現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)

1、淺談現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，越來越多的應(yīng)用在其他領(lǐng)域，其重要地位也越來 越突出。另外，近年來教育改革對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育要求也提出了新的要求。我作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)的師范生，即將走向中學(xué)數(shù)學(xué)教育崗位，更是有必要去研究了解現(xiàn) 代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系。一、現(xiàn)在數(shù)學(xué)及其特點一般說來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)30年代以后誕生的數(shù)學(xué)，從那以后發(fā)展起 來的非歐幾何、抽象代數(shù)、集合論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等， 都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)，跟以微積分、解析幾何為基本內(nèi)容的古典高等數(shù)學(xué)相比，在研究 對象和研究方法上都與初等數(shù)學(xué)有顯著的不同。在研究對象上，初等數(shù)學(xué)以數(shù)和三維空間的圖形為主要研究

2、對象，現(xiàn)代數(shù)學(xué)則以任意集合及其間的種種關(guān)系為研究對象在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中， 數(shù)推廣成一般集合的 元素；數(shù)的計算推廣為集合中元素的一般運算；函數(shù)推廣為集合的映射；曲面、 曲線推廣為一般空間的任意流行，等等。如果說，恩格斯在一百多年前所說，純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和 數(shù)量關(guān)系，主要是對集合論產(chǎn)生以前的數(shù)學(xué)研究對象的科學(xué)概括的話，那么，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言，今天就要對“空間形式”和“數(shù)量關(guān)系”做本質(zhì)上的推廣。“空間形式”應(yīng)理解為抽象空間的任一子集；“數(shù)量關(guān)系”應(yīng)理解為集合與集合之間 的一般關(guān)系。在思想觀念和方法上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合論為基礎(chǔ)，普遍采用公理化方法和數(shù) 學(xué)結(jié)構(gòu)觀點進(jìn)行統(tǒng)一處理。 集合論觀點、公理化

3、觀點、結(jié)構(gòu)觀點和同構(gòu)觀點， 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點。此外，電子計算機進(jìn)入數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，“機器證明論”的興起，正在改變以前人 們只承認(rèn)邏輯證明的傳統(tǒng)觀點。在數(shù)學(xué)語言上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)全面使用集合論符號和數(shù)理邏輯符號， 使其語言更 加統(tǒng)一和形式化，因此，也更加準(zhǔn)確和簡練。在應(yīng)用上，不僅現(xiàn)代數(shù)學(xué)在力學(xué)、物理、天文、化學(xué)、機械學(xué)等傳統(tǒng)領(lǐng)域中 的應(yīng)用不斷拓廣和加深，而且對于生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟學(xué)，甚至語言學(xué)、歷史學(xué) 和社會學(xué)等原來不用或少用數(shù)學(xué)的學(xué)科領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來越廣泛，越來越 顯得重要?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，它已經(jīng)劃分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)技術(shù)三大部 分，而數(shù)學(xué)技術(shù)是“未來高科技的核心”。二、中學(xué)數(shù)學(xué)

4、改革的新要求中學(xué)數(shù)學(xué)，是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材和課外活動（數(shù)學(xué)競賽等）中所包含的數(shù)學(xué)。 因此，隨著中學(xué)教材的改革和更新，隨著數(shù)學(xué)競賽活動的發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容 也在不斷變化和發(fā)展。從上世紀(jì)末起到本世紀(jì)初，正是我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、教材全面更新的時 期。九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)普遍使用； 與此相銜接的新編高中數(shù)學(xué)教材 （試驗本）1997年已經(jīng)在部分省市試用，并將于1999年在全國使用與原有中學(xué) 數(shù)學(xué)教材相比，新教材在編寫思想和內(nèi)容選擇等方面，有很大的進(jìn)步。首先，新編高中教材更新了內(nèi)容，刪減了傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)中次要的、用處不大 的，或者學(xué)生學(xué)習(xí)有困難的內(nèi)容，如幕函數(shù)、指數(shù)方程、對數(shù)方程、一些三角恒 等式

5、、反三角函數(shù)、三角方程，以及立體幾何中的梭臺、圓臺等；新增了向量、 簡易邏輯、概率統(tǒng)計和微積分初步。其次，改革了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的處理方式和數(shù)學(xué)語言，廣泛地使用集合符號、 邏輯符號和標(biāo)準(zhǔn)計量單位和符號，使用向量代數(shù)方法證明余弦定理，處理空間線、 面關(guān)系。第三，高中數(shù)學(xué)不再分科編寫，而是把多科數(shù)學(xué)內(nèi)容總和為一門數(shù)學(xué)教材， 注意溝通各科知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用。與此同時，全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，主要是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、中國數(shù)學(xué)奧林 匹克和國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO的水平不斷提高，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法的參 透越來越普遍和深入。這就要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師拓寬知識面，提高綜合素質(zhì)。因此, 高師數(shù)學(xué)專業(yè)

6、不僅要有足夠多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程， 而且要有相應(yīng)的課程指導(dǎo)學(xué)生用 現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、觀點和方法，將高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合起來， 同樣要培養(yǎng)學(xué)生 的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力。三、現(xiàn)代數(shù)學(xué)聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的途徑和方法盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高難度抽象性，使它與中學(xué)數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)發(fā)展 的歷史來看，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是多級抽象的結(jié)果。它的原型和特例大都來自變量數(shù)學(xué)， 變量數(shù)學(xué)的原型和特例又來自常量數(shù)學(xué)， 而數(shù)學(xué)無疑最終還是扎根于現(xiàn)實世界的 空間形式和數(shù)量關(guān)系之中。中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)， 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多（不是全部）概念和理論的原型和特例所在。因此，從現(xiàn)代數(shù) 學(xué)觀點來看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先

7、就要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與中學(xué)數(shù)學(xué)相應(yīng) 的原型和特例聯(lián)系起來。這樣，就不僅能夠加深對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我 們準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵，從而高屋建瓴地處理中學(xué)教材，用現(xiàn)代數(shù)學(xué) 的思想方法直到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。現(xiàn)代數(shù)學(xué)事相對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)而言的，它有區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的幾個特征：（1）研究對象大大擴充，研究對象的任意抽象關(guān)系，研究集合，研究結(jié)構(gòu)；（2）數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步發(fā)展，抽象程度越來越高；（3）數(shù)學(xué)方法發(fā)生根本變革，公理化方法 形成，并有主要位置；（4）應(yīng)用領(lǐng)域大大擴充。目前再我們的中學(xué)教材中增添的 現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容主要就是以下幾種：集合論、數(shù)理統(tǒng)計、微積分、概率統(tǒng)計、空

8、間 向量、算法語言和簡單程序設(shè)計。在課堂教學(xué)中我們可以在解題過程中滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的思想， 空間向量在解 決立體幾何問題猶如一把萬能鑰匙， 它把立體幾何問題加以量化，從而降低了思 維難度，增加了可操作性，使空間向量在角和距離的處理上有著獨特的優(yōu)勢， 它 最大限度的避開了思維的高強度轉(zhuǎn)換，避開了各種輔助線添加的難處，代之以空 間向量的計算，有利于我們較好的解決問題，不再那么煩瑣，被眾多師生所青睞例如：在以棱長為1的正方體ABCE> A1B1C1D中，E,F,G分別是B Bi,CD,C Ci的中點。（1）求證：AE丄DF。（2）求平面 AiBG與平面ABCD所成的角（銳角）。（3）求點A到平面

9、 AiBG的距離。（4）求A Ai與平面 AiBG所成的角。（5）求異面直線AC和B Ci的距離。分析：（i）建立空間直角坐標(biāo)系。要證明AE丄iiDF,只要證明AE.D1F = 0。 （2）要求平面 ABG與平面ABCD所成的角,只要 求這兩平面的法向量所成的角。（3） A Ai在平面AiBG的法向量n射影的絕對值 就是點A到平面AiBG的距離。（4）A Ai與平面AiBG的法向量n所成的角余角 就是直線A Ai與平面ABG所成的角。（5）AB在 AC和B C的公垂向量上射影 的絕對值就是異面直線AC和B Ci的距離。傳統(tǒng)解法中求二面角、線面角、點面距離和異面直線距離都和平面的垂線有 關(guān)。與向

10、量方法中的平面法向量本質(zhì)上是一致的，所不同的是過定點作平面的 垂線及異面直線的公垂線都只有唯 條， 但平面的法向量及異面直線的公垂向 量可以自由移動的，這恰恰是向量的本質(zhì)之一，這就給我們解題帶來了自由選擇 的余地，這正是向量解法的絕妙之處。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為： 與其說是教現(xiàn)代數(shù)學(xué)，不如說是現(xiàn) 代的數(shù)學(xué)教學(xué)。即把中學(xué)數(shù)學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想基礎(chǔ)上， 用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點、 思想、方法、風(fēng)格和語言進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維方 向發(fā)展。以上的闡述，主要從數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點，用認(rèn)識論的方法，站在數(shù)學(xué)教育 的角度，簡略地探討了數(shù)學(xué)的文化價值。充分認(rèn)識數(shù)學(xué)的文化價值，從文化的視 角去審視數(shù)學(xué)，在實施素質(zhì)教育的今天，不僅具有重要的理論意義，更具有重要 的現(xiàn)實指導(dǎo)意義。總之，要力求將現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想全面滲透入中學(xué)數(shù)學(xué)，要在高等數(shù)學(xué)概