奧數(shù)六年級競賽計數(shù)問題.教師版word

1、學習必備 歡迎下載計數(shù)“統(tǒng)計與概率”主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)象,兼有應用性和趣味性，其內(nèi)容及延伸貫穿于初等數(shù)學到高等數(shù)學，因此成為小學數(shù)學中新增內(nèi)容能準確判斷事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性問題運用排列組合知識和枚舉等計數(shù)方法求解概率問題理解和運用概率性質(zhì)進行概率的運算例 1】若有 A、 B、C、 D、 E五個人排隊，要求 A和 B兩個人必須站在相鄰位置，則有多少排隊方法？分析】 題目要求 A和 B兩個人必須排在一起，首先將 A和 B兩個人“捆綁”，視其為“一個人”，也即對“A， B 、” C 、 D 、 E “四個人”進行排列，有 A44 24 種排法又因為捆綁在一

2、起的 A 、 B 兩人也要排 序，有 A22 2 種排法根據(jù)分步乘法原理，總的排法有A44 A22 24 2 48種例 2 】一條馬路上有編號為 1、 2、 9 的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關掉，但 不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關燈方法有多少種？分析】 若 直接解答須分類討論，情況較復雜故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞 燈去插 7 個空位，共有 C73 種方法（請您想想為什么不是A73 ），因此所有不同的關燈方法有3 7 6 5C7335 種 .321拓展若有 A、B、C、D 、 E五個人排隊，要求 A和B 兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法？

3、分析 題目要求 A和 B兩個人必須隔開 首先將 C 、D 、E三個人排列， 有 A33 6種排法；若排成 D C E， 則 D 、 C 、 E “中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是： D C E ，此時可將 A 、 B 兩人插到 四 個 空 位 置 中的 任 意 兩 個 位 置 ， 有 A42 12 種 插 法 由 乘 法 原 理 ， 共 有排 隊 方 法 ： A33 A42 6 12 72 例 3 】 現(xiàn) 有 10 個完全相同的球全部分給 7 個班級，每班至少 1 個球，問共有多少種不同的分法分析】 將10個相同的球排成一行， 10個球之間出現(xiàn)了 9 個空檔，現(xiàn)在我們用“檔板”把10個球

4、隔成有序的7 份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球（可能是1個、 2 個、 3個、 4 個），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱之為插板法由上述分析可知，分球的方法實際上為檔板的插法：即是在9 個空檔之中插入 6 個“檔板（”6 個檔板可把球分為 7組），其方法種數(shù)為 C96 84 例 4 】 已知方程 x y z 20 ，求這個方程的正整數(shù)解的個數(shù)已知方程 x y z 20 ，求這個方程的非負整數(shù)解的個數(shù)分析】 將20分成 20個1，列出來： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1在這 20個 數(shù)中間的 19個空中插入 2 個板子，將

5、20分成 3部分，每一部分對應“ 1”的個數(shù)，按順序排成 x ； y ； z ；即是正整數(shù)解故正整數(shù)解的個數(shù)為C129 171 將問題轉化為求方程 x y z 24 的正整數(shù)個數(shù)，顯然原方程的解法與轉化后的方程的解可以 一一對應，新方程的每一組解的值減去1，即可得到原方程的一組解，反過來，原方程的任意一個解的值加一，也可對應新方程的解對應所以該方程的非負整數(shù)解有C223 253 個在拋擲一枚硬幣時，究竟會出現(xiàn)什么樣的結果事先是不能確定的，但是當我們在相同的條件下，大量 重復地拋擲同一枚均勻硬幣時，就會發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的一半 左右這里的“大量重復”是指多少次

6、呢 ?歷史上不少統(tǒng)計學家，例如皮爾遜等人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，出現(xiàn) 正面的頻率波動越來越小，頻率在0.5 這個定值附近擺動的性質(zhì)是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內(nèi)在必然性規(guī)律的表現(xiàn)， 0.5恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面可能性大小的數(shù)值，0.5 就是拋擲硬幣時出現(xiàn)正面的概率這就是概率統(tǒng)計定義的思想，這一思想也給出了在實際問題中估算概率的近似值的方法，當試驗次數(shù)足夠大時，可將 頻率作為概率的近似值概率的古典定義： 如果一個試驗滿足兩條：試驗只有有限個基本結果； 試驗的每個基本結果出現(xiàn)的可能性是一樣的這樣的試驗，稱為古典試驗對于古典試驗中的事件 A ，它的概率定義為：P A m ，n表示該試

7、驗中所有可能出現(xiàn)的基本結果的總數(shù)目，m 表示事件 A包含的試驗基本n結果數(shù)小學奧數(shù)中，所涉及的問題都屬于古典概率其中的 m和 n需要我們用枚舉、加乘原 理、排列組合等方法求出例 1 】一個骰子六個面上的數(shù)字分別為0，1， 2， 3， 4， 5 ，現(xiàn)在來擲這個骰子，把每次擲出的點數(shù)依次求和，當總點數(shù)超過 12時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點數(shù)是.分析】 擲的總點數(shù)在 8至 12之間時，再擲一次，總點數(shù)才有可能超過12（至多是 17）當總點數(shù)是 8時，再擲一次，總點數(shù)是 13的可能性比總點數(shù)超過 13的可能性大當總點數(shù)在 9至 12之間時，再擲一次，總點數(shù)是 13的可能性不比總點數(shù)是

8、14 ， 15 ， 16， 17的可能性小例如，總點數(shù)是 11時，再擲一次，出現(xiàn) 0 5 的可能性相同，所以總點數(shù)是 11 16的可能性相同， 即總數(shù)是 13的可能性不比總數(shù)點數(shù)分別是 14，15 ，16的可能性小，綜上所述，總點數(shù)是 13的可 能性最大前鋪 在某個池塘中隨機捕撈 100條魚，并給魚作上標記后放回池塘中，過一段時間后又再次隨機捕撈200 尾，發(fā)現(xiàn)其中有 25條魚是被作過標記的，如果兩次捕撈之間魚的數(shù)量沒有增加或減少，那 么請你估計這個池塘中一共有魚多少尾？分析 200 尾魚中有 25條魚被標記過，所以池塘中魚被標記的概率的實驗得出值為25 200 0.125，所以池塘中的魚被標

9、記的概率可一看作是0.125，池塘中魚的數(shù)量約為 100 0.125 800尾前鋪一個小方木塊的六個面上分別寫有數(shù)字2、3、5、6、 7 、 9 ，小光、小亮兩人隨意往周面上扔放這個木塊規(guī)定：當小光扔時，如果朝上的一面寫的是偶數(shù)，得1 分當小亮扔時，如果朝上的一面寫的是奇數(shù)，得 1分每人扔 100次， 得分高的可能性比較大計數(shù) 求概率分析 因為2、3、5、6、 7、9中奇數(shù)有 4個，偶數(shù)只有 2個，所以木塊向上一面寫著奇數(shù)的可能性 較大，即小亮得分高的可能性較大互斥事件： P A B P A P B 互斥事件也叫互不相容事件也可表述為不可能都發(fā)生的事件 . 公式的含義為：如果事件 A和 B為互

10、斥事件（互不相容事件） ,那么 A或 B （之一）發(fā)生的概 率等于事件 A發(fā)生的概率與事件 B 發(fā)生的概率之和如果事件 A 、 B 為互斥事件，且事件 A 、 B發(fā)生機會均等，那么 P A P B 1P A B .如果某事件所有可能發(fā)生的情況A1、 A2、 、 An 互斥，且機會均等，那么11P A1PA2PAnPA1A2An.nn 其中的 m 種情況發(fā)生的概率為 m n所以明天正午天氣為陰雨的概舉例： 明天正午的天氣是陰天與明天正午的天氣是雨天是兩個互斥事件， 率等于明天正午的天氣是陰天概率與明天正午的天氣是雨天概率之和拋一枚硬幣掉下來后是正面向上與拋一枚硬幣掉下來后是反面向上是兩個互斥事件

11、， 所以拋一枚 硬幣掉下來后是正面或是反面向上的概率等與拋一枚硬幣掉下來后是正面向上的概率與拋一枚硬幣掉下11 來后反面向上的概率之和，即 P 1 1 1 22擲出的骰（ t óu）子數(shù)字 1、2、 3 、 4 、 5 、 6向上情況互斥且機會均等，所以每種情況發(fā)生的 概率為 1 .6例 2 】 （20XX 年 奧數(shù)網(wǎng)杯） 一塊電子手表， 顯示時與分， 使用 12小時計時制， 例如中午 12 點和半夜 12 點都顯示為 12: 00 如果在一天（ 24 小時）中的隨機一個時刻看手表，至少看到一個數(shù)字“1”的概率是 分析】 一天當中，手表上顯示的時刻一共有 12 60 720 種 其中

12、冒號之前不出現(xiàn) 1的情況有 2、3、4、5、6、7、8、9 八種，冒號之后不出現(xiàn) 1 的情況有 6 1 10 1 45種，所以不出現(xiàn) 1的情況有 45 8 360 種 所以至少看到一個數(shù)字 “ 1的”情況有 720 360 360種， 360 1所以至少看到一個數(shù)字 “ 1的”情況有 360 1 種720 2例 3 】如圖 9 個點分布成邊長為 2厘米的方陣（相鄰點與點之間的距離為1厘米），在這 9 個點中任取 3 個點，則這三個點構成三角形的概率為多少？這三個點構成面積為 1 平方厘米的三角形 2 的概率為多少？構成面積為 1 平方厘米的三角形的概率為多少？構成面積為3 平方厘米的2 概率為

13、多少？構成面積為 2 平方厘米的概率為多少？分析】從 9個點中任取 3個點一共有 C93 9 8 7 84 種情況321三個點共線一共有 3 3 2 8種情況所以三個點能夠成三角形的概率為 1 8 19 84 21例 4】分析】9 個點中能構成面積為 12的三角形一共有 4 4 4 4 32 種情況1 平方厘米的三角形的概率為 32 829 個點中能夠成面積為 1平方厘米的三角形的情況有所以三個點能夠成面積為所以三個點能夠成面積為 1 平方厘米的三角形的概率為84 214 6 8 32 種情況32 8 84 21 9個點中能夠成面積為 3 平方厘米的三角形的情況有2所以三個點能夠成面積為 3

14、平方厘米的三角形的概率為24 種情況41 84 21 9 個點中能夠成面積為 2 平方厘米的三角形的情況有 8種情況所以三個點能夠成面積為 2 平方厘米的三角形的概率為822184奧蘇旺大陸上流行一種牌戲，類似于我們世界的“撲克牌” 不同的點數(shù)或花色， 一共有 1 6 這 6 個點數(shù)， 以及、 牌，求：抽到“順子”抽到“同花順” （三張牌點數(shù)連續(xù)，花色相同）的概率 18張牌中抽取 3張有 C138 816 種方法18張，不同的牌有，但他們的牌只有三種花色 . 玩家從一幅牌中抽出 3張 三張牌點數(shù)連續(xù)）的概率，抽到“同花”、三張牌花色相同）的概率，順子一共有 4 種，即 1,2,3 、 2,3,

15、4 、 3,4,5 、 4,5,6對于每一種順子，又有 3 3 3 27 種，所以抽取到順子的概率有4 27 9同花有三種花色，每一種同花有 C63 20 種，所以抽取到同花的概率有816 68 3 20 5816 68816 68例 5 】 甲、乙兩個學生各從 0 9 這 10個數(shù)字中隨機挑選了兩個數(shù)字（可能相同） ，求：這兩個數(shù)字的 差不超過 2的概率，兩個數(shù)字的差不超過6 的概率分析】 兩個數(shù)相同（差為 0）的情況有 10 種，兩個數(shù)差為 1有 2 9 18 種，兩個數(shù)的差為 2 的情況有 2 8 16種，所以兩個數(shù)的差不超過2的概率有10 18 16 1110 10 25兩個數(shù)的差為

16、7 的情況有 2 3 種兩個數(shù)的差為 8的情況有 2 2 4 種兩個數(shù)的差為 9 的情況有 2種所以兩個數(shù)字的差超過6的概率有6 4 2 310 10 253 22 兩個數(shù)字的差不超過 6的概率有 1 3 22 .25 25例 6 】 甲 、乙、丙、丁四人互相傳球，由甲開始第一次傳球，每個人接到球后，都隨機從其他人中 選擇一個人將球傳出，那么第四次傳球恰好傳回甲手里的概率是多少？分析】 對每一個接到球的人來說，下一次傳球的方向有 3 種可能， 所以四次傳球的總路線有 34 81 種可能，每一種之間都是互斥的等概率事件.而恰好傳回到甲的情況，以第一步為 甲 乙 為例有如下 7 種情況：甲 乙丙

17、甲甲甲乙丁甲丙 乙 甲 丙丁甲 丁 乙 甲 丁 丙 甲所以第 4 次傳回甲的概率為3 7 781 27例 7 】 如 圖為 A 、 B 兩地之間的道路圖， 其中表示加油站， 小王駕車每行駛到出現(xiàn)兩條通往目的地方 向道路的路口時（所有路口都是三叉的，即每到一個路口都只有一條或兩條路通往目的地） ，都 用拋硬幣的方式隨機選擇路線，求：小王駕車從 A到 B ，經(jīng)過加油站的概率 小王駕車從 B 到 A ，經(jīng)過加油站的概率分析】 運 用標數(shù)法，標數(shù)規(guī)則（性質(zhì)） ：從起點開始標“”以后都將數(shù)標在線上，對于每一個節(jié)點，起點方向的節(jié)點相連線路上所標數(shù)之和與和目標方向 節(jié)點相連線路上標數(shù)之和相等對于每一個節(jié)點，

18、目標方向的各個線路上標數(shù)相等1如圖：從 A到 B 經(jīng)過加油站的概率為 1；8A1211 8 1 1 16 5114 16811616716如圖：從3B到 A經(jīng)過加油站的概率為 3；8431BA173 161 4 18816 16 11B相互獨立事件： P A B P A P B事件 A 是否發(fā)生對事件 B 發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件公式含義：如果事件 A和B為獨立事件，那么 A和 B都發(fā)生的概率等于事件 A發(fā)生的概率與事 件 B 發(fā)生的概率之積舉例： 明天是否晴天與明天晚餐是否有煎雞蛋相互沒有影響，因此兩個事件為相互獨立事件 天天晴，并且晚餐有煎雞蛋的概率等于明天天晴的

19、概率乘以明天晚餐有煎雞蛋的概率 .第一次拋硬幣掉下來是正面向上與第二次拋硬幣是正面向上是兩個相互獨立事件所以第 次、第二次拋硬幣掉下來后都是正面向上的概率等于兩次分別拋硬幣掉下來后是正面向上的概率之和， 111P.224擲骰子， 骰子是否掉在桌上和骰子的某個數(shù)字向上是兩個相互獨立的事件，0.6 ，那么骰子掉在桌上且數(shù)字“ n ”向上的概率為 0.6 1 0.16的概率為例 8】分析】來是. 所以明如果骰子掉在桌上某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率為40% ，如果該射手在百步之外連射三箭，三箭全部射中靶心的概率為多少？有一箭射中靶心的概率為多少？有兩箭射中靶心的概率為多少 ? 全部射中靶心的

20、概率為 0.4 0.4 0.4 0.064第一箭射中，其他兩箭射空的概率為0.410.410.40.144 0.410.410.40.144 0.410.410.40.144 有一箭射中的概率為 0.144 0.144 0.144 0.432 .第二箭射中，其他兩箭射空的概率為第三箭射中，其他兩箭射空的概率為第一箭射中，其他兩箭射中的概率為1 0.4 0.4 0.4 0.096 第二箭射中，其他兩箭射中的概率為第三箭射中，其他兩箭射中的概率為 有兩箭射中的概率為 0.96 0.96 0.96 0.288.1 0.4 0.4 0.4 0.096 1 0.4 0.4 0.4 0.096 例 9 】

21、 小剛爬樓梯擲骰子來確定自己下一步所跨臺階步數(shù)，如果點數(shù)小于3，那么跨 1 個臺階，如果不小于 3，那么跨出 2 個臺階，那么小明走完四步時恰好跨出 6 個臺階的概率為多少？ 分析 小明每跨出一步，有 1 的概率跨 1個臺階，有 2 的概率跨 2 個臺階， 33對于 4 步跨 6臺階的每一種情況，例如2,2,1,1 ，發(fā)生的可能性有 2 2 1 1 4 ，3 3 3 3 81 所以 4 步跨 6臺階發(fā)生的總概率為 4 6 8 81 27鋪墊 小明爬樓梯時以拋硬幣來確定下一步跨1個臺階還是 2個臺階，如果是正，那么跨 1個臺階，如果是反，那么跨出 2 個臺階，那么小明走完四步時恰好跨出6 個臺階

22、的概率為多少？分析 小明跨出 4步的所有情況有 2 2 2 2 16種情況，其中恰好跨出 6 個臺階的情況有：2,2,1,1 、 2,1,2,1 、 1,2,2,1 、 2,1,1,2 、 1,2,1,2 、 1,1,2,2 六種， 所以概率為 6 3 16 8例10】 A、B、C、D、E、F 六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模一樣的簽，其中 只有一枚刻著“中” ，六人按照字母順序先后抽取簽，抽完不放回，誰抽到“中”字，即被推選 為代表，那么這六人被抽中的概率分別為多少？15分析】 A 抽中的概率為 1 ，沒抽到的概率為 5 ，66如果 A沒抽中，那么 B有 1 的概率抽中，如果

23、A抽中，那么 B抽中的概率為 0，所以 B抽中的概5率為 5 165同理， C 抽中的概率為5 4 1 15 4 1 1 ， D 抽中的概率為65465 4 3 1 15 4 3 1 1， E抽中的概率為654365 4 3 2 1 1 5 4 3 2 1 15 4 3 2 1 1， F 抽中的概率為 5 4 3 2 1 1 1 .6 5 4 3 2 6 6 5 4 3 2 6由此可見六人抽中的概率相等，與抽簽的先后順序無關拓展 如果每個人抽完都放回，任意一個人如果抽中，則后邊的人不再抽取，那么每個人抽中的概率為 多少？分析 抽中的概率依次為： 1、5 1、5 1 1、5 1 1 1、5 1

24、1 1 1 、5 1 1 1 1 1，6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 在這種情況下先抽者，抽中的概率大例 11】 甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加一次節(jié)日活動，很幸運的是，他們都得到了一件精美的禮物， 事情是這樣的：墻上掛著兩串禮物（如圖） ，每次只能從其中一串的最下端取一件，直到禮物取 完為止甲第一個取得禮物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第 2件到第 5 件禮物，當然取法各 種各樣，那么共有種不同的取法 事后他們打開這些禮物仔細比較， 發(fā)現(xiàn)禮物 D 最精美 那么取得禮物 D 可能性最大的是，可能性最小的是EDCBA分析】 本 題需要注意的隱含

25、條件：對于每個人，如果擺在面前的有兩串禮物，那么該人選擇其中一串的 1概率為 1 ，如果擺在面前的只有一串禮物，那么該人 100% 選擇那一串2第一件取 A的有 4種取法 , 第一件取 C 的有 6種取法所以有不同的取法 4 6 10 種觀察這 10種取法的樹狀圖可知，甲和戊不可能取得D ，所以取得 D 可能性最小的是甲和戊，乙、丙、丁誰的可能性大不能看誰的取法較多，因為每種取法實現(xiàn)的可能性不同 .法一：計算枚舉出的每一種取拿方法的所有概率（各種取拿方法流程之間是互斥事件）BCDEBDE 第一件取 A有 4 種方法： AC B E DEB1 1 1 1 1 12 2 1 1 1 41 1 1

26、1 1 12 2 2 1 1 81111112 2 2 2 161111112 2 2 2 16第一件取 B有 6種方法：BADCA DDBEBEEEBEB12121212EAB1111222116111112 2 2 16221161 1 1 112 2 2 161 1 1112 2 8乙取得 D 的可能性是 1 1 1 1 ；16 16 8 4丙取得 D的可能性是 1 1 1 1 1 ；16 16 16 16 4 丁取得 D 的可能性占 1 1 1 1 4882所以取得 D 可能性最大的是丁法二：計算流程各個階段，事件發(fā)生情況： （每個人選擇哪一串在是否取完一串的條件已知的 情況下與后一個

27、人選擇哪一串相互獨立） .乙取得 D 的可能性是丙取得 D 的可能性是丁取得 D 的可能性占1 1 1；2 2 41 1 112；2 2 241 11 1 1122 22 2 22所以取得 D 可能性最大的是丁1 從小紅家門口的車站到學校， 有 1路、 9路兩種公共汽車可乘， 它們都是每隔 10分中開來一輛 小 紅到車站后，只要看見 1路或 9 路，馬上就上車，據(jù)有人觀察發(fā)現(xiàn)：總有 1路車過去以后 3分鐘就 來 9 路車，而 9 路車過去以后 7分鐘才來 1 路車小紅乘坐 路車的可能性較大分析】 首 先某一時刻開來 1路車，從此時起，分析乘坐汽車如下表所示：分鐘1234567891011121

28、3141516171819車號1999111111199911111顯然由上表可知每 10分鐘乘坐 1路車的幾率均為 7 ，乘坐 9 路車的幾率均為 3 ，因此小紅乘坐 110 10 路車的可能性較大2 某人有 5 把鑰匙，一把房門鑰匙，但是忘記是哪把，于是逐把試，問恰好第三把打開門的概率？ 分析】 從5把鑰匙中排列出前三把，一共有P53 5 4 3 60 種，從 5 把鑰匙中將正確的鑰匙排在第三把，并排出前二把一共有P42 4 3 12 種，12 1所以第三把鑰匙打開門的概率為 12 1 60 53 一張圓桌旁有四個座位， A、B、 C 、 D四人隨機坐到四個座位上，求A與 B不相鄰而坐的概

29、率分析】 四人入座的不同情況有 4 3 2 1 24 種A、 B相鄰的不同情況，首先固定 A的座位，有 4種，安排 B的座位有 2種，安排 C、D的座位 有 2 種，一共有 4 2 2 16 種所以 A、 B不相鄰而座的概率為 24 16 24 14 如圖為甲、 乙兩地之間的道路圖， 曉峰從甲地步行前往乙地， 曉峰步行的方向始終為向北或向東， 如果行走某個路口，出現(xiàn)有向北和向東的兩條道路，曉峰就用拋硬幣的方式隨機選擇路線，問曉 峰最有可能通過 A、 B 、 C中的哪一條道路從西城走到東城？ABC乙13818811412141甲2142114B41C4A23216161132321616分析】運用標數(shù)法，將曉峰通過的每一條路的概率標在道路上，如圖：11由標數(shù)可得曉峰通過 A的概率為 1 ，通過 B 和 C的概率為 1 .245 設每門高射炮擊中敵機的概率為0.6, 今欲以 99%的把握擊中敵機 , 則至少應配備幾門高射炮同時射擊？分析】 如果只配一門高射炮，那么未擊中的概率為 0.4 ，配備兩門高射炮那么未擊中的概率為 0.4 0.4 0.16 ，如果配備三門高射炮，那么未擊中的概率為 如果配備四門高射炮，那么未擊中的