1)高一數(shù)學(xué),集合及表示方法

1、人教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第1.1節(jié)集合 主講：教師主講：教師 鄒老師鄒老師Page 2n 1.集合：由一些確定的、互異的對(duì)象構(gòu)成的一個(gè)整體就叫做集合。簡(jiǎn)稱(chēng)集。n 2.元素：集合里的各個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。n 3.元素的三個(gè)屬性：確定性、互異性、無(wú)序性（任意性也是元素具有的一個(gè)性質(zhì)，但一般講以上的三個(gè)屬性）.集合的有關(guān)概念：集合的有關(guān)概念： 2.對(duì)集合中元素三個(gè)特性的認(rèn)識(shí)對(duì)集合中元素三個(gè)特性的認(rèn)識(shí) (1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中元素，必須是確定的確定性：指的是作為一個(gè)集合中元素，必須是確定的.即一個(gè)集合一旦即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的確定，某一個(gè)元素屬于或

2、不屬于這個(gè)集合是確定的.要么是該集合中的元素要要么是該集合中的元素要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合. (2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的它的任何兩個(gè)元素都是不同的.如方程如方程(x1)20的解構(gòu)成的集合為的解構(gòu)成的集合為1，而不，而不能記為能記為1,1.這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素

3、的未知元素. (3)無(wú)序性：集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如集合無(wú)序性：集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如集合a，b，c與與b，a，c是相等的集合是相等的集合.這個(gè)特性通常用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系這個(gè)特性通常用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系. 【注意】【注意】集合中元素的互異性在解題中經(jīng)常用到集合中元素的互異性在解題中經(jīng)常用到.如已知兩個(gè)集合的關(guān)系，如已知兩個(gè)集合的關(guān)系，求集合中字母的取值時(shí)，求出后一定要檢驗(yàn)，以滿足集合中元素的互異性求集合中字母的取值時(shí)，求出后一定要檢驗(yàn)，以滿足集合中元素的互異性.知識(shí)點(diǎn) 關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果 ，就說(shuō)a屬于A“a屬于A”不屬于如果 ，就說(shuō)a不屬于A“a不

4、屬于A”2.元素與集合的關(guān)系a是集合A的元素aAa不是集合A的元素a APage 5n 4.有限集：含有有限個(gè)元素的集合。n 5.無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。n 6.空集：不含有任何元素的集合。（即元素個(gè)數(shù)為0，是有限集）。n 7.單元素集：僅含有一個(gè)元素的集合。n 8.點(diǎn)集：集合中的元素全部由點(diǎn)組成。n 9.數(shù)集：集合中的元素全部由數(shù)組成。n 10.解集：由方程或方程組、不等式或不等式組的解作為元素構(gòu)成的集合。Page 6n 11.集合的字母表示：通常用大寫(xiě)的拉丁字母A、B、C、D、表示集合。 如A=-1，1，0，34、B=斜三角形。n 12.元素的字母表示：通常用小寫(xiě)的拉丁字母a、b、c

5、、d、表示元素。n 13.空集的符號(hào)表示： 或 。特別注意的是 不是空集，而是一個(gè)單元素集合。n 14.屬于符號(hào)： 如-1 A、1 A、34 An 15.不屬于符號(hào)： 如2 A、1.5 A名稱(chēng)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或NZQR3.常用數(shù)集及表示符號(hào)常用數(shù)集及表示符號(hào)列舉法把集合中的元素 出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法描述法用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法4.集合的表示方法集合的表示方法一一列舉Page 8n 21.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。n 22.列舉法有三種形式： 是有限集而元素個(gè)數(shù)較少，如由0、2、-

6、3、5組成的集合可表示為0，2，-3，5； 是有限集但元素個(gè)數(shù)較多，如由從50到100的所有整數(shù)組成的集合可表示為50，51，52，53，98，99，100； 是無(wú)限集且元素離散，如由所有的正偶數(shù)組成的集合可表示為2，4，6，8，重難點(diǎn)講解重難點(diǎn)講解 Page 9n 23.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。n 24.描述法有兩種表述形式：n 格式： 元素代表| |元素屬性1 1，元素屬性2 2， 數(shù)式形式 如由不等式x-32的所有解組成的集合，可表示為 xx-32；由直線y=x+1上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合，可表示為 （x，y） y=x+1 。 語(yǔ)言形式 如

7、由所有直角三角形組成的集合，可表示為直角三角形；由所有小于6的正整數(shù)組成的集合，可表示為 小于6的正整數(shù)重難點(diǎn)講解重難點(diǎn)講解 Page 10下面集合里的元素是什么？n 1.大于3小于11的偶數(shù)（描述法）n 答案：2、4、6、8、10。用列舉法可以表示為2，4，6，8，10。n 2.平方后等于1的數(shù)（描述法）n 答案：-1、1。用列舉法表示1，-1。n 3.中國(guó)古代的四大發(fā)明（描述法）n 答案：活字印刷、造紙、指南針、火藥。用列舉法可以表示為活字印刷，造紙，指南針，火藥。典型例題分析典型例題分析Page 11用描述法寫(xiě)出集合如能化簡(jiǎn)并化簡(jiǎn)為列舉法的形式n 4.由數(shù)字1，3，6中抽出一部分或全部數(shù)

8、字（沒(méi)有重復(fù)）所排成的一切自然數(shù)。n 答：由數(shù)字1，3，6中抽出一部分或全部數(shù)字（沒(méi)有重復(fù)）所排成的自然數(shù)n =1，3，6，13，31，16，61，36，63，136，361，613，316，163，631。n 5.直角坐標(biāo)系第二象限內(nèi)所有的點(diǎn)的坐標(biāo)。n 答：(x,y)x0典型例題分析典型例題分析 1.“高個(gè)子的同學(xué)高個(gè)子的同學(xué)”、“我國(guó)的小河流我國(guó)的小河流”能構(gòu)成集合嗎？能構(gòu)成集合嗎？ 【提示提示】“高個(gè)子高個(gè)子”是一個(gè)含糊不清的概念，具有相對(duì)性，多高才算是一個(gè)含糊不清的概念，具有相對(duì)性，多高才算高？同樣地，高？同樣地，“小河流小河流”的的“小小”具體指什么，是流量還是長(zhǎng)度？它們都沒(méi)具體指什

9、么，是流量還是長(zhǎng)度？它們都沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，也就是說(shuō)，它們都是一些不能夠確定的對(duì)象有明確的標(biāo)準(zhǔn)，也就是說(shuō)，它們都是一些不能夠確定的對(duì)象.因此，它們都因此，它們都不能構(gòu)成集合不能構(gòu)成集合. 2.“由由1,2,2,4,2,1能構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合中共有能構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合中共有6個(gè)元素個(gè)元素”這一說(shuō)法這一說(shuō)法是否正確？是否正確？ 【提示提示】在在1,2,2,4,2,1中，只有中，只有3個(gè)不同的數(shù)個(gè)不同的數(shù)(對(duì)象對(duì)象)1,2,4，并且都是確，并且都是確定的不同對(duì)象定的不同對(duì)象.因此，它們能構(gòu)成集合，但在這個(gè)集合中只有因此，它們能構(gòu)成集合，但在這個(gè)集合中只有3個(gè)元素個(gè)元素.集合中元素的特性 已知集

10、合已知集合A1,0，a，若，若a2A，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值的值.【思路點(diǎn)撥】如果令如果令a2=1，0或或a解方程求解方程求a檢驗(yàn)得檢驗(yàn)得x值值【解析】【解析】(1)若若a21，則，則a1，當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，集合時(shí)，集合A中有兩個(gè)相同元素中有兩個(gè)相同元素1，舍去；，舍去；當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，集合時(shí)，集合A中有三個(gè)元素中有三個(gè)元素1,0，1，符合，符合. (2)若若a20，則，則a0，此時(shí)集合此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同元素中有兩個(gè)相同元素0，舍去，舍去.(3)若若a2a，則，則a0或或1，不符合集合元素的互異性，都舍去，不符合集合元素的互異性，都舍去.綜上可知：綜上可知：a1. 根據(jù)集合中元素的確定性可以解出字母的

11、所有可能的值，根據(jù)集合中元素的確定性可以解出字母的所有可能的值，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是互異性，最再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是互異性，最易被忽略易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解題時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)另外，在利用集合中元素的特性解題時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用用. 1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.(1)a，b，c，d與與d，c，b，a是兩個(gè)不同的集合；是兩個(gè)不同的集合；(2)集合集合 中有中有5個(gè)元素；個(gè)元素；(3)0與與1之間的全體無(wú)理數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；之間的全體無(wú)理數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；(4)集合

12、集合A(1，3)與與B(3,1)是同一集合是同一集合. 【解析】(1)不正確不正確.因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o(wú)序性，即對(duì)于元素不要求因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o(wú)序性，即對(duì)于元素不要求順順序，只要是相同幾個(gè)元素即可，故序，只要是相同幾個(gè)元素即可，故a，b，c，d與與d，c，b，a是兩個(gè)相是兩個(gè)相同同的集合的集合. (2)不正確不正確.對(duì)于一個(gè)集合，它的元素是互異的，而對(duì)于一個(gè)集合，它的元素是互異的，而 0.50，因此，此種表，因此，此種表示不能構(gòu)成集合示不能構(gòu)成集合.要想表示集合，應(yīng)寫(xiě)作要想表示集合，應(yīng)寫(xiě)作 ，含有，含有4個(gè)元素個(gè)元素. (3)正確正確.符合集合中元素的特性，它是一個(gè)無(wú)限數(shù)集符合集合中元素

13、的特性，它是一個(gè)無(wú)限數(shù)集. (4)不正確不正確.A(1，3)表示的是由點(diǎn)表示的是由點(diǎn)(1，3)組成的單元素點(diǎn)集，組成的單元素點(diǎn)集，B(3,1)表示的是由點(diǎn)表示的是由點(diǎn)(3,1)組成的單元素點(diǎn)集，而組成的單元素點(diǎn)集，而(1，3)和和(3,1)是不是不同同的兩個(gè)點(diǎn)，因此的兩個(gè)點(diǎn)，因此A與與B是不同的集合是不同的集合.元素與集合的關(guān)系 設(shè)集合設(shè)集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若若aA，bB，試判斷，試判斷ab與與A，B的關(guān)系的關(guān)系.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】因?yàn)橐驗(yàn)锳是偶數(shù)集，是偶數(shù)集，B是奇數(shù)集，所以是奇數(shù)集，所以a是偶數(shù)，是偶數(shù)，b是奇數(shù)，從是奇數(shù)，從而而ab是奇數(shù)是奇數(shù).【解析解析】a

14、A，a2k1(k1Z).bB，b2k21(k2Z).ab2(k1k2)1.又又k1k2Z，abB，從而，從而ab A. 判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，就是判斷這個(gè)對(duì)判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，就是判斷這個(gè)對(duì)象是不是具有這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì)，反之，如果一個(gè)元素是某象是不是具有這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì)，反之，如果一個(gè)元素是某個(gè)集合的元素，這個(gè)元素也一定具有這個(gè)集合中元素共有的特征性質(zhì)個(gè)集合的元素，這個(gè)元素也一定具有這個(gè)集合中元素共有的特征性質(zhì). 2.所給下列關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是所給下列關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()R； Q；0N；|4| N. A.1B.2 C.3 D.4【解析解析】是

15、實(shí)數(shù)，是無(wú)理數(shù)，是實(shí)數(shù)，是無(wú)理數(shù)，正確，正確，N表示正整數(shù)集，而表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)；不是正整數(shù)；|4|是正整數(shù)，是正整數(shù)，錯(cuò)誤錯(cuò)誤.【答案答案】B3集合的表示方法 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑嫌眠m當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)比比4大大2的數(shù)；的數(shù)；(2)方程方程x2y24x6y130的解集；的解集；(3)不等式不等式x23的解的集合；的解的集合；(4)二次函數(shù)二次函數(shù)yx21圖象上所有點(diǎn)組成的集合圖象上所有點(diǎn)組成的集合.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，有限個(gè)還是無(wú)解答本題的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)限個(gè).【解析】【解析】(1)比比4大大2的數(shù)

16、顯然是的數(shù)顯然是6，故可表示為，故可表示為6.(2)方程方程x2y24x6y130可化為可化為(x2)2(y3)20 ，方程的解集為方程的解集為(2，3).(3)由由x23，得，得x5.故不等式的解集為故不等式的解集為x|x5.(4)“二次函數(shù)二次函數(shù)yx21的圖象上的點(diǎn)的圖象上的點(diǎn)”用描述法表示為用描述法表示為(x，y)|yx21. (1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)確定的集合或元素個(gè)數(shù)不確定但元素間對(duì)于元素個(gè)數(shù)確定的集合或元素個(gè)數(shù)不確定但元素間存存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法.應(yīng)用列舉法時(shí)要注意：元素之間用應(yīng)用列舉法時(shí)要注意：元素之間用“，”而不是用而不是用“、”隔開(kāi)；元素

17、隔開(kāi)；元素不能重復(fù)不能重復(fù)；不考慮不考慮元素元素順序順序.(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)不確定且元素間無(wú)明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉對(duì)于元素個(gè)數(shù)不確定且元素間無(wú)明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來(lái)，可以通過(guò)將集合中元素的共同特征描述出來(lái)，即采用描述法出來(lái)，可以通過(guò)將集合中元素的共同特征描述出來(lái)，即采用描述法. 3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑嫌眠m當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)二元二次方程組二元二次方程組 的集合；的集合；(2)大于大于4的全體奇數(shù)組成的集合；的全體奇數(shù)組成的集合；(3)A(x，y)|xy3，xN，yN；(4)一次函數(shù)一次函數(shù)y2x1圖象上所有點(diǎn)組成的集合圖象上所有點(diǎn)組成的集合.【解析解析】

18、(1)列舉法：列舉法：(0,0)，(1,1)；(2)描述法：描述法：x|x2k1，k2，kN；(3)列舉法：因?yàn)榱信e法：因?yàn)閤N，yN，xy3，所以所以所以所以A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)；(4)描述法：描述法：(x，y)|y2x1.下列說(shuō)法：下列說(shuō)法：集合集合x(chóng)N|x3x用列舉法表示為用列舉法表示為1,0,1；實(shí)數(shù)集可以表示為實(shí)數(shù)集可以表示為x|x為所有實(shí)數(shù)為所有實(shí)數(shù)或或R；方程組方程組 的解集為的解集為x1，y2.其中正確的有其中正確的有()A.3個(gè)個(gè)B.2個(gè)個(gè)C.1個(gè)個(gè) D.0個(gè)個(gè)【錯(cuò)解錯(cuò)解】A【錯(cuò)因錯(cuò)因】對(duì)于描述法表示集合，一應(yīng)清楚符號(hào)對(duì)于描述法表示集合，一應(yīng)清楚符號(hào)“x|x的屬性的屬性”表示的是所表示的是所有具有某種屬性的有具有某種屬性的x的全體，而不是部分；二應(yīng)從代表元素入手，弄清楚代表的全體，而不是部分；二應(yīng)從代表元素入手，弄清楚代表元素是什么元素是什么.【正解】【正解】由由x3x，即，即x(x21)0，得，得x0或或x1或或x1，因?yàn)?，因?yàn)?N，故集合，故集合x(chóng)N|x3x用列舉法表示應(yīng)為用列舉法表示應(yīng)為0,1.集合表示中的符號(hào)集合表示中的符號(hào)“”已包含已包含“所有所有”、“全體全體”等含義，而符號(hào)等含義，而符號(hào)“R”已表示所有的實(shí)數(shù)，正確的表示應(yīng)為已表示所有的實(shí)數(shù)