中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)匯編：專(zhuān)題28函數(shù)與角

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)匯編：專(zhuān)題 28函數(shù)與角破解策略1、特殊角問(wèn)題(1)運(yùn)用三角函數(shù)值；(2)遇45構(gòu)造等腰直角三角形；(3)遇30 , 60構(gòu)造等邊三角形；(4)遇90構(gòu)造直角三角形.2、角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題(1)證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角 的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角 函數(shù)值相等，等等；(2)證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；(3)證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角.例題講解例1、如圖，拋物線與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y 軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3,連結(jié)CD CB BD P是拋 物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

2、，且/ DB已45 ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).一I 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DUBC于點(diǎn)E.設(shè)拋物線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），過(guò)點(diǎn)P作PF，AB于點(diǎn)F.-J令，解得. 1所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1,0）, B的坐標(biāo)為（4, 0）.當(dāng)x = 0時(shí)，y = 4,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, 4）.當(dāng)x = 3時(shí)，y = 4,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3, 4）.所以 OB= OC CD/AB所以/ ABC= /BCD= /EDC= 45 .在RtACED+,有C曰DeCD目因?yàn)椋訠E.所以tan/DBC=. 日口若 /PBD= 45 = /ABC 貝 U/PBF= / DBC所以 tan / PBF= = tan / DBC,即，解

3、得 ml = , m2= 4 （舍）.因 K1 目所以滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為.叵例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y = x2 4x+3與x軸交 于點(diǎn)A, B （點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上 的點(diǎn)P滿足/APB= /ACB求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：由已知條件可得A (1, 0), B (3, 0), C (0, 3).可設(shè)AABC#接圓的圓心為D (2, mj),則 DC= DA 即 1 + m2= 4+ (rrn3) 2,解得mi= 2,所以外接圓的圓心為D (2, 2),則DA=.回如圖，該圓交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn) P1,作P1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2,則P1, P2即為所

4、求.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.月 日例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y = x2 2x3與x軸交 于點(diǎn)A, B,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線白頂點(diǎn)為D,直線丫 =交丫軸于點(diǎn) E,求/ EBC- /CBD勺度數(shù).解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DHLy軸于點(diǎn)H.由已知條件可得 A(1, 0), B (3, 0), C (0, 3), D (1, 4), E (0, 1).因?yàn)?，? COB= /CHD= 90kdl所以O(shè)BG AHCD /OCBH /HCD= 90 ,所以/ BC氏 90 , = 3在 RtABOE, tan/EBO=, i所以/ EBQ= / CBDnB R Vf K X1. MT ”. mr

5、 。 Z I 。- 3* H* *，* I K-*- 3 / 7所以 / EBO /CBD= /ABO 45 .例4在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y = ax2+2ax3a (a0)與x 軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).若在拋物線上存在一點(diǎn) N,使 得/ANB= 90 ,結(jié)合圖像，求a的取值范圍.解拋物線 y = ax2+2ax3a=a (x+3) (x1) = a (x+1) 2 4a, 所以點(diǎn) A ( 3, 0),點(diǎn) B (1, 0),從而AB= 4,拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=- 1.以AB為直徑作圓.如圖，當(dāng)點(diǎn)N為圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn) N的坐標(biāo)為(一1, 2). 將其代入拋物線表達(dá)

6、式，得a=. j如圖，當(dāng)點(diǎn)N在拋物線上(不與頂點(diǎn)重合)時(shí)，-4a.三 綜上可得，滿足題意的a的取值范圍為a.弓進(jìn)階訓(xùn)練1 .已知直線l : y= 2x+4和直線外一點(diǎn)P (3, 2),求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與 l夾角是45的直線的表達(dá)式.【答案】1.直線的表達(dá)式為y = x + 3或y = 3x7.可 B【提示】 設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,將zAO端點(diǎn)B順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)90得到AA O B,則直線AA與直線l的夾角為45 ,易 求直線AA: y = x+,所以只要求過(guò)點(diǎn) P且平行于AA和垂直于AAnB R Vf K X1. MT ”. mr 。 Z I 。- 3* H* *，* I K-*- 5

7、/ 7的直線表達(dá)式即可.2 .拋物線 y=ax2+bx3a 經(jīng)過(guò) A （ 1, 0）, C （0, 3）兩點(diǎn)，與 x 軸交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)D （m mn 1）在第四象限的拋物線上，連結(jié) BD 問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)P,使/ PCB= /CBD若存在，求出點(diǎn)P的坐 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】2.存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5, 12）或（，）.出因【提示】易求拋物線的表達(dá)式為 y = x2-2x-3,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入表 達(dá)式得mp2,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2, 3）.如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP1/BD交拋物線于點(diǎn)P1,則/P1CB= /CBD由直 線BD的表達(dá)式可得直線 P1C y = 3x 3,與拋物線方程聯(lián)

8、立方程組， 得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（5, 12）;如圖，在x軸上點(diǎn)B的右側(cè)取一點(diǎn)E,使彳ECB= /P1CB CE與拋 物線交于點(diǎn)P2.直線CP1與x軸交點(diǎn)為F （1, 0）,作FML CB于點(diǎn)M 作ENLCB于點(diǎn)N.易證ACM際ACNE從而.設(shè)BE= a,則ENka, CN = a+,從而求得a=,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（9, 0）,得到直線CE y = x 3,與拋物線方程聯(lián)立方程組，得點(diǎn) P2的坐標(biāo)為（,）.x回回叵日田3 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y = x2 + 2x 3與x軸 交于點(diǎn)A, B （點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為 Vf K X1. MT ”. mr 。 Z I 。- 3* H* *，* I K-*- 5 / 7M,過(guò)點(diǎn)A作ANLx軸，D為直線AC下方拋物線上的點(diǎn).若/ COP/ MAN求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】3.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）.回叵【提示】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（mi, m42mn-3）,所以tan/COD= tan / MAN 即可得到m=.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，二次函數(shù)丫=的圖像與x軸交于A,