04-1連續(xù)性的概念

1、第四章函數(shù)的連續(xù)性§1連續(xù)性的概念(一)教學(xué)目的：掌握函數(shù)連續(xù)性概念.(二)教學(xué)內(nèi)容：深刻理解函數(shù)連續(xù),函數(shù)左右連續(xù),區(qū)間上函數(shù)連續(xù),間斷點(diǎn)及其分類等概念.對一般的函數(shù)特別是初等函數(shù)可以討論其間斷點(diǎn)并且分類根本要求：1)掌握函數(shù)連續(xù)性概念,可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定義.2)較高要求：討論黎曼函數(shù)的連續(xù)性.(三)教學(xué)建議：(1) 函數(shù)連續(xù)性概念是本節(jié)的重點(diǎn).對學(xué)生要求懂得函數(shù)在一點(diǎn)和在區(qū)間上連續(xù)的定義,間斷點(diǎn)的分類.(2)本節(jié)的難點(diǎn)是用較高的分析方法、技巧證實(shí)函數(shù)的連續(xù)性,對較好學(xué)生布置有關(guān)習(xí)題.一函數(shù)在一點(diǎn)X0的連續(xù)先回憶一下函數(shù)在x0點(diǎn)的極限limf

2、(x)=AxJx0設(shè)函數(shù)f(x)在xo的某個空心鄰域內(nèi)有定義,A是一個確定的數(shù),假設(shè)對Vs>0,三6>0,當(dāng)0c|xx0|<6時,都有|f(x)A|<名,那么稱f(x)在xTx0時,以A為極限.這里f(x0)可以有三種情況sin(x-x0)1) f(x0)無定義,比方上章講過的特殊極限lim-=1xx-x0x,x#x02)f(x0)第A,比方f(x)=,limf(x)=x0#f(x0)、x+1,x=沏f0*對1,2兩種情況,曲線在X0處都出現(xiàn)了間斷；第3種情況與前兩種情況不同,曲線在Xo處連綿不斷,我們稱這種情況為,f(X)在Xo處連續(xù).定義1設(shè)函數(shù)f(x)在X0的某鄰

3、域內(nèi)有定義,假設(shè)limf(X)=f(Xo)xXo那么稱函數(shù)f(X)在X0點(diǎn)連續(xù).例如函數(shù)f(x)=2x+1在點(diǎn)X=2連續(xù),由于!嗯f(x)-lim(2X2)-5-f(2)又如,函數(shù)f(x)=xsin-,x=0_一.x在x=0處連續(xù).由于0,x=01呵f(x)=limxsin=0=f(0)可等價的表達(dá)為假設(shè)記Ax=x-x0,Ay=f(x)-f(x0)那么limf(x)=f(x0)X>X0股Ay=0,于是函數(shù)f(x)在X0點(diǎn)連續(xù)的定義又可以表達(dá)為定義1設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)limlv=0.*07那么稱f(x)在X0點(diǎn)連續(xù).另外,由于函數(shù)f(x)在X0點(diǎn)連續(xù)是用極限形式表述

4、的,假設(shè)將limf(x)=f(Xo)改X死用8-每語言表達(dá),那么f(x)在X0點(diǎn)連續(xù)又可以定義為：定義1設(shè)函數(shù)f(x)在X0的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)對V8>0,36>0,使得當(dāng)|x-X0|<6時,都有If(x)-f(X0)|<5,(2)那么稱f(X)在X0點(diǎn)連續(xù).注意函數(shù)f(X)在X0點(diǎn)連續(xù),不僅要求f(x)在X0點(diǎn)有定義,而且要求XTX0時,f(x)的極限等于f(X0),因此這里在極限的“語言表達(dá)中把“0<|xX0|<6"換成了“|xx0|<6".最后,(1)式又可表示為limf(x)=f(limx),XX0X的可見“f在x=0連續(xù)

5、意味著極限運(yùn)算lim對應(yīng)法那么f的可交換性.X)X0例1證實(shí)函數(shù)f(x)=xD(x)在點(diǎn)x=0連續(xù),其中D(x)為狄利克雷函數(shù).證實(shí)由f(0)=0及|D(x)|E1,對于任意的EA0,為使|f(x)-f(0)|=|xD(x)|x|<s只要取6即可按定義推得在連續(xù).相應(yīng)于在的左、右極限的概念,我們給出左右連續(xù)的定一如下：定義2設(shè)函數(shù)f(x)在X0的某左(右)鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)limf(x)=f(x0)(limf(x)=f(x0)XXq-XX0-那么稱f(x)在X0點(diǎn)左(右)連續(xù).由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出：定理4.1函數(shù)f(x)在X0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為：f(X)在X0點(diǎn)既左連續(xù)又右

6、連續(xù).一,“一'x+2,x20例2討論函數(shù)f(X)=在X=0的連續(xù)性.x-2,x<0解由于limf(x)=lim(x2)=2=f(0)limf(x)=lim(x-2)=-2=f(0)x_0x_0所以f(x)在x=0右連續(xù),但不左連續(xù),從而f(x)在x=0不連續(xù).間斷點(diǎn)及其分類定義3設(shè)函數(shù)f在某Uo(x0)內(nèi)有定義.假設(shè)ff的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).在點(diǎn)x0無定義,或在點(diǎn)x0有定義但不連續(xù),那么稱點(diǎn)x0為函數(shù)1)limf(x)=A,而f在點(diǎn)xo無定義,或有定義但limx-rx0f(x)=A=f(xo)由連續(xù)的定義知,函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下情形limf(x)|為跳躍度x>

7、;x)-2)左、右極限都存在,但不相等,稱a=|limf(x)-X及.3)左、右極限至少一個不存在據(jù)此,函數(shù)f的間斷點(diǎn)可作如下分類:1.可去間斷點(diǎn)情況1)x0稱為可去間斷點(diǎn)(或可去不連續(xù)點(diǎn))；例f(x)=«limf(x)=1:-1=f(0)x)0-1,x-0x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).例f(x)=|sgn僅a)|,limf(x)=1,f(a)=0,x=a是f(x)的可去間斷點(diǎn).xa2.跳躍間斷點(diǎn)情況2)X0稱為可跳躍間斷點(diǎn);情況1),2)統(tǒng)稱第一類間斷點(diǎn).例y=x由于limf(x)=n,lim=n1,所以y=x的整數(shù)點(diǎn)為跳躍間斷x)n-x/一點(diǎn),跳躍度等1.例f(x)=sgnx由于

8、limsgnx=1,limsgnx=1x_0x)0所以f(x)=sgnx在x=0處為跳躍間斷點(diǎn),跳躍度等2.3.情況3)x0稱為可第二類間斷點(diǎn)；-1例f(x)=-,limf(x)不存在,所以x=0是f(x)的第二類不連續(xù)點(diǎn).xx0為了增強(qiáng)理解和記憶,我們畫出兩類不連續(xù)點(diǎn)的圖象(c41)subplot(2,2,1)ezplot('sin(x)/x',-0.5,0.5)holdonplot(0,1,'r*')subplot(2,2,2)ezplot('sin(x)+sign(x)',-pi/3,pi/3)holdonplot(0,0,'r*&

9、#39;),subplot(2,2,3)ezplot('sin(1./x)',-0.5,0.5)holdonplot(0,0,'r*')subplot(2,2,4)ezplot('abs(1./(x+eps)',-0.5,0.5),holdonplot(0,28,'r*')sin(x)/xsin(x)+sign(x)abs(1/(x+eps)10.50-0.5-1-0.500.5xx三區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù),那么稱f(x)為I上的連續(xù)函數(shù),對于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性那么按左、右連續(xù)來確定.例如y=c

10、,y=x,y=sinx,y=cosx是(-«,+r)內(nèi)的連續(xù)函數(shù),y=Ji_x2在(-1,1)的每一點(diǎn)都連續(xù),在x=1左連續(xù)性,在x=-1右連續(xù)性,因而是-1,1上的連續(xù)函數(shù)(參見上章§1的例題).定義如果f(x)在區(qū)間a,b上僅有有限個第一類不連續(xù)點(diǎn),那么稱函數(shù)f(x)在間a,b上按段連續(xù).例如y=x,y=sgnx是按段連續(xù)函數(shù).例3討論黎曼函數(shù)v_P,(p,q)為正整數(shù),p/q為既約真分?jǐn)?shù)_,、,xR(x)=<qq0,x=o,1及(0,1)內(nèi)的無理數(shù)的連續(xù)性證實(shí)設(shè)七w(0,1)為無理數(shù),任給s>0(不妨設(shè)&<J/),滿足2之正數(shù)顯然只有有限個2qq(但至少有有一個,如q=2),從而使R(x)之6的有理數(shù)x(0,1)只有有限個(至少有有一個,1.、如一),設(shè)為x1,xn,取25=min(k-E|,|xn可占1七),(顯然3>0)那么對任何xwU(之6)(u(0,1),當(dāng)x為有理數(shù)時有R(x)<名,當(dāng)x為無理數(shù)時R(x)=0.于是,對任何xWU(£為,總有R(x)-Rd)|=R(x)<g這就證實(shí)了R(x)