18直線與平面垂直

1、18 直線與平面垂直教材分析直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識結(jié)構(gòu)，并對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點(diǎn)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題，這是這節(jié)課的難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1. 掌握直線與直線垂直，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)2. 通過探索線面垂直的定義、判定定

2、理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計(jì)算能力，并且加強(qiáng)對思維能力的訓(xùn)練3. 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境上海的標(biāo)志性建筑東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同那么，

3、直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題二、建立模型我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個位置，就可能與固定的直線沒有公共點(diǎn)，這時兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了問題1. 什么叫直線與平面垂直？教師演示

4、：如圖，直線l是線段AB的中垂線固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個平面（2）如果一條直線（AB）和一個平面（）相交于點(diǎn)O，并且和這個平面內(nèi)過交點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個平面叫作直線的垂面交點(diǎn)叫作垂足垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫作這點(diǎn)到這個平面的垂線段垂線段的長度叫作這個點(diǎn)到平面的距離2. 如圖18-2，直線l平面，直線m，問l與m的關(guān)系怎樣學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個

5、平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直3. 怎么畫直線與平面垂直？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖18-24. 如何判斷直線與平面垂直？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)（1）因?yàn)閮蓷l相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與

6、這個平面垂直推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面如圖18-3，如果直線lm，l平面，則l垂直于平面內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知ma，mb，所以m讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法（1）定義（2）判定定理（3）推論4. 在平面幾何中，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個平面的兩條直線平行于是有直線和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行已知：如圖18-4，直線l平面，直線m平面，垂足分別為A，B求證：lm證明：假設(shè)直線不與直線l

7、平行過直線m與平面的交點(diǎn)B，作直線ml，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m設(shè)和m確定的平面為，與的交線為，因?yàn)橹本€m和m都垂直于平面，所以直線m和m都垂直于交線因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m必重合，即lm三、解釋應(yīng)用例題1. 過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條已知：平面和一點(diǎn)P（如圖18-5）求證：過點(diǎn)P與垂直的直線只有一條證明：不論點(diǎn)P在外或內(nèi)，設(shè)PA，垂足為A（或P）如果過點(diǎn)P，除直線PA外，還有一條直線PB，設(shè)PA，PB確定的平面為，且，于是在平面內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線，這是不可能的所以過點(diǎn)P與垂直的直線只有一條2

8、. 如圖18-6，有一根旗桿AB高8m，它的頂端掛著兩條長10m的繩子拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在ABC和ABD中，因?yàn)锳B8m，BCBD6m，ACAD10m，所以AB2BC28262102AC2，AB2BD26282102AD2所以ABCABD90，即ABBC，ABBD又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB平面BCD，即旗桿和地面垂直3. 已知：直線l平面，垂足為A，直線APl（如圖18-7）求證：AP在內(nèi)證明：設(shè)AP與l確定的平面為如果AP不在內(nèi)，則可設(shè)與相交于直線AM，因?yàn)閘，

9、AM，所以lAM又已知APl，于是在平面內(nèi)，過點(diǎn)有兩條直線垂直于l這是不可能的，所以AP一定在內(nèi)練習(xí)1. 已知：如圖18-8，在平面內(nèi)有ABCD，O是它對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在外，且PAPC，PBPD求證：PO2. 已知：空間四邊形ABCD中，ABAC，DBDC，求證：BCAD3. 已知兩個平行平面中，有一個平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸1. 如圖18-9所示，在空間，如果直線，都是線段AA的垂直平分線，設(shè)，確定的平面為，證明：（1）在平面內(nèi)，通過線段AA中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA的垂直平分線（2）線段AA的任一條垂直平分線都在內(nèi)2. 如圖18-10（1），如果平面通過線段AA的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA，那么平面叫作線段AA的垂直平分面（或中垂面），并稱點(diǎn)A，A關(guān)于平面成鏡面對稱，平面叫作A，A的對稱平面如圖18-10（2），如果一個圖形內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F，則稱F，F(xiàn)關(guān)于平面成鏡面對稱F到F的圖形變換稱為鏡面對稱變換如果一個圖形通過鏡面對稱變換后的圖形仍是它自身，則這個圖形被稱為鏡面對稱圖形根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過的空間圖