含參二次不等式因式分解

1、一、公式法必會(huì)的乘法公式【公式1】【公式2】(立方和公式)【公式3】(立方差公式)【公式4】【公式5】【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多項(xiàng)式：(1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式【例4】把分解因式2分組后能直接運(yùn)用公式【例5】把分解因式【例6】把分解因式十字相乘法分解因式1二次三項(xiàng)式1多項(xiàng)式，稱為字

2、母 的二次三項(xiàng)式，其中 稱為二次項(xiàng)， 為一次項(xiàng)， 為常數(shù)項(xiàng)例如：和都是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式2在多項(xiàng)式中，如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式；如果把 看作常數(shù)，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式3在多項(xiàng)式中，把 看作一個(gè)整體，即 ，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式同樣，多項(xiàng)式，把 看作一個(gè)整體，就是關(guān)于 的二次三項(xiàng)式2十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次

3、三項(xiàng)式大家知道，反過(guò)來(lái)，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行十字相乘法的要領(lǐng)是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗(yàn)。這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)屢次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解它的特征是“拆兩頭，湊中間當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)

4、相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意防止以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母【例1】把以下各式因式分解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)交叉相乘，和相加檢驗(yàn)確定，橫寫(xiě)因式順口溜： 豎分常數(shù)交叉驗(yàn)， 橫寫(xiě)因式不能亂例2、因式分解與系數(shù)的關(guān)系 假設(shè)多項(xiàng)式a2+ka+16能分解成兩個(gè)系數(shù)是整數(shù)的一次因式的積，那么整數(shù)k可取的值有( ) A.5個(gè) B.6個(gè) C.8個(gè) D.4個(gè)分析：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)

5、為1，所以原式可分解為(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整數(shù)k可取值的個(gè)數(shù)取決于式子mn=16的情況.(其中m、n為整數(shù)) 因?yàn)?6=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B2一般二次三項(xiàng)式型的因式分解【例2把以下各式因式分解：(1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，假

6、設(shè)原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法湊，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否那么用加法湊，先湊絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào) 練習(xí)1：分解因式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 練習(xí)2分解因式 (1)； (2)； (3)4、5 6 7 ca(ca)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘與其它知識(shí)綜合例1.分組分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =(x-2y)-32(x-2y)-5 =(x-2y-3)(2x-4y-5) 說(shuō)明：分組后

7、運(yùn)用十字相乘進(jìn)行因式分解，分組的原那么一般是二次項(xiàng)一組，一次項(xiàng)一組，常數(shù)項(xiàng)一組.此題通過(guò)這樣分組就化為關(guān)于(x-2y)的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法完成因式分解.例2.換元法與十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：觀察式子特點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別相同，把(x2+x)看成一個(gè)“字母，把這個(gè)式子展開(kāi)，就可以得到關(guān)于(x2+x)的一個(gè)二次三項(xiàng)式(或設(shè)x2+x=u，將原式化為(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，那么更為直觀)再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =(x2+x)+1(x2+x)+2-6 =(x2+x)2+3(x2+

8、x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 說(shuō)明：此題結(jié)果中的兩個(gè)二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了，假設(shè)能分解一定要繼續(xù)分解， 例3、 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在此題中，要把這個(gè)多項(xiàng)式整理成二次三項(xiàng)式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-27y+1x -28y²-25y+3 4y -3 7y -1 =10x²-27y+1x -4y-37y -1 2 -7y 1 5 4y - 3=2x -7y -15x +4y -3 =2x -7y +15x +4

9、y -3 說(shuō)明：在此題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為4y-37y -1，再用十字相乘法把10x²-27y+1x -4y-37y -1分解為：2x -7y -15x +4y -3 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 2 -7y5 4y=2x -7y5x +4y-x -25y- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=2x -7y+1 5x +4y-3 =2x -7y+15x +4y -3 說(shuō)明:在此題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為2x -7y5x +4y,再把2x -7y5x

10、+4y-x -25y- 3用十字相乘法分解為2x -7y+1 5x +4y-3. (試比一下“分組分解與“十字相乘適用的題目的類型特點(diǎn)，從各項(xiàng)的次冪的次數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)去分析) 例4.因式分解與十字相乘法 (x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)(x2+y2)-1-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y20例5 把以下各式分解因式：(1)；(2)；(3)點(diǎn)悟：(1)把看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式；(2)提取公因式(xy)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy

11、)的二次三項(xiàng)式；(3)以為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式解：(1) (x1)(x1)(x3)(x3)(2) (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)(3) 點(diǎn)撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu)成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例6 分解因式：點(diǎn)悟：把看作一個(gè)變量，利用換元法解之解：設(shè)，那么原式(y3)(y24)90(y18)(y9)點(diǎn)撥：此題中將視為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，表達(dá)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果此外，一步，我們用了“十字相乘法進(jìn)行分解例

12、7 分解因式點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來(lái)解之解：原式，令，那么原式點(diǎn)撥：此題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“復(fù)原，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié)例8：解關(guān)于x方程：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 分析：2a²ab-b²可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 x²- 3ax +2a²ab - b²=0 1 -b 2 +b x²- 3ax +2a+ba-

13、b=0 1 -2a+b 1 -a-b x-2a+b x-a-b=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 有一個(gè)因式是，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式點(diǎn)悟：因?yàn)槭撬拇味囗?xiàng)式，有一個(gè)因式是，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原那么可知道另一個(gè)因式是a、b是待定常數(shù)，故有根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a，b的值解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為，那么， 與是同一個(gè)多項(xiàng)式，所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一個(gè)因式為點(diǎn)撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用希望讀者不可輕視練習(xí)3、1、有一個(gè)因式是，求a值和這個(gè)多項(xiàng)

14、式的其他因式2、假設(shè)xy6，那么代數(shù)式的值為_(kāi)提高版練習(xí)1、把以下各式分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)練習(xí)2、(1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)練習(xí)3xy2，xya4，求a的值四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，此題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)2拆、添項(xiàng)法【例12】分解因式分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了

15、，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決解： 說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件此題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照以下步驟進(jìn)行：(1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止A 組1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把以下各式分解因式：(1) (2) (3)

16、 (4) 3把以下各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2，求代數(shù)式的值3證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除4，求證：第二講 因式分解答案A組1234 5B組1 234三、強(qiáng)化練習(xí)1.把以下各式分解因式(1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y2.：x2+xy-2