù)的圖像特征，深刻體會常數(shù) a， h，k 在圖像中的作 用，從而掌握二次函數(shù)的開口方向、 頂點(diǎn)坐標(biāo)

7、、對稱軸、y 的最大（?。?值等性質(zhì)。認(rèn)識研究 y a （x h）2 + k 型二次函數(shù)的圖像特征 后，代數(shù)式的變換，得出y=ax2+bx+c型二次函數(shù)的性質(zhì)。 即完成由“形” 化“數(shù)”的過程。通過觀察常數(shù)的變化與圖形變化之間的關(guān)系， 學(xué)生從多方面觀察函數(shù) 圖像的變化，發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)規(guī)律。由此，學(xué)生可以 根據(jù)任意一個二次函數(shù)（如： y=-2x 2-9x+3 ）的表達(dá)式，在頭腦中呈 現(xiàn)出該函數(shù)的大致圖像。 同時學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖像特征， 可以確定表達(dá) 式中常數(shù)的取值情況。在這一過程，學(xué)生可體會“數(shù)”與“形”之間 的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識。圖形雖然具有直觀化、 具體化的特點(diǎn)， 但要

8、確定具體的圖形性質(zhì)， 如： 頂點(diǎn)坐標(biāo)，與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等，在準(zhǔn)確定量方面還必須借助代數(shù)的 計算，把“形”準(zhǔn)確表示成“數(shù)”的形式。正所謂“ 數(shù)以形而直觀 , 形以數(shù)而入微 ”。通過由“數(shù)”化“形”， 由“形”定“數(shù)”的研究 函數(shù)性質(zhì)的過程，整個初中階段，函數(shù)關(guān)系用“形”這一特殊的方法 來表現(xiàn)， 在學(xué)生面前呈現(xiàn)出絢麗多彩的畫面。 一次函數(shù)的圖像是一條 直線，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其變化趨勢有升也有降，反比 例函數(shù)的圖像是雙曲線， 它可以向 x軸無限逼近， 也可以向 y軸無限逼 近，其中尤其是二次函數(shù)的變化， 無論是從畫圖像或初等討論方法上 都可以看到這種神奇的效果。所以“形”的引人給研究函

9、數(shù)不僅帶來 了直觀上的美好享受，更重要的是給學(xué)生帶來了最直接的理性認(rèn)識。 使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想， 并在解決問題過程中自覺地加以運(yùn) 用。四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系。 二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式有著密切的聯(lián)系。 如何理 解三者之間的關(guān)系， 是學(xué)生的一個難點(diǎn)。 借助數(shù)形結(jié)合能直觀的反應(yīng) 出它們之間的聯(lián)系，從而提高學(xué)生的綜合分析能力和靈活解題的能 力。例如通過下表，求方程的解與函數(shù)的圖像與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對照圖 形，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系便直觀顯現(xiàn)出來。方程x 2 2x 3 02x2 2 x 1 02x 2 2x 3 0函數(shù)y x2 2x 32y x 2 2x 1

10、2y x2 2x 3函數(shù)圖象（簡圖）根的判別式000方程的實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)（-1,0 ）（3,0 ）（1,0）無學(xué)生通過數(shù)（方程的根）與形（二次函數(shù)圖像與 x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)） 的對應(yīng)，可以直觀的得出結(jié)論：方程 ax2+bx+c=0的根就是拋物線2y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解一元二次不等式 ax2+bx+c>0，初中沒有學(xué)過，仍然可以引導(dǎo)學(xué)生 借助二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像求出解集，發(fā)現(xiàn)不等式 ax2+bx+c> 0 的解集，就是拋物線位于 x軸上方部分對應(yīng)的自變量 x的取值范圍。 可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)研究和解決問題中的起到非常重要的作用。 借助 數(shù)形

11、結(jié)合，優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了有效的知識網(wǎng)絡(luò)，培 養(yǎng)了學(xué)生聯(lián)想和遷移問題的能力。五、具體問題中培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 因此也是考試考察的重點(diǎn)。 正 確地利用“數(shù)形結(jié)合”可以使二次函數(shù)問題簡單化、具體化，使復(fù)雜 問題輕易舉得以解決。數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決二次函數(shù) y=ax +bx+c中判斷常數(shù) a、b、 c的正負(fù)，求平移后的拋物線解析式，比較函數(shù)值的大小等問題中經(jīng) 常用到。下面僅舉兩個例子說明。1、剖析條件，由“數(shù)”轉(zhuǎn)向“形” 例：已知二次函數(shù)，當(dāng) x=2時有最小值 -1 ，且它的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)為 1，求此二次函數(shù)的解析式。剖析：本題若能根據(jù)

12、給出條件， 分析該函數(shù)圖形的特征， 找出關(guān)鍵點(diǎn)， 解題將變得簡單。因為二次函數(shù)當(dāng)當(dāng) x=2時有最小值 -1 ，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，-1 ），可以確定拋物線開口向上， 且與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 1，即過（1,0 ）這一點(diǎn)，由圖形的對稱性， 拋物線與 x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為 （3,0 ），”轉(zhuǎn)向“數(shù)，可用待定系數(shù)法求解。x例：二次函數(shù) y=ax 2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第三象限 , 且不經(jīng)過第四象限, 則判斷此拋物線開口及 c、b、b2-4ac 的正負(fù)取值情況剖析：由題意畫出圖象（如圖 2）， 從而判斷：a>0, c 0 對稱軸： x=- b <0 b>0 圖象與 x 軸有兩個交點(diǎn)： > 0 2a2即 b-4ac > 0 解決二次函數(shù)的實際問題時， 注重從“形”與“數(shù)”的有機(jī)結(jié)合。 要 讓學(xué)生潛移默化的應(yīng)用這種思想解決實際問題。綜上所述， 數(shù)形結(jié)合是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋， 數(shù)學(xué)疑難復(fù)雜問 題要清晰化， 具體化都離不開數(shù)形