202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線10.3拋物線課件

1、高考高考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) (山東專用)10.3拋物線A A組山東省卷、課標(biāo)組山東省卷、課標(biāo)卷題組卷題組(2017山東,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.22xa22yb五年高考答案答案 y=x22解析解析本題考查雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和方程的思想方法.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)?|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得

2、=,故該雙曲線的漸近線方程為y=x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222B B組課標(biāo)卷、其他自主命題省組課標(biāo)卷、其他自主命題省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組1.(2016課標(biāo)全國,10,5分)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.825答案答案 B不妨設(shè)C:y2=2px(p0),A(x1,2),則x1=,由題意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故選B.22(2 2)2p4p24p22p2.(2018北京文,10,5分)已知直線l過點(diǎn)

3、(1,0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.答案答案(1,0)解析解析本題主要考查拋物線的性質(zhì),弦長的計(jì)算.由題意得a0,設(shè)直線l與拋物線的兩交點(diǎn)分別為A,B,不妨令A(yù)在B的上方,則A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故拋物線的方程為y2=4x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).aaa3.(2017課標(biāo)全國,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.答案答案6解析解析如圖,過M、N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1、N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,

4、則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.思路分析思路分析過M、N作準(zhǔn)線的垂線,利用拋物線的定義和梯形的中位線求解.方法總結(jié)方法總結(jié)當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí),應(yīng)充分利用拋物線的定義,同時(shí)也體現(xiàn)了拋物線的定義在解題中的重要作用.4.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=.答案答案22解析解析拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=-(p0),故直線x=-過雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)(-,0),從而-=-,得p=2.

5、2p2p22p225.(2019北京理,18,14分)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).解析解析本題主要考查拋物線、直線和圓的基本概念,重點(diǎn)考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力,通過直線與拋物線的位置關(guān)系考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=1.

6、(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,-1).設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k0).由得x2+4kx-4=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4,直線OM的方程為y=x.令y=-1,得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA=-.同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB=-.21,4ykxxy 11yx11xy22xy設(shè)點(diǎn)D(0,n),則=,=,=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).DA11, 1xny DB22, 1xny DADB1212x xy y12221244x x

7、xx1216x xDADBC C組教師專用題組組教師專用題組1.(2017北京,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).10,2解析解析本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)由拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1),得p=.所以拋物線C的方程為y2=x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-.(2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M

8、(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.則x1+x2=,x1x2=.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥1+-2x1=121,04141221,2ykxyx21kk214k22yx2 112,y xxx2 12y xx122 11222y xy xx xx=0,所以y1+=2x1.故A為線段BM的中點(diǎn).122112211222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx2 12y xx2.(2016浙江文,19,15分)如

9、圖,設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N,AN與x軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.解析解析(1)由題意可得,拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x=-1的距離,由拋物線的定義得=1,即p=2.(2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t0,t1.因?yàn)锳F不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為-.

10、從而得直線FN:y=-(x-1),直線BN:y=-.所以N.設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得=,于是m=.2p24 ,1yxxsy212,tt221tt 212tt212tt2t2232,1ttt22ttm2222231ttttt2221tt 所以m2.經(jīng)檢驗(yàn),m2滿足題意.綜上,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-,0)(2,+).思路分析思路分析 (1)利用拋物線的定義來解題;(2)由(1)知拋物線的方程,可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)及直線AF的方程,與拋物線方程聯(lián)立可得B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得直線FN的方程與直線BN的方程,聯(lián)立可得N點(diǎn)坐標(biāo),最后利用A,M,N三點(diǎn)共線可得kAM=kAN,最終求出結(jié)果.評析評析 本

11、題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.A A組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程三年模擬1.(2019山東臨沂第十九中學(xué)調(diào)研,7)若拋物線y2=2px(p0)上的點(diǎn)A(x0,)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于()A.B.1C.D.221232答案答案D由題意得,3x0=x0+,x0=,=2.p0,p=2.故選D.2p4p22p2.(201953原創(chuàng)沖刺卷(一)理,7)已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)A(m,0)在x軸正

12、半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若拋物線上存在點(diǎn)P,使得OPA=90,則m的取值范圍是()A.(0,4)B.(4,+)C.(0,2)D.(2,+)答案答案B設(shè)點(diǎn)P(b0),由OPA=90,得=0,=0,即m=4+,m4,故選B.2,4bbOPPA2,4bb2,4bmb24b3.(2019山東泰安一輪復(fù)習(xí)檢測,4)從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=4,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則直線PF的斜率為()A.B.C.D.2333233答案答案C設(shè)P(x0,y0),依題意可知拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,x0=4-1=3,y0=2,P(3,2),又F(1,0),直線PF的斜率為=

13、,故選C.332 33 134.(2019山東師大附中四模,11)已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對稱軸的距離之比為5 4,且|AF|2,則A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A.3B.4C.4D.423答案答案B設(shè)A(x1,y1),由題意可得=,又=4x1,x1=或x1=4,|AF|2,x1=4,=16.點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為=4.故選B.111|xy5421y1421y2211xy161625.(2019山東濟(jì)南外國語學(xué)校1月模擬,15)已知拋物線C1:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F與雙曲線C2:-=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,若點(diǎn)F到雙曲線C2的一條漸近線的距離為1,則C1的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為

14、.23x22yb答案答案4解析解析由題意得=c,點(diǎn)F(c,0)到雙曲線C2的漸近線bx-y=0的距離為1,=1,又c2=3+b2,b=1,即c=2,p=2c=4,故拋物線C1的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為p=4.2p323bcb考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)1.(201953原創(chuàng)沖刺卷(三)理,15)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l,交拋物線于P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于C,D兩點(diǎn),則的最小值為.22|ABCD答案答案 13 12解析解析點(diǎn)F(1,0),設(shè)直線PQ:x=my+1,代入y2=4x,消去x,得y2-4my-4=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x

15、2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4,設(shè)以線段PQ為直徑的圓的圓心為M,則點(diǎn)M(2m2+1,2m),半徑r=|PQ|=|y1-y2|=2m2+2,過點(diǎn)M作MGAB于點(diǎn)G,MHCD于點(diǎn)H,連接MA,MD,則|AB|2=(2|AG|)2=4(r2-|MG|2)=4(2m2+2)2-(2m)2=16(m4+m2+1),|CD|2=(2|DH|)2=4(r2-|MH|2)=4-=4(4m2+3).令4m2+3=t(t3),則m2=,=4=4=(-1),當(dāng)且僅當(dāng)t=,即m2=時(shí),有最小值,為.121221m1221m21616m 22(22)m 22(21)m 34t 22|ABCD42214

16、3mmm233144ttt22134ttt14132tt121313133422|ABCD13 122.(2019山東濰坊一模,15)已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線與拋物線及其準(zhǔn)線l依次相交于G、M、N三點(diǎn)(其中M在G、N之間且G在第一象限),若|GF|=4,|MN|=2|MF|,則p=.答案答案2解析解析如圖,過M作MHl于H,由|MN|=2|MF|,得|MN|=2|MH|,MN所在直線的斜率為,MN所在直線的方程為y=,聯(lián)立得得12x2-20px+3p2=0.解得xG=p,則|GF|=p+=4,即p=2.332px23,22,pyxypx32322pB B組

17、組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時(shí)間:30分鐘分值:45分一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(201953原創(chuàng)沖刺卷(四)理,10)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若P為拋物線C上任意一點(diǎn)且|OP|=|PF|,則的最大值為()A.B.C.D.1,042 3336352答案答案 A依題意有=,則p=,所以拋物線C:y2=x,設(shè)P(x0,y0),則=,令t=x0+,t,則=,故選A.2p1412|OPPF2200014xyx200014xxx2002011134241614xxtt2311

18、11162tt 231441633t2 332.(2018河北石家莊一模,6)過拋物線y=x2的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在直線y=-1上,若ABC為正三角形,則其邊長為()A.11B.12C.13D.1414答案答案 B拋物線y=x2,即x2=4y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)D(x0,y0),由題意知直線AB的斜率存在,且不為零,設(shè)直線AB的斜率為k(k0),則直線AB的方程為y=kx+1,由消去y,可得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,|AB|=y1+y2+2=4k2+4,x

19、0=2k,y0=2k2+1,D(2k,2k2+1),線段AB的垂直平分線的方程為y-2k2-1=-(x-2k),1421,41yxykx1k即y=-x+2k2+3,令y=-1,得x=2k3+4k,C(2k3+4k,-1),點(diǎn)C到直線AB的距離|CD|=,ABC為正三角形,|CD|=|AB|,=(4k2+4),整理可得k2=2,|AB|=4k2+4=12,即正ABC的邊長為12.故選B.1k422|242|1kkk2222(1)1kk322222(1)1kk32思路分析思路分析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)D(x0,y0),由題意知直線AB的斜率存在且不為零,設(shè)直線AB的

20、斜率為k,則直線方程為y=kx+1,聯(lián)立直線與拋物線方程,可得x2-4kx-4=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出|AB|,由線段AB的垂直平分線的方程,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,求出|CD|,根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得|CD|=|AB|,即可求出k2=2,則正ABC的邊長即可求出.32二、填空題(共5分)3.(2019山東德州躍華中學(xué)模擬,14)已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y2-=1相交于A,B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則p=.23x答案答案2解析解析y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-,由于ABF為等邊三角形,因此不妨設(shè)A,B,又點(diǎn)

21、A,B在雙曲線y2-=1上,-=1,解得p=2.2p,23pp,23pp23x23p23 4p三、解答題(共30分)4.(2017安徽合肥二模,19)如圖,已知拋物線E:y2=2px(p0)與圓O:x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1,l2,l1與l2相交于點(diǎn)M.(1)求拋物線E的方程;(2)求點(diǎn)M到直線CD距離的最大值.解析解析(1)由xA=2得=4,故2pxA=4,p=1.所以拋物線E的方程為y2=2x.(2)設(shè)C,D,切線l1:y-y1=k,代入y2=2x得ky2-

22、2y+2y1-k=0,由=0解得k=,l1的方程為y=x+,同理,l2的方程為y=x+,由解得易得CD的方程為x0 x+y0y=8,其中x0,y0滿足+=8,x02,2,由得x0y2+2y0y-16=0,2Ay211,2yy222,2yy212yx21y11y11y12y21y22y11221,21,2yyxyyyxy1212,2,2yyxyyy20 x20y22002 ,8yxx xy y則M(x,y)滿足即點(diǎn)M為.點(diǎn)M到直線CD:x0 x+y0y=8的距離d=,易知當(dāng)且僅當(dāng)x0=2時(shí),dmax=.01201202,16,yyyxyyx 0008,xxyyx 0008,yxx20022008

23、8yxxy 200162 2yx2008162 2xx008162 2xx182 29 225.(201953原創(chuàng)沖刺卷(五)理,19)已知拋物線E:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)重合,直線AB交拋物線E于A,B兩點(diǎn).(1)求p的值;(2)若直線AB過x軸上的定點(diǎn)(p,0),求kOAkOB的值;(3)若直線AB與橢圓C在拋物線E含焦點(diǎn)區(qū)域內(nèi)的弧(含端點(diǎn))相切,求AOB的面積的最小值.22x解析解析(1)橢圓C的右焦點(diǎn)為(1,0),=1,即p=2.(2分)(2)設(shè)直線AB:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-8=0,則y1+y2=4t,y1

24、y2=-8,所以kOAkOB=-2.(6分)(3)設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),由得x2+8x-2=0,解得x=-4+3(負(fù)值舍掉),則3-4x0.設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),直線AB:y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立,解得k=-,則直線AB:xx0+2yy0=2.由得+2y0y-2=0,則y3+y4=-,y3y4=,2p22,4xtyyx1212y yx x12221216y yy y1216y y2221,24xyyx222002xy00222,4xxyyyx204x y008yx08x則SAOB=|y3-y4|=4.令t=,則t,SAOB=4,令y=2t4+t3-t2,則y

25、=8t3+3t2-2t,易知y0在t上恒成立,則y=2t4+t3-t2在上單調(diào)遞增,=.(12分)1202x01x23434()4yyy y01x2000884yxx200206432yxx2002064 1322xxx200204224xxx2234000112xxx01x2 3 24,2224322ttt2 3 24,222 3 24,22min()AOBS742C C組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬應(yīng)用創(chuàng)新題組應(yīng)用創(chuàng)新題組1.(201953原創(chuàng)沖刺卷(七)理,12)已知雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F1,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),拋物線y2=-16ax的焦點(diǎn)為F,若ABF為銳角三角形,雙曲線的離心率為e,則e+的最小值為()A.2B.2C.3D.822xa22yb11e3答案答案C在雙曲線-=1中,當(dāng)x=c時(shí),y=,取A,因?yàn)锳BF是銳角三角形,所以AFF1,則tanAFF1=tan=1,即b24a2+ac,因?yàn)閎2=c2-a2,所以c2-a24a2+ac,所以e2-e-50,所以1