概率公理化定義的直觀背景

1、1.2 概率公理化定義的直觀背景 這里之所以改變認(rèn)識事物的常規(guī)進(jìn)程，目的在于強調(diào)感性認(rèn)識與理性認(rèn)識之不同，理性認(rèn)識源于感性認(rèn)識卻高于感性認(rèn)識。1 等可能概型如果隨機(jī)試驗E具有性質(zhì)：(1) 只有有限個基本事件(又稱為樣本點)：；(2) 每個基本事件等可能發(fā)生，則稱隨機(jī)試驗是等可能概型的隨機(jī)試驗。于是合情地定義。鑒于由概率公理化定義可推出這個定義，從而可見，公理化定義是古典定義的理性升華。求解等可能概型問題的若干要點計數(shù)四原理l （1）乘法原理 若某項工程依賴個步驟完成，而每個步驟分別有個完成方案，則完成該項工程的方案總數(shù)是。例2.1 個不同質(zhì)點放入個不同盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方

2、式的總數(shù)。解每個質(zhì)點有個放入選擇，從而依乘法原理，個質(zhì)點放入完畢，共有個不同的放置方式。例2.2 用數(shù)字能組成多少個不同的12位數(shù)字？解注意到每個數(shù)字可重復(fù)使用(最多為12次)，于是12位數(shù)字的每一位均有9個選擇。從而依乘法原理，共可組成個不同的12位數(shù)字。l （2）加法原理如果某項工程由家共同完成，而每家分別有個完成方案，則完成該項工程的方案總數(shù)。例2.3 在4女5男中選取3人，求其中至少有一男一女的不同的選取方法的總數(shù)。解在選中的3人中至少有1男1女，有且僅有兩種情況：1女2男和2女1男，依乘法原理，各自不同的選取方法總數(shù)分別為和，從而依加法原理，不同的選取方法總數(shù)為。l （3）一般加法原

3、理*(容斥原理)設(shè)(=1,2,)表示關(guān)于有限集的元素的個性質(zhì),表示由性質(zhì)確定的元素所成之集,表示集所含元素的個數(shù)，則中至少有一個性質(zhì)的元素之總數(shù)當(dāng)=2時，容斥原理成為。加法原理與容斥原理的區(qū)別是，前者的不同情況間互不相容，而后者不排除有相容的情況。例2.4* 某集體有人若干，其中有6人當(dāng)過工人，4人當(dāng)過農(nóng)民，5人當(dāng)過教師；又有2人既當(dāng)過工人又當(dāng)過農(nóng)民，有1人既當(dāng)過工人又當(dāng)過教師，有3人既當(dāng)過農(nóng)民又當(dāng)過教師；特別地，還有1人，工人、農(nóng)民、教師全當(dāng)過，則該集體中從事過前述三種工作的人共有多少?解令 (=1,2,3)分別表示當(dāng)過工人、農(nóng)民、教師，相應(yīng)地分別表示當(dāng)過工人的集，當(dāng)過農(nóng)民的集，當(dāng)過教師的集

4、，則依容斥原理，從事三種工作的人的總數(shù) （6+4+5）-（2+1+3）+1 10（人）。l (4)1-1對應(yīng)原理將計數(shù)對象與其它元素建立1-1對應(yīng)關(guān)系是計數(shù)方法的本質(zhì)。例2.5 將個不可辨質(zhì)點放入個可辨的盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方式的總數(shù)。解法注意到，每個放置方式僅依賴每個盒子中放入的質(zhì)點數(shù)，而不依賴放入的是哪些質(zhì)點。因此可將兩個盒子之間了解為僅有一個盒子壁，因而個可辨盒子共有個不同的盒子壁。于是不同的放置方式可1-1對應(yīng)地表成如下形狀： |* *| |*|上述圖示表示第一個盒子放入2個質(zhì)點，第二個盒子空，最后一個盒子放入1個質(zhì)點。如果我們將每個質(zhì)點也視為盒子壁,并去掉兩端盒子

5、壁,則每一放置方式又1-1對應(yīng)于在上述個合壁中,任意選取個盒子壁(充當(dāng)質(zhì)點)的一個選取方法.例如某端盒子壁未被選中，則表示該端第一個盒子空。所以不同的放置方式的總數(shù)為。解法2每個放入法1-1對應(yīng)于的展開式中的一個構(gòu)成方式。這是因為可將上式中的個括號解說為個盒子，而展開式中的每一項均是在每個括號中選且僅選1項的連乘積。又每個括號中被選中項的方冪數(shù)可解說為該盒子中放入的質(zhì)點數(shù)，從而展開式中的系數(shù)即不同的放置方式的總數(shù)。于是當(dāng)時，如果約定：,，則 = = =.在上式中,當(dāng)且僅當(dāng),時, =為的系數(shù)，故所求不同的放置方式總數(shù)為。例2.6 設(shè)從1,2,10中隨機(jī)取出一個時，每個數(shù)字都以被取中，取后還原。先

6、后取出7個數(shù)字，求=7個數(shù)字之和等于20的概率。解樣本空間所含樣本點總數(shù)為，又事件所含樣本點1-1地對應(yīng)于的展開式中的一個構(gòu)成方式，從而事件所含樣本點數(shù)為展開式中的系數(shù)，亦即的展開式中的系數(shù),由 = =,從而構(gòu)成的系數(shù)有兩種情況:,或,因此的系數(shù)為 =27132-588 =26544,于是 。求解等可能概型問題的基本技巧l 依托事件間的運算關(guān)系例. 某城市有編號1-的汽車，某交通崗抄錄它所遇到的輛汽車的號碼，假設(shè)每輛車等可能被遇到，求抄錄的號碼中最大為的概率。解法注意到，同一輛汽車可能多次遇，所以樣本點總數(shù)為。設(shè) =抄錄的號碼中最大為,=抄錄到次最大號碼為,則.注意到時,因 ,所以=解法設(shè) =

7、抄錄的號碼中最大為, =抄錄的號碼中最大不超過, =抄錄的號碼中最大不超過,則 ,.易見 ,。注意到,依有限可加性, = =。解法設(shè)=第次抄錄到號碼，前次抄錄到不超過號碼，后次抄錄到不超過號碼，即=首次抄錄到最大號碼為第次抄錄，則 ,從而所含樣本點數(shù)為 ,所以 .注 本問題可換言表述為如下抽球問題:設(shè)個袋子中每個都裝有編號的球,今從每個袋中隨機(jī)各取一球,求是其中最大編號的概率.l 視完備劃分為重新選擇的基本事件組(1) 樣本空間的完備劃分與準(zhǔn)完備劃分設(shè)是試驗E的樣本空間，是的一個有限事件組，如果；，；,則稱有限事件組為的一個完備劃分。 如果將上述條款改為，則稱有限事件組為的一個準(zhǔn)完備劃分。 完

8、備劃分與準(zhǔn)完備劃分的區(qū)別在于，后者或許不能覆蓋。換言之，要想覆蓋，可能尚缺零概率事件。（2）依托完備劃分可將任何事件A作互不相容分解，即A，其中時，。 完備劃分具有基本事件（樣本點）的性質(zhì)： 對于每次試驗有且僅有一個發(fā)生； 任何兩個不同的互不相容。l 具有等可能條件的完備劃分可視為重新選擇的基本條件上述理念常用來簡化概率的計算。例.8 袋子中有不同的m個白球和n個不同的黑球。從中等可能取出k+1(k+1m+n)個球，取后不放回，求最后取出的是白球的概率。解法1 隨機(jī)試驗有順序要求（“最后”一詞示之），因此k+1個球的一個排列對應(yīng)一個樣本點，從而樣本點總數(shù)為.令A(yù)表示事件“有序不放回取出k+1個

9、球，最后取得白球”。由于最后一個是白球有m 個選擇，其中前k個球有個選擇，從而事件A含個樣本點，于是所求概率 事后我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，與k無關(guān)！但是如果我們換一種思維方式，則事先就可預(yù)知這一點。解法2 設(shè)想將m個白球與n個黑球從1至m+n編了號，白球在前，黑球在后。對于每一種取法，我們只觀察最后取得的球，記最后取得第i號白球，；于是成為的一個完備劃分。特別注意到，它們互不相容且是等可能的，即對任何i，=因此，可視為重新選擇的樣本點，于是的新樣本點“總數(shù)為m+n，而事件A含m個新樣本點”，從而注 該解法的本質(zhì)是更換基本事件組。相應(yīng)的問題還可等價改敘為：袋中有m個不同的白球，n個不同的黑球，從中等可能

10、取出k個球，不觀察取出的球，然后再取一球，求最后取得白球的概率”。稍后可以見到，全概率公式，貝葉斯公式對準(zhǔn)完備劃分也是成立的。2 幾何概型 我們介紹幾何概型的目的除去為了加深對概率的公理化定義的理解之外，還在于指出它有助于對概率問題進(jìn)行形象思維。 為了統(tǒng)一起見，把長度、面積、體積以及維空間類似物或有限點集中點的個數(shù)統(tǒng)稱為點集的測度，并記作，并且將相應(yīng)點集稱為可測集。 設(shè)是維空間的可測集,有非零有限測度。如果隨機(jī)試驗為向隨機(jī)投擲點，且點在中均勻分布(它的含義是點必落在上，而落在可測集的可能性大小與的測度成正比，而與的形狀與位置無關(guān)),則稱為幾何概型的隨機(jī)試驗就是后來的均勻分布。 依上述定義，合情定義事件的概率 .現(xiàn)在可以看到，概率的公理化定義蘊涵這個意義。例2.9 (約會問題)二人約定從0到時內(nèi)在某地會面。先到者等候時后離去，求二人能見面的概率。解這里默認(rèn)二人獨立均勻到達(dá)約會地點。令,分別表示二人到達(dá)約會地點的時刻，則:，于是約會問題等價于隨機(jī)向邊長為的正方形上均勻投擲點，且二人能會面