華師數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)一、教材76頁第1章習(xí)題1第7題來自高中數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)探究問題,總分值10分表1.17是某地一年中10天的白晝時(shí)間單位：小時(shí),請選擇適宜的函數(shù)模型,并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.表1.17某地一年中10天的白晝時(shí)間日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日白晝時(shí)間5.5910.2312.3816.3917.26日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日白晝時(shí)間19.4016.3412.018.486.13解：根據(jù)地理常識,某地的白晝時(shí)間是以一年為周期而變化的,以日期在一年中序號為自變量x,以白晝時(shí)間為因變量y,那么根據(jù)表1.17的數(shù)據(jù)可知在一年一個(gè)周期內(nèi),隨著x的增加,y

2、大約在6月21日夏至到達(dá)最大值,在12月21日冬至到達(dá)最小值,在3月21日春分或9月21日秋分達(dá)到中間值.選擇函數(shù)yAsin22b作為函數(shù)值.根據(jù)表1.17的數(shù)據(jù),365推測A,b和的值,作非線性擬合得y6.9022sinJx12.385,365預(yù)測該地12月21日的白晝時(shí)間為5.49小時(shí).二、教材100頁第2章習(xí)題2第1題總分值10分繼續(xù)考慮第2.2節(jié)“汽車剎車距離案例,請問“兩秒準(zhǔn)那么和“一車長度準(zhǔn)那么一樣嗎？“兩秒準(zhǔn)那么是否足夠平安？對于平安車距,你有沒有更好的建議？解1根據(jù)2.2節(jié)中的“汽車剎車距離案例,“兩秒準(zhǔn)那么和“一車長度準(zhǔn)那么在模型分析與模型建立差不多相同,只是K1的取值不同.

3、D前后車距m;v車速m/s;K根據(jù)兩秒準(zhǔn)那么,Dtv之間的比例系數(shù)s.于是“兩秒準(zhǔn)那么的數(shù)學(xué)模型為：D=K*v；K1=2.0;1.0已經(jīng)知道,剎車距離的數(shù)學(xué)模型為2d=k1v+k2v;1.1比擬1.0與1.1式得d-D=k1+k2v-Kiv；所以當(dāng)k1+k2v-K10時(shí),即前后車距大于剎車距離的理論值,可以為是足夠平安；k1+k2V-KJ.時(shí),可以為是不夠平安代入k1=0.75,k2=0.082678,K1=2.0,計(jì)算得到當(dāng)車速超過15.11889m/s時(shí),“兩秒準(zhǔn)那么就不夠平安了.(2)下面的程序及圖像也是很好的證實(shí).源程序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36

4、,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;K1=1.1185;k1=0.75;k2=0.082678;d=d2+d1;plot(0,40,0,2*40,-k,0,40),holdonplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2),holdofftitle

5、(,比擬剎車距離實(shí)測數(shù)據(jù)、理論值、兩秒準(zhǔn)那么,)legend(兩秒準(zhǔn)那么,剎車距離理論值,.,剎車距離的最小值、平均值和最大值,2)xlabel(車速v(m/s),ylabel(距離(m)(3)根據(jù)汽車的最高速度一般不超過120km/h(約33.3m/s),k2=0.082678,k1=0.75,33.3*k2+k1=2.753177s+0.75s=3.5s,所以我認(rèn)為可以采取“3.5秒準(zhǔn)那么.這在理論上和實(shí)際上都是比擬平安的.三、教材100頁第2章習(xí)題2第3題(總分值10分)繼續(xù)考慮第2.3節(jié)“生豬出售時(shí)機(jī)案例,做靈敏度分析,分別考慮農(nóng)場每天投入的資金對最正確出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤的影響解：

6、(1)考慮每天投入的資金c發(fā)生的相對為,那么生豬飼養(yǎng)的天數(shù)t發(fā)生C-、“t口C.的相對變化是的多少倍,即定義t對c的靈敏度為tCS(t,c_A/t一c/c由于Ac-0,所以重新定義t對c的靈敏度為S(t,c由課本上可知t=rp(0)-g(0)-c2grt/tdtc=-=-x-c/cdct所以krp(s-g2(0)-c,所以t是c的減函數(shù)2gr2gr為了使t0,c應(yīng)滿足rp(0)-g(0)-c0結(jié)合可得S(t,c)crp(0)-g(0)-c3.212-0.08X90-3.2-2這個(gè)結(jié)果表示的意思是如果農(nóng)場每天投入的資金c增加1%出售時(shí)間就應(yīng)該提前2%(2)同理(1)總收益Q對每天投入資金c的靈敏

7、度為S(Q,c)dQc-x-dcQrp(0)-gco(0)-c2Qmax=4gr結(jié)合得2c2X3.2Qmax=rp(0)-gw(0)-c=-12-0.08X90-3.2=-4運(yùn)內(nèi)果表小的忠心正如果每天投入的資金c增加1%那么最大利潤就會減少4%四、教材143頁第3章習(xí)題3第2題(總分值10分)某種山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境下,年平均增長率分別為1.68%、0.55而口-4.5%.假設(shè)開始時(shí)有100只山貓,按以下情況分別討論山貓數(shù)量逐年變化的過程及趨勢：(1)三種自然環(huán)境下25年的變化過程,結(jié)果要列表并圖示；(2)如果每年捕獲3只,山貓數(shù)量將如何變化？會滅絕嗎？如果每年只捕獲1只呢？(3)

8、在較差的自然環(huán)境下,如果要使山貓數(shù)量穩(wěn)定在60只左右,每年要人工繁殖多少只？解：解記第k年山貓xk,設(shè)自然壞境下的年平均增長率為r,那么列式得Xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2其解為等比數(shù)列xk=x0(1+r)k,k=0,1,2當(dāng)分別取r=0.0168,0.0055和-0.0450時(shí),山貓的數(shù)量在25年內(nèi)不同的環(huán)境下的數(shù)量演變?yōu)?10011022103310541075109611171128114911610118111201212213124141261512816131171331813519137201402114210196101911028710283103791037610

9、47210469105661066310660107581075510852109501094811046110441114211240231471133524149114332515211532(1)在較好的自然環(huán)境下即r=0.0168時(shí),Xk單調(diào)增趨于無窮大,山貓的數(shù)量將無限增長；在中等的自然環(huán)境下即r=0.0055時(shí),Xk單調(diào)增并且趨于穩(wěn)定值；在較差的環(huán)境中即r=-0.0450時(shí),Xk單調(diào)衰減趨于0,山貓將瀕臨滅絕.假設(shè)每年捕獲3只,b=從上可以得出結(jié)論：3,那么列式為Xk+1=(1+r)xkb那么山貓?jiān)?5年內(nèi)的演變?yōu)槟贻^好中等較差010010010019998932979585396

10、937849590725938866692856098777431086753911847234128370291381672514796421157862171676591317745610187354619715132069480216746-3226543-6236340-9246137-11255935-14由圖上可知,無論在什么環(huán)境下,如果每年捕獲山貓3只,單調(diào)減趨于0,那么最終山貓的數(shù)量都會滅絕,在較差的環(huán)境中第20年就會滅絕.同理,如果每年人工捕獲山貓1只,那么山貓?jiān)诓煌h(huán)境中的演變?yōu)?00959989998498799875977097669662965995559551944

11、894459342933992369234923101001101210131024103510461047105810691071010711108121091311014111151111611217113181141911520116211179129231198920241208818251218816如果每年人工捕獲山貓一只,在較好的環(huán)境下山貓的數(shù)量仍然會一直增力口,在中等的環(huán)境下,山貓的數(shù)量趨于穩(wěn)定,但會慢慢減少,在較差的環(huán)境下,山貓的數(shù)量一直在減少,很快就會滅絕.假設(shè)要使山貓的數(shù)量穩(wěn)定在60只左右,設(shè)每年需要人工繁殖b只,到第k年山貓的數(shù)量為xk=(1+r)xk-1+b,k=0,

12、1,2這時(shí)xk=xk-1=60,r=-4.5%,代入上式得b3五、教材143頁第3章習(xí)題3第4題(總分值10分)某成功人士向?qū)W院捐獻(xiàn)20萬元設(shè)立優(yōu)秀本科生獎學(xué)金,學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)打算將這筆捐款以整存整取一年定期的形式存入銀行,第二年一到期就支取,取出一部分作為當(dāng)年的獎學(xué)金,剩下的繼續(xù)以整存整取一年定期的形式存入銀行請你研究這個(gè)問題,并向?qū)W院領(lǐng)導(dǎo)寫一份報(bào)告.報(bào)告：摘要：本文主要研究的是基金的最正確使用方案,通過最正確的基金使用方案來提升每年發(fā)給學(xué)生的獎金.首先,計(jì)算在只有銀行存款的條件下,根據(jù)收益最大化原那么,把基金存入銀行使每年發(fā)放的獎金數(shù)目盡可能多,由于銀行存款的期限最長為五年,所以把獎金發(fā)放制定成

13、為期五年的發(fā)放方案,第六年即可劃入下一個(gè)五年周期的獎金發(fā)放方案中.在滿足基金使用要求的情況下,每年存入銀行的各種存款的數(shù)目可以根據(jù)約束條件計(jì)算,然后分析銀行存款和投資并存情況下各種資金的分配情況.存款與投資同時(shí)存在的情況.在不考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下,將投資看作是特殊的存款,其利率用平均收益率近似代替,根據(jù)第一步的方法計(jì)算此時(shí)獎學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配,通過靈敏度分析得出：獎學(xué)金發(fā)放對投資的靈敏度較高.根據(jù)投資越分散風(fēng)險(xiǎn)越低,可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款,不應(yīng)將基金大量用投資.在考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下,應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎學(xué)金的發(fā)放要求,期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等.鑒于學(xué)校獎學(xué)金基金承當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)

14、水平小,應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度,因此應(yīng)將學(xué)校獎學(xué)基金分為兩局部：一局部用于保證獎學(xué)金的發(fā)放；一局部用于投資.20萬可分為兩局部,分別作為存款和投資資本.一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎學(xué)金發(fā)放曲線,另一方面投資0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎學(xué)金發(fā)放曲線,兩者的步長值相等且均為0.1萬元,然后將存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線,即得出總的獎學(xué)金發(fā)放曲線,存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線的交點(diǎn)即為獎學(xué)金均衡點(diǎn),此時(shí),存款與投資的比例較為適宜,接著分析投資風(fēng)險(xiǎn),通過分析得出獎學(xué)金發(fā)放最優(yōu)的基金使用方式.關(guān)鍵詞：動態(tài)優(yōu)化資金合理分配投資收益率一、問題分析在只

15、有存款的條件下,可利用迭代法進(jìn)行計(jì)算,用上一年到期存款發(fā)放獎學(xué)金,發(fā)放獎學(xué)金后的余額作為剩余資金重新進(jìn)行下期存款,得出每年應(yīng)發(fā)放的獎學(xué)金最大數(shù)目及存入下期存款的種類.對于存款與投資同時(shí)存在的情況下,由于投資有收益率為負(fù)的情況,次種投資可看作為不存在的投資期限作簡化處理,應(yīng)為投資收益率為動態(tài)數(shù)據(jù),因此無法進(jìn)行精確計(jì)算,只能進(jìn)行近似計(jì)算,在這種情況下將投資的平均收益率作為投資收益,這樣不僅可以降低風(fēng)險(xiǎn)系數(shù),簡化計(jì)算.經(jīng)過以上簡化,在銀行存款和投資并存的情況下,可以將投資看作是特殊的存款,這樣可以利用與第一種情況相同的方法進(jìn)行計(jì)算,這樣計(jì)算出的基金使用方式比擬合理,風(fēng)險(xiǎn)比擬低,可以保證獎學(xué)金的發(fā)放.

16、基于以上的條件將銀行存款和投資并存的情況更詳細(xì)的分析,把基金分為兩局部,一局部用于投資,一局部用于存款,觀察存款變化時(shí),獎學(xué)金變化的情況.以次得到更穩(wěn)健的資金利用方法.二、模型建立為了盡可能的資金被充分利用,模型中總是把扣除獎學(xué)金后所余的現(xiàn)有資金全部用來存款或投資.由于銀行存款和投資最大期限不大于五年,而本問題面對的是一個(gè)六年的基金投資方案,所以針對目標(biāo)情況,做五年期的投資存款計(jì)劃,模型中對相應(yīng)的參數(shù)做了相應(yīng)的處理.第一種情況下只有銀行存款,可以簡單的將各種條件轉(zhuǎn)化為約束條件,求出最優(yōu)解,并將最優(yōu)解作為只有存款條件下基金使用方案,在此把它看作是模型一.在二種情況下,投資作為一種選擇出現(xiàn)使問題復(fù)

17、雜化,問題顯得非常復(fù)雜,因此將問題簡化顯得非常有必要,把平均投資收益率看作投資的收益率不失為一種很好的方法,這樣不僅可以簡化模型的復(fù)雜性,還可以較好的反映問題的實(shí)質(zhì).在這種情況下可以求出最優(yōu)的基金使用模型.三、符號說明mnj：方案中第n年投資于存款存期為j年的資金j=1,2,3,5gnt1:方案中第n年投資于投資1周期為t1的資金t1=1,3,5.n,tgnt2:方案中第n年投資于投資2周期為t2的資金t2=2,55nt27rj：存款中存儲周期為j年的實(shí)際收益率.N:獎學(xué)金發(fā)放數(shù)目.M初始時(shí)某大學(xué)所獲基金的總額.St1：投資周期為t1的收益率.02：投資周期為t2的收益率.四、模型求解第一種情

18、況：只有銀行存款的條件下,銀行存款的存入方式及存入年限.銀行稅后年利率如下表存期1年2年3年5年稅后年利率2.4%3%3.6%4.1%終期銀行利率如下表存款種尖一年兩年三年五年終期收益率1.0241.061.1081.205在只存款不投資的情況下,根據(jù)我們的模型設(shè)計(jì)和符號約定,最正確的基金使5用方案應(yīng)該滿足以下方程組：1朋/M1,j4那么在只有存款的情況下,第二年存入銀行的錢數(shù)為：第二種情況：在可存款也可投資的情況下,首先根據(jù)假設(shè)和最大收益的原那么,資金在這種情況下是不允許閑置的,即在同一時(shí)間內(nèi)要么存入銀行要么投資.其次.由于投資是有風(fēng)險(xiǎn)的,投資收益率為正態(tài)分布函數(shù),因此,投資收益率用平均投資

19、收益率.據(jù)此,可以得到彝族方程來刻畫這種情況下的最正確基金使用方案.為了充分利用基金,基金將被充分的用于存款和投資,由于只有這樣才能使利潤最大化.第二年可用于投資與存款的基金和,與模型一相同,應(yīng)發(fā)獎學(xué)金遵循獎學(xué)金數(shù)目的既定關(guān)系.第三年初可用于投資和存款的基金和第四年關(guān)于投資與存款的基金和第五年可用于投資和存款的基金和五、運(yùn)算數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)運(yùn)算主要采用matlab軟件進(jìn)行求解.現(xiàn)在不再求解.六、建議對上述兩個(gè)模型的分析可知,只對捐款進(jìn)行定期的整存整取風(fēng)險(xiǎn)最低,但獎學(xué)金發(fā)放的年限也是最少的.對于第二種情況對捐款進(jìn)行劃分,一局部用來投資,一局部用來存儲,具有一定的風(fēng)險(xiǎn),但收益較為可觀.對于風(fēng)險(xiǎn)敏感的

20、投資者,存款是最穩(wěn)健的模型；對于風(fēng)險(xiǎn)愛好者,將資金全部用于投資,模型二為首選.我認(rèn)為院領(lǐng)導(dǎo)在不考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下,將投資看作是特殊的存款,其利率用平均收益率近似代替,根據(jù)第一步的方法計(jì)算此時(shí)獎學(xué)金發(fā)放所產(chǎn)生的資金分配.通過靈敏度分析得出：獎學(xué)金發(fā)放對投資的靈敏度較高.根據(jù)投資越分散風(fēng)險(xiǎn)越低,可知應(yīng)將基金分散用于投資和存款,不應(yīng)將基金大量用于投資.在考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下,應(yīng)保證基金收益能夠滿足獎學(xué)金的發(fā)放要求,期末基金余額應(yīng)大體與基金初始金額相等.鑒于學(xué)校獎學(xué)基金承當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)水平小,應(yīng)采取謹(jǐn)慎的投資態(tài)度,因此應(yīng)將學(xué)校獎學(xué)金分為兩局部：一局部用于獎學(xué)金的發(fā)放；一局部用于投資.20萬元可分為兩局部,分別作為存

21、款和投資資本.一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進(jìn)行分析得出存款獎學(xué)金發(fā)放曲線,另一方面投資0萬元開始以遞增趨勢進(jìn)行分析得出投資獎學(xué)金發(fā)放曲線,兩者的步長值相等且均為0.1萬元,然后將存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線在同一圖中合并為一條曲線,即得出總的獎學(xué)金發(fā)放曲線,存款獎學(xué)金曲線和投資獎學(xué)金曲線的交點(diǎn)即為獎學(xué)金均衡點(diǎn),此時(shí),存款與投資的比例較為適宜.解：記養(yǎng)老金第k月末銀行帳戶余額為Xk元,0,1,2,.)br)kb,k0,1,2,.r那么列式得：xk(1r)xkb(kb-由于r乎0,所以Xk(X0-)(1r由于月利率為.y=0.3%,月支取b=1000元和本金總額X0=100000元,必然滿b

22、一足x0一且0o所以Xk單調(diào)技減,而且技減的越來越快,直到X.=0rkk為止.Xk=0即kbb-假設(shè)養(yǎng)老金用到80歲,那么由x0-1rk0得rr所以,如果在60歲存入100000元,每月支取1000元,到120月即70歲恰好用完.如果每月支取1000元,用到80歲,那么在60歲時(shí)存入170908元.七、教材302頁第7章習(xí)題7第1題總分值10分對于不允許缺貨確實(shí)定性靜態(tài)庫存模型,做靈敏度分析,討論參數(shù)d、p2和r的微小變化對最優(yōu)訂貨策略的影響.解1考慮每次訂貨的固定費(fèi)用仍發(fā)生的相對為p1/p1,那么最優(yōu)訂貨周期AT*發(fā)生的相對變化AT*/T*是4p1/p1的多少倍,即定義p1對T*的靈敏度為*

23、T_*ST,p1*工一由于4仍一0,所以重新定義仍對T*的靈敏度為旦p1_*ST,p1*dTpdRT.、一.一*由課本上可知T0.52p1-*一*QrT中對pi求導(dǎo)式和式代入得S(T*,pi)=0.5同理得S(Q*,pi)=0.5S(T*,p2)=-0.5S(Q*,p2)=-0.5S(T*,r)=-0.5S(Q*,r)=0.5八、教材302頁第7章習(xí)題7第2題(總分值10分)習(xí)題7第2題.某配件廠為裝配線生產(chǎn)假設(shè)干種部件.每次輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí),因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)(與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)).同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí),因積壓資金、占用倉庫要付庫存費(fèi).今某一部件的日需求量100件,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元,庫存費(fèi)每日每件1元.如果生產(chǎn)水平遠(yuǎn)大于需求,并且不允許