高等數(shù)學(xué)A(二)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)(詳細(xì))

1、高等數(shù)學(xué)A(二)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)一、 空間解析1.簡(jiǎn)單的數(shù)量積、向量積；求夾角和方向余弦，為的夾角數(shù)量積：， （1）長(zhǎng)度；（2）夾角為，則向量積： 確定位置關(guān)系（1）；（2）（3）是一個(gè)與都垂直的向量. 2. 會(huì)求坐標(biāo)平面中曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的方程；給出旋曲面方程能確定是如何旋轉(zhuǎn)而來(lái)的。會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)平面內(nèi)的投影曲線。（1）面內(nèi)的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為.其它坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)類似.（2）中，消去變量后得曲線關(guān)于面的投影柱面，投影柱面與面的交線即為在面上的投影曲線（投影）其它類同.3.會(huì)求平面方程與直線方程.（1）平面方程（注意：平面法向量與平面垂直）點(diǎn)法式方程：過(guò)點(diǎn)與定

2、方向（法線方向）垂直的平面方程為：，平面一般式方程：，其中為平面的法線向量（2）直線方程（注意：直線的方向向量與直線平行）對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：過(guò)點(diǎn)與定方向（直線方向）平行的直線方程：直線參數(shù)方程： （多用于表示線段或求直線與曲面交點(diǎn)）分清楚平面與直線，一個(gè)關(guān)于 的方程表示平面；直線是兩個(gè)平面交出來(lái)的。4. 能判斷簡(jiǎn)單的位置關(guān)系（如直線垂直、平行）（1）平面的法線向量分別為，；且沒(méi)有公共點(diǎn).（2）直線的方向向量分別為，；則且沒(méi)有公共點(diǎn).（3）直線的方向向量，平面的法線向量 ；且沒(méi)有公共點(diǎn).5.點(diǎn)到平面、直線的距離： 平面外一點(diǎn)到平面的距離二、 多元函數(shù)微分1.會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)極限：利用有理化

3、或者等價(jià)無(wú)窮小代換消去分母上極限為零的因子再求極限。（1）利用公式 有理化（2）利用等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)時(shí)，。2.會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)、全微分，明白偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)間的關(guān)系（1）求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)關(guān)鍵是分清對(duì)哪個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)，將其余變量均看作常量，與一元函數(shù)求導(dǎo)相同即可。一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)仍然成立. （2）可微，則.（3）在處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 在可微；在可微 在處有偏導(dǎo)數(shù)存在；在可微 在處連續(xù).3.會(huì)求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括抽象函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)）（1），都可導(dǎo)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：（2），偏導(dǎo)數(shù)均存在，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：=+，=+ （3）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在，則：；注意：與是不同

4、的，是對(duì)函數(shù)中所涉及到的所有變量求導(dǎo)，即看成的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；是把中的及都看作與無(wú)關(guān)的變量進(jìn)行對(duì)求導(dǎo)與也有類似的區(qū)別.注意：（1）如果是具體函數(shù)，也可以將函數(shù)代入減少?gòu)?fù)合再做，如，可代入后變成再求導(dǎo).（2）如果是抽象函數(shù)，如是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的抽象函數(shù)，其中，具體給出，即求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，則， 同理可求。4會(huì)求一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)則： （這里）（2）由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)，則=,=，（這里）. 這里求時(shí)，將視為相互獨(dú)立，沒(méi)有關(guān)系。也可以方程兩端對(duì)同一變量求導(dǎo)，碰到隱含數(shù)視為復(fù)合關(guān)系解出要求的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。例如 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)，求 方程兩端對(duì) 求導(dǎo)有

5、：，解得=.5 會(huì)求由參數(shù)方程確定的空間曲線的切線和法平面；會(huì)求曲面的切平面與法線。（1）,其中都可導(dǎo)， 且.則曲線上對(duì)應(yīng)于的一點(diǎn)處的切向量 為.切線方程為 法平面的方程為：.（2）曲面在點(diǎn)處的一個(gè)法向量為.切平面的方程為： 通過(guò)點(diǎn)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。法線方程是 6.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的方向?qū)?shù)、梯度，并知道梯度方向是方向?qū)?shù)增加最快的方向，梯度反向方向是方向?qū)?shù)減少最快的方向，能確定函數(shù)在一點(diǎn)變換最快的方向和該方向的方向?qū)?shù).（1）如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且有 ，其中是射線的方向余弦。（2）向量稱為函數(shù)=在點(diǎn)的梯度，記作. （3）函數(shù)在一

6、點(diǎn)的方向?qū)?shù)沿梯度方向達(dá)到最大，即梯度方向是函數(shù)增加最快的方向.此時(shí)方向?qū)?shù)為梯度的模長(zhǎng) 。（4）函數(shù)在一點(diǎn)的方向?qū)?shù)沿梯度反方向達(dá)到最小，即梯度反方向是函數(shù)減少最快的方向. 此時(shí)方向?qū)?shù)為梯度的模長(zhǎng)的相反數(shù) 。7會(huì)求多元函數(shù)的極值（無(wú)條件極值為主）函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（1） 由 求得駐點(diǎn)，（2） 令，則（i）當(dāng)時(shí)有極值，（為記憶方便，也可記）且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；（ii）當(dāng)時(shí)沒(méi)有極值；(iii)當(dāng)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值.注意：要對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)進(jìn)行討論。三 、重積分1了解二重積分的幾何意義及性質(zhì)，能夠比較二重積分的大小若在上, ，則有不等式2會(huì)求二重積分（

7、利用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，）（1）直角坐標(biāo)系（i）當(dāng)時(shí)，其中：為區(qū)域上的最小取值，為區(qū)域上的最大取值，是區(qū)域的下邊界曲線，是區(qū)域的上邊界曲線。（ii）當(dāng)時(shí)其中：為區(qū)域上的最小取值，為區(qū)域上的最大取值，是區(qū)域的左邊界曲線，是區(qū)域的右邊界曲線。（2）極坐標(biāo)系當(dāng)時(shí)，其中：為區(qū)域上的最小取值，為區(qū)域上的最大取值，是區(qū)域的內(nèi)邊界曲線，是區(qū)域的外邊界曲線。特別地：一般地，如果原點(diǎn)包含在積分區(qū)域內(nèi)，內(nèi)邊界就是 3會(huì)交換積分次序（二重積分直角坐標(biāo)）.l 根據(jù)給出的積分限畫出積分區(qū)域,l 用交換次序的不等式重新表示（同上方法），l 寫出交換積分次序的積分。4會(huì)求三重積分（在是一個(gè)單連通區(qū)域下進(jìn)行）（利用

8、直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)計(jì)算三重積分，）（1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分()先一后二“穿線法”.可表示為：，其中是區(qū)域的底面（下邊界曲面），是區(qū)域的頂面（上邊界曲面），是在面上的投影區(qū)域.則或，則或()先二后一“切片法”.可表示為：而任意的平面（常數(shù)）（）截的截口上的則.適合用切片法積分：截面較規(guī)則的情況，如截面為圓、橢圓等，或者截面的面積易求，且被積函數(shù)只與有關(guān).2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：柱面坐標(biāo)：極坐標(biāo)（在面上的投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示）加軸表示法.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：，.對(duì)應(yīng)上面直角坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)也有如下兩種情況：()先一后二“穿線法”.，設(shè)，是的極坐標(biāo)表示，則 ()先二后一“切片

9、法”：當(dāng)時(shí)，與上面相同，其極坐標(biāo)表示為：時(shí)，(3)利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：，5會(huì)簡(jiǎn)單的幾何應(yīng)用（如曲頂柱體的體積、平面區(qū)域的面積）（1）利用二重積分的幾何意義計(jì)算體積：以()為頂，為底的母線平行于軸的曲頂柱體的體積.（2）利用三重積分計(jì)算體積：空間區(qū)域的體積為.（3）利用二重積分計(jì)算面積：平面區(qū)域的面積為.（4）利用二重積分計(jì)算曲面面積：曲面 在 平面上投影區(qū)域則.四、曲線積分1.會(huì)求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（1）方程 （），=。（2）空間曲線：， =注意：1.對(duì)弧長(zhǎng)的積分與的方向無(wú)關(guān). 2.曲線的參數(shù)方程要表達(dá)簡(jiǎn)單。2.會(huì)求對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的參數(shù)方程，當(dāng)單調(diào)地從變到時(shí)，點(diǎn)從的起點(diǎn)沿變到終點(diǎn)，且，則

10、=（2）空間曲線：，當(dāng)單調(diào)地從變到時(shí)，點(diǎn)從的起點(diǎn)沿變到終點(diǎn)，且，注意：對(duì)應(yīng)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，對(duì)應(yīng)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，不一定小于.3.能靈活應(yīng)用格林公式（添加邊界、去奇點(diǎn)、積分與路徑無(wú)關(guān)、全微分方程）格林公式：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的閉曲線圍成，函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有。為的取正向的邊界曲線。（1）利用格林公式求曲線積分：(I)先寫出；求出及（II）觀察曲線，若滿足格林公式條件，即是封閉曲線，且是圍成的正向的邊界曲線，內(nèi)連續(xù)，則直接使用格林公式.若不滿足格林公式條件：（i）若曲線不封閉，則用“加邊法”構(gòu)成封閉曲線，一般添加平行于坐標(biāo)軸的直（折）線，利用格林公式計(jì)算后再減掉添加邊界上的積分；（ii）如

11、果是反向邊界，則；（iii）若在內(nèi)存在，無(wú)定義點(diǎn)，或存在偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)（或不存在）的點(diǎn) ，但其余點(diǎn)，則需要“挖洞”（即在內(nèi)做一個(gè)包圍的小閉曲線，方向取與一致的方向 ）去掉該點(diǎn)然后在與圍成的區(qū)域上用格林公式.（2）積分與路徑無(wú)關(guān)（即滿足），計(jì)算曲線積分： ：選取平行于坐標(biāo)軸的從點(diǎn)到點(diǎn)的折線段進(jìn)行積分.積分時(shí)畫出積分路徑有助于積分（積分結(jié)果與路徑無(wú)關(guān)，但積分過(guò)程與路徑有關(guān)）（3）是某個(gè)函數(shù)的全微分（即滿足）時(shí)，求一個(gè)函數(shù) 使：取即可（4）求全微分方程（即滿足）的通解： 取，則的通解為五、無(wú)窮級(jí)數(shù)1.會(huì)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、條件收斂與絕對(duì)收斂）（1）比較審斂法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)若收斂，

12、且對(duì)大于某個(gè)正整數(shù)的一切，都有，則級(jí)數(shù)也收斂；若發(fā)散，且對(duì)大于某個(gè)正整數(shù)的一切，都有，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。常用比較法的極限形式： 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，注：比較審斂法是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的比較，通常與下面兩種類型的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較：（i）幾何級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.（ii）-級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.（2）比值審斂法（根值審斂法）： 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（或），則：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；或時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.比值審斂法是幾何級(jí)數(shù)的斂散性的推廣.通常在通項(xiàng)中含有時(shí)使用比值審斂法.（3）交錯(cuò)級(jí)數(shù)：若（），（或）稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。萊布尼茲判別法：若，則級(jí)數(shù)，收斂.絕對(duì)收

13、斂與條件收斂：若收斂，則稱是絕對(duì)收斂的；如果收斂而發(fā)散，則稱是條件收斂的。絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必收斂，即若收斂，則也收斂.注意：不絕對(duì)收斂可能收斂，即條件收斂。也就是發(fā)散得不到也發(fā)散。但是，如果用比值（或根值）審斂法判斷發(fā)散，則或者，可得，所以也發(fā)散.2.會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域阿貝爾定理：若有使收斂，則當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若有使發(fā)散，則當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散。由比值審斂法：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法：如果，（或），則（i）當(dāng)時(shí)，；（ii）當(dāng)時(shí)，；（iii）當(dāng)時(shí)，.注意：（i）冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)一定是收斂區(qū)間的端點(diǎn)。（ii）當(dāng)冪級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，如或者等，不可以直接套公式求收斂半徑.應(yīng)該回到比值審斂法去求收斂范圍。對(duì)或者，如果，則或者，當(dāng)，即級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)，即級(jí)數(shù)發(fā)散。所以時(shí)，或者收半徑為.（iii）討論收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性時(shí)，不能使用比值審斂法。因?yàn)榇藭r(shí).此時(shí)，將端點(diǎn)代入級(jí)數(shù)，利用比較審斂法或者交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法進(jìn)行判定。收斂區(qū)間 添加上收斂的端點(diǎn)就是收斂域。3會(huì)利用逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1）和函數(shù)的分析性質(zhì)（i）和函數(shù)的連續(xù)性：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù).（ii）可逐項(xiàng)積分性：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，且可以逐項(xiàng)積分，逐項(xiàng)積分得到的級(jí)數(shù)的收斂半徑不變.（iii）可逐項(xiàng)求導(dǎo)性：冪級(jí)數(shù)的和函