無(wú)處不在的斐波那契數(shù)列

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上無(wú)處不在的斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來(lái)說(shuō)明，起始的正方形的邊長(zhǎng)為1，在它左邊的那個(gè)正方形的邊長(zhǎng)也是1，在這兩個(gè)正方形的上方再放一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2，以后順次加上邊長(zhǎng)為3、5、8、13、2l等等的正方形。這些數(shù)字每一個(gè)都等于前面兩個(gè)數(shù)之和，它們正好構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。1.斐波那契數(shù)列的提出斐波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他是一個(gè)商人的兒子，兒童時(shí)代跟隨父親到了阿爾及利亞，在那里學(xué)到了許多阿拉伯的算術(shù)和代數(shù)知識(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。      &

2、#160;長(zhǎng)大以后,因?yàn)樯虡I(yè)貿(mào)易關(guān)系,他走遍了許多國(guó)家,到過(guò)埃及,敘利亞,希臘,西西里和法蘭西.每到一處他都留心搜集數(shù)學(xué)知識(shí)?；貒?guó)后,他把搜集到的算術(shù)和代數(shù)材料,進(jìn)行研究,整理,編寫成一本書,取名為算盤之書,于1202年正式出版。這本書是歐洲人從亞洲學(xué)來(lái)的算術(shù)和代數(shù)知識(shí)的整理和總結(jié),它推動(dòng)了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展.其中有一道“兔子數(shù)目”的問(wèn)題是這樣的:       一個(gè)人到集市上買了一對(duì)小兔子,一個(gè)月后,這對(duì)小兔子長(zhǎng)成一對(duì)大兔子.然后這對(duì)大兔子每過(guò)一個(gè)月就可以生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子也都是經(jīng)過(guò)一個(gè)月可以長(zhǎng)成大兔子,長(zhǎng)成大兔后也是每

3、經(jīng)過(guò)一個(gè)月就可以生一對(duì)小兔子.那么,從此人在市場(chǎng)上買回那對(duì)小兔子算起,每個(gè)月后,他擁有多少對(duì)小兔子和多少對(duì)大兔子?      這是一個(gè)有趣的問(wèn)題.當(dāng)你將小兔子和大兔子的對(duì)數(shù)算出以后,你將發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)很有規(guī)律的數(shù)列,而且這個(gè)數(shù)列與一些自然現(xiàn)象有關(guān).人們?yōu)榱思o(jì)念這位兔子問(wèn)題的創(chuàng)始人,就把這個(gè)數(shù)列稱為"斐波那契數(shù)列".      你能把兔子的對(duì)數(shù)計(jì)算出來(lái)嗎? 解:可以這么推算:      第一

4、個(gè)月后,小兔子剛長(zhǎng)成大兔子,還不能生小兔子,所以只有一對(duì)大兔子。    第二個(gè)月后,大兔子生了一對(duì)小兔子,他有了一對(duì)小兔子和一對(duì)大兔子。    第三個(gè)月后,原先的大兔子又生了一對(duì)小兔子,上月出生的小兔子也長(zhǎng)成了大兔子,他共有一對(duì)小兔子和兩對(duì)大兔子。      第四個(gè)月后,兩對(duì)大兔子各生一對(duì)小兔子,上月出生的小兔子又長(zhǎng)成了大兔子,他共有兩對(duì)小兔子和三對(duì)大兔子。      第五個(gè)月后,三對(duì)大兔子各生一

5、對(duì)小兔子,上月出生的兩對(duì)小兔子也長(zhǎng)成了大兔子,他共有三對(duì)小兔子和五對(duì)大兔子。          以此類推,可知:每月的小兔子對(duì)數(shù)等于上月大兔子的對(duì)數(shù),每月大兔子的對(duì)數(shù)等于上月大兔子與小兔子的對(duì)數(shù)之和.      我們把大小兔子的對(duì)數(shù)寫成上下兩行,從買回小兔子算起,每個(gè)月后他所擁有的兔子對(duì)數(shù)便是：1,1,2,3,5,8,13   仔細(xì)觀察兩行數(shù)發(fā)現(xiàn)它們是很有規(guī)律的：每行數(shù)，相鄰的三項(xiàng)中,前兩項(xiàng)的和便是第三項(xiàng)。

6、這個(gè)數(shù)列不僅在數(shù)學(xué),生物學(xué)中,還在物理,化學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn),而且它還具有很奇特的數(shù)學(xué)性質(zhì),真是令人叫絕!2植物中的斐波那契數(shù)    斐波那契數(shù)列在自然界中普遍存在著這個(gè)性質(zhì)，似乎完全沒(méi)有秩序的植物的紙條彼此相隔的距離或葉子的生長(zhǎng)凡是，都被斐波那契數(shù)列支持著。1）斐波那契數(shù)列與花朵的花瓣數(shù)花瓣數(shù)是極有特征的。多數(shù)情況下，花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，55，這些數(shù)恰好是斐波那契數(shù)列的某些項(xiàng)，例如，百合花有3瓣花瓣，至良屬的植物有5瓣花瓣；許多翠雀屬植物有8瓣花瓣；萬(wàn)壽菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位學(xué)者細(xì)心地?cái)?shù)過(guò)一朵花的花瓣，發(fā)現(xiàn)這朵花的花瓣剛

7、好有157瓣。且他又發(fā)現(xiàn)其中有13瓣與其他144瓣有顯著的不同，是特別長(zhǎng)并卷曲向內(nèi)，這表明這朵花的花瓣數(shù)目是由F1=13和F2=144合成的。2）斐波那契數(shù)列與仙人掌的結(jié)構(gòu)在仙人掌的結(jié)構(gòu)中有這一數(shù)列的特征。研究人員分析了仙人掌的形狀、葉片厚度和一系列控制仙人掌情況的各種因素，并將所得數(shù)據(jù)輸入電腦，結(jié)果發(fā)現(xiàn)仙人掌的Fibonacci數(shù)列結(jié)構(gòu)特征能讓仙人掌最大限度地減少能量消耗，適應(yīng)其在干旱沙漠的生長(zhǎng)環(huán)境。3）斐波那契數(shù)列與向日葵種子排列方式向日葵種子的排列方式，就是一種典型的數(shù)學(xué)模式。仔細(xì)觀察向日葵花盤，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩組螺旋線，一組順時(shí)針?lè)较虮P旋，另一組則逆時(shí)針?lè)较虮P旋，并且彼此相嵌。雖然不同的向

8、日葵品種中，種子順、逆時(shí)針?lè)较蚝吐菪€的數(shù)量有所不同，但往往不會(huì)超出34和55、55和89或者89和144這3組數(shù)字，這每組數(shù)字就是Fibonacci數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。前一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針盤旋的線數(shù)，后一個(gè)數(shù)字是逆時(shí)針盤旋的線數(shù)。4）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹(shù)木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒(méi)有折損），直到到達(dá)與那息葉子正對(duì)的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對(duì)的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序

9、比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。此外，還有雛菊花花蕊的蝸形小花，有21條向右轉(zhuǎn)，有34條向左轉(zhuǎn)，而21和34，恰是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)；松果樹(shù)和菠蘿表面的凸起，它們的排列也分別成5:8和8:13這樣的比例，也是斐波契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的比； 菠蘿果實(shí)上的菱形鱗片，一行行排列起來(lái)， 8行向左傾斜，13行向右傾斜，而8和13，也是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)；還有，挪威云杉的球果在一個(gè)方向上有3行鱗片，在另一個(gè)方向上有5行鱗片；常見(jiàn)的落葉松是一種針葉樹(shù)，其松果上的鱗片在兩個(gè)方向上各排成5行和8行；美國(guó)松的松果鱗片則在兩個(gè)方向上各排成3行和5行。    

10、; 3斐波那契數(shù)列與蜜蜂的家譜蜜蜂的“家譜”：蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣。雄蜂只有母親，沒(méi)有父親，因?yàn)榉浜笏a(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化為雄蜂。人們?cè)谧匪菪鄯涞募易V時(shí)，發(fā)現(xiàn)1只雄蜂的第n代子孫的數(shù)目剛好就是Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)fn。4. 斐波那契數(shù)列與臺(tái)階問(wèn)題只有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，只有一種走法，F(xiàn)1=1兩個(gè)臺(tái)階，走法有2種，一階一階或者一步上兩個(gè)臺(tái)階，所以F2=2。三個(gè)臺(tái)階時(shí)，走法有一步一階，2階再1階，1階再2階，因此，F(xiàn)3=3。四個(gè)臺(tái)階時(shí)，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5種方法，故F4=

11、5以此類推，有數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.斐波那契與自然、生活、科學(xué)上的聯(lián)系其實(shí)還有很多，但是僅僅從這幾個(gè)例子上我們就可以看出斐波那契數(shù)列的應(yīng)用的廣泛性，由此我們可以看到數(shù)學(xué)的美其實(shí)是無(wú)處不在的它是一門科學(xué)，同時(shí)也是一種語(yǔ)言，一種藝術(shù)，它如同盛開(kāi)的茉莉，潔白淡雅，總而言之，數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，共同發(fā)展。 圖1圖25.數(shù)學(xué)中的斐波那契數(shù)列一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說(shuō)：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺，寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯?！边@位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)樯陶咧g面積相差達(dá)

12、一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖1和圖2的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛(ài)的讀者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪兒去呢？還有，三角形的三邊關(guān)系定理和Fibonacci數(shù)列也是有著密切聯(lián)系的。一個(gè)問(wèn)題：現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n小段(n>2),每段的長(zhǎng)度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為_(kāi).分析：由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過(guò)最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個(gè)1，第三條線段就是2(為了使得n最大，因此要使剩下來(lái)的鐵絲盡可能長(zhǎng)，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和)，依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時(shí)n達(dá)到最大為10。我們看到，“每段的長(zhǎng)度不小于1”這個(gè)