八上第45課時 平方差公式

1、§1531 平方差公式 教學目標 （一）教學知識點 1經(jīng)歷探索平方差公式的過程 2會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算 （二）能力訓練要求 1在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力 2培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括的能力 （三）情感與價值觀要求 在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，從而體會數(shù)學的簡捷美 教學重點 平方差公式的推導和應用 教學難點 理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式 教學方法 探究與講練相結合 通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進一步探索公式的結構特征，在老師的講解和學生的練習中讓學生體會公式實質(zhì)，學會靈活運用 教具準備 投影片 教學過程 提出問題，創(chuàng)設情境 師你

2、能用簡便方法計算下列各題嗎？ （1）2001×1999 （2）998×1002 生甲直接乘比較復雜，我考慮把它化成整百，整千的運算，從而使運算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項式的積，根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出 生乙那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了 師很好，請同學們自己動手運算一下 生（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1） =20002-1×2000+1×2000+1×（-1） =20002-1 =4

3、000000-1 =3999999 （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996 師2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結果都是兩個數(shù)的平方差，那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規(guī)律呢？我們繼續(xù)進行探索 導入新課 師出示投影片 計算下列多項式的積 （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（

4、x-5y） 觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn) （學生討論，教師引導） 生甲上面四個算式中每個因式都是兩項 生乙我認為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積例如算式（1）是x與1這兩個數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個數(shù)的和與差的積 師這個發(fā)現(xiàn)很重要，請同學們動筆算一下，相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn) 生解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x

5、-1） =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y·x-x·5y-（5y）2 =x2-（5y）2生從剛才的運算我發(fā)現(xiàn)：也就是說，兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這和我們前面的簡便運算得出的是同一結果 師能不能再舉例驗證你的發(fā)現(xiàn)？ 生能例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12 即（50+1）（50-1）=502-12 （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a

6、2-b2 這同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差 師為什么會是這樣的呢？ 生因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后，中間兩項是同類項，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個數(shù)的平方差了 師很好請用一般形式表示上述規(guī)律，并對此規(guī)律進行證明 生這個規(guī)律用符號表示為： （a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項式、多項式 利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2 師同學們真不簡單老師為你們感到驕傲能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個名字呢？ 生最終結果

7、是兩個數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ 師有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，請同學們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式 （出示投影） 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結構特征才能應用 在應用中體會公式特征，感受平方差公式給運算帶來的方便，從而靈活運用平方差公式進行計算 （出示投影片） 例1：運用平方差公式計算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：計算： （1）102

8、×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 師生共析運用平方差公式時要注意公式的結構特征，學會對號入座 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b2 同樣的方法可以完成（2）、（3）如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉化工作，使它符合平方差公式的特征比如（2）應先作如下轉化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b） 如果轉化后還不能符合公式特征，則應考慮多項式的乘法法則 （作如上分析后，學生可以自己完成兩個例題也可以通過學生的板演進行評析達到鞏固和深化的目的） 例1解：（

9、1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2 （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2 例2解：（1）102×98=（100+2）（100-2） =1002-22=10000-4=9996 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1 師我們能不能總結一下利用平方差公式應注意什么？ 生我覺得應注意以下幾點： （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、

10、多項式即整式 （2）要符合公式的結構特征才能運用平方差公式 （3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質(zhì)上能應用公式 生運算的最后結果應該是最簡才行 師同學們總結得很好下面請同學們完成一組闖關練習優(yōu)勝組選派一名代表做總結發(fā)言 隨堂練習 出示投影片： 計算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 課時小結 通過本節(jié)學習我們掌握了如下知識 （1）平方差公式 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差這個公式叫做乘法的平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2 （2）公式的結構特征 公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項式、多項式； 要符合公式的結構特征才能運用平方差公式； 有些式子表面上不能應用公式，但通過適當變形實質(zhì)上能應用公式如：（x+y-z）（x-y-z）=（x-z）+y（x-z）-y=（x-z）2-y2 課后作業(yè) 1課本P179練習1、2 2課本P182P183習題1531題 三級訓練 板書設計 §1531 平方差公式 一、1用簡便方法計算 （1）2001×1999 （