202X屆高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教A版必修2

1、第四章 圓與方程4.1圓的方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一二一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.在平面內(nèi),圓是如何定義的?提示:在平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.2.圓作為平面幾何中的基本圖形,確定它的要素是什么?各要素與圓具有怎樣的關(guān)系?提示:圓心和半徑.圓心:確定圓的位置;半徑:確定圓的大小.3.若已知圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a,b,r都是常數(shù),r0).設(shè)M(x,y)為這個(gè)圓上的任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M滿足的條件是什么?該圓如何用集合來(lái)表示?提示:|MC|=r,P=M|MC|=r.一二4.將點(diǎn)M適合的條件用坐標(biāo)表示并化簡(jiǎn)會(huì)得到一個(gè)什么樣的等式?化簡(jiǎn)可得(x-a)2+(y-b)2

2、=r2.5.填空:一二6.做一做:圓心在y軸上,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程是 ()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:設(shè)圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1,又點(diǎn)(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程為x2+(y-2)2=1.答案:A一二二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)A(1,1),B(3,0),C( )與圓x2+y2=4的關(guān)系如圖所示,則|OA|,|OB|,|OC|與圓的半徑r=2有什么關(guān)系?提示:|OA|2,|OC|=2.2.點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b

3、)2=r2的關(guān)系如何判斷?提示:(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2點(diǎn)在圓外;(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓上;(3)(x0-a)2+(y0-b)20),其圓心為C(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),一二4.做一做:點(diǎn)P(-2,-2)和圓x2+y2=4的位置關(guān)系是()A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.以上都不對(duì)解析:將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓的方程,則(-2)2+(-2)2=84,故點(diǎn)P在圓外.答案:B探究一探究二思想方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求圓心在直線x-2y-3=0上,且過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路分析:解答本題可以先根據(jù)所給條件

4、確定圓心和半徑,再寫(xiě)方程,也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解,也可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.解法一:設(shè)點(diǎn)C為圓心,點(diǎn)C在直線:x-2y-3=0上,可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),|CA|=|CB|.解得a=-2.圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r= .故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法法二:設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為:y+4=-2x,即y=

5、-2x-4.故圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點(diǎn),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.探究一探究二思想方法反思感悟反思感悟圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程,解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:設(shè)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;列由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;解解方程組,求出a,b,r;代將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的

6、方程.探究一探究二思想方法延伸探究延伸探究經(jīng)過(guò)A(6,5),B(0,1)兩點(diǎn),且圓心C在直線l:3x+10y+9=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析:(方法一)(直接法)由題意,得AB的中垂線方程為3x+2y-15=0.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-7)2+(y+3)2=65. 探究一探究二思想方法(方法二)(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),解得a=7,b=-3,r2=65.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-7)2+(y+3)2=65.答案:(x-7)2+(y+3)2=65探究一探究二思想方法點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2 (1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2+y2=24的位

7、置關(guān)系是()A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓外 C.點(diǎn)P在圓上 D.不確定(2)已知點(diǎn)M(5 )在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是.思路分析:(1)首先根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑,然后利用P到圓心的距離和圓的半徑大小關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;(2)首先確定圓心和半徑,利用圓心到點(diǎn)M的距離小于半徑列出不等式求解.解析:(1)因?yàn)?m2)2+52=m4+2524,所以點(diǎn)P在圓外.解得0a1.答案:(1)B(2)0,1)探究一探究二思想方法反思感悟反思感悟點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種:點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一是用圓心到該點(diǎn)的距離與半徑比較,二是代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷與r2的大小關(guān)系.通過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立方程或不等式可求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍.探究一探究二思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.a1B.-1a1C.0a1D.a=1解析:由題意可知,(1-a)2+(1+a)24,解得a21,故-1am,即m0,故m的取值范圍是(0,1