一元一次方程知識點總結(jié)

1、一元一次方程方程的有關(guān)概念夯實基礎(chǔ)一.等式用等號（“=”）來表示相等關(guān)系的式子叫做等式。廣一溫馨提示等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是運算律、運算法則等，所以等式可以 表示不同的意義。不能將等式與代數(shù)式混淆，等式含有等號，是表示兩個式子的“相等關(guān)系”，而代數(shù)式不、產(chǎn)等號，它只能作為等式的一邊。如5x + 3 = 7-2x才是等式。二.等式的性質(zhì)性質(zhì)1:等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。即如果 a = b , 那么 a ±c =b ±c。性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。即如果a ba = b,那么 ac =

2、bc ；如果 a = b （c = 0 ）,那么一=一。 c c./溫馨提示等式類似天平，當天平兩端放有相同質(zhì)量的物體時，天平處于平衡狀態(tài)。 若在天平的兩端各加（或減）相同質(zhì)量的物體，則天平仍處于平衡狀態(tài)。所以運用等式性質(zhì)1時，當?shù)仁絻蛇叾技由希ɑ驕p去）同一個數(shù)或同一個整式時，才能保證所得的結(jié)果仍是等式，應(yīng)特別注意“都”和“同一個"。如1+x =3,左邊加2,右邊也加2,則有1 + x + 2 = 3 + 2。運用等式的性質(zhì) 2時，等式兩邊不能同除以 0,因為0不能作除數(shù)或分母。等式性質(zhì)的延伸：a對稱性：等式左、右兩邊互換，所得結(jié)果仍是等式，即如果 a=b, I那么b=a。b.傳遞性

3、：如果a=b,b=c,那么a=c （也叫等量代換）。例1:用適當?shù)臄?shù)或整式填空，使所得的結(jié)果仍為等式，并說明根據(jù)等式哪一條性質(zhì)，以及怎樣變形得到的。4一 4（1）如果 4x 11=5,那么 4x=5 +33(2)如果 ax +by = -c ,那么 ax = -c +.一 43(3)如果-1=3,那么t=。34三.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程。/溫馨提示方程有兩層含義：方程必須是一個等式，即是用等號連接而成的式子。方程中必有一個待確定的數(shù)，即未知的字母，這個字母就是未知數(shù)。如 x + 2=1。四.方程與等式的區(qū)別與聯(lián)系概念及其特點區(qū)別聯(lián)系方程含有未知數(shù)的等式叫做方 程。一個式子是方程，要 滿足

4、兩個條件：一是等式， 二含有未知數(shù)。方程一定是等式，并且是含有未知數(shù)的等式。方程是特殊的等式。等式用等號來表示相等關(guān)系的 式子叫做等式。等式的主 體是相等關(guān)系。等式不一定是方程，因為 等式不一定含有未知數(shù)。方程和等式的關(guān)系式從屬關(guān)系，且有不口逆性。五.方程的解與解方程內(nèi)容實質(zhì)方程的解使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解具體的數(shù)值解方程求方程的解的過程叫做解方程變形的過程何馨提示、檢驗一個數(shù)是否是方程的解， 只要用這個數(shù)代替方程中的未知數(shù)，如果方程兩邊的值相等，那么這個數(shù)就是方程的解；如果不相等，這個數(shù)就不是方程的解。方程可能無解，可能只有一個解，也可能有多個解。等式的基本性質(zhì)是解方

5、程的依據(jù)。I方程的解釋結(jié)果，而解方程是得到這個結(jié)果的一個過程。)例3:下列方程中解為x = 2的是(A. 3x 3 = xB.x 3 = 0C.2x =6D.5x - 2 = 8例4:利用等式的性質(zhì)解下列方程:(1) 6x+2=7x(2) 5x - 6 = 2x 31掌握方法.等量關(guān)系的確定方法列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個重點也是一個難點,要突破這一難關(guān)，學(xué)會尋找等量7 / 13關(guān)系是關(guān)鍵，那么怎樣尋找應(yīng)用題中的等量關(guān)系呢?(1)從關(guān)鍵詞中找等量關(guān)系；(2)對于同一個量，從不同角度用不同的方法表示，得到等量關(guān)系;(3)運用基本公式找等量關(guān)系；(4)運用不變量找等量關(guān)系。例1：某村原有林地10

6、8公頃，旱地54公頃，為保護環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20%,設(shè)把x公頃旱地改為林地，則可列方程為(A.54-x =20% 108B.54 -x = 20%(108 x)C.54 x=20% 162D.108 -x = 20%(54 x)二.利用方程的解求待定字母的方法利用方程的解求方程中的待定字母時,只要將方程的解代入方程，得到關(guān)于待定字母的方程，即可解決問題。x 1例2:已知x =2是關(guān)于x的萬程+k = k(x + 2)的解，則k的值應(yīng)為31A.9B.-9C.1D.13一元一次方程解一元一次方程夯實基礎(chǔ)0 I一.一元一次方程1 .定義：只含有一個未知數(shù)(元)，

7、未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。2 .標準形式：方程 ax+b=0 (其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且 a*0)叫做一元一次方程的標準形式。z溫馨提示一元一次方程中未知數(shù)所在的式子是整式，即分母不含未知數(shù)。122一兀一次方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都為1。如= 3, x+y = 6, x2 +x + 2、x 6 = 0都不是一元一次方程。_例1:下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？(1) 5+4x=11; (2) 2x + y=5; (3) x25x+6=0；2 - x/l、 y _ 1 y /(4) =3; (5) + =1 ox23二.移項

8、1 .定義：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。2 .示例：解方程3x -2 =2x+5時，可在方程的兩邊先加 2,再減2x,得3x 2十22x 二2x+5+22x,即變形為 3x2x=5 + 2。與原方程比較，這個變形過程如下：3xk2x = 5叵2/溫馨提示、移項的原理就是等式的性質(zhì)1。移項所移動的是方程中的項，并且是從方程的一邊移到另一邊，而不是方程的一邊交換兩個項的位置。色移項時一定要改變所移動的項的符號，不移動的項不能變號。如解方程 3x = 5x-10,.移項，得5x-3x-=-10就出錯了，原因是被移動的項“5x”的符號沒有改變，而改變了沒有被移動的項“ 3x”的符號。在

9、移動時，最好先寫左右兩邊不移動的項，再寫移來的項。例2:下列各題中的變形為移項的是（）。,1 , C、 ,1'/A.由一（x + 2） = 1 ,得一 x +1 = 122B.由 5x3 = 7x+5,得 7x+5 = 5x3C.由一x5+2x=6,得 2x x 5=6D.由 x 5 =8 x ,得 x + x =8 + 5三.去括號與去分母解一元一次方程的最終目標是要得到“x = a”這一結(jié)果。為了達到這一目標，方程中有括號就要根據(jù)去括號法則去掉括號，即為去括號；方程中有分母的，根據(jù)等式性質(zhì)2去掉分母，即為去分母。（湘馨提示、（1）解含有括號的一元一次方程時，去括號時一般遵循去括號的

10、基本法則。但在實際去括號時，應(yīng)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點利用一些方法技巧，恰當?shù)厝ダㄌ?，以簡化運算。對于一些特殊結(jié)構(gòu)的方程，可采用以下去括號的技巧：先去外再去內(nèi)。即在解題時，打破常規(guī)，不是由內(nèi)到外去括號，而是由外到內(nèi)去括號。整體合并去括號。有些方程，把含有的某些多項式看作整體，先合并，再去括號，往往會 1_3. 一一 簡單。如，解萬程 x-5（x-8） = （x-8）時，可把x8看作整體先合并，再去括號。（2）去分母時，在方程兩邊要同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項。當分母時小數(shù)時，需要把分母化整。同時注意分母化整只與這一項有關(guān)，而與其他項無關(guān)， 去分母區(qū)分開。,例3:下列方程去括號正

11、確的是（）。A. 由2x3(42x)= 6 得 2x122x= 6B. 由2x3(42x)= 6 得 2x126x= 6C. 由2x3(42x)= 6 得 2x12+6x= 6D. 由2x3(42x)= 6 得 2x3+6x=6、一 2x _1 x 1例4:萬程3x+=3-,去分母正確的是(32A. 18x 2(2x -1) =18 3(x 1)B. 3x (2x -1) = 3 _(x 1)C. 18x (2x -1) =18 -(x 1)D. 3x 2(2x -1) = 3 -3(x 1)四.解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法變形依據(jù)去分母在方程的兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)2去括

12、號先去小括號，再去中括號，最后去大括號去括號法則、分配律移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其 它各項都移到方程的另一邊(記住移項 要變號)等式性質(zhì)1合并同類項把方程化為ax = b(a o 0)的形式合并同類項法則系數(shù)化為1在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x=Ba等式性質(zhì)2溫馨提示1 .解一元一次方程的五個步驟，有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，不一定按順序進行, 根據(jù)方程的特點靈活運用。2 .在解方程的不用環(huán)節(jié)有各自不同的注意事項，分別如下：去分母(1)分子是多項式的，去分母后要加括號；(2)不要漏乘不含分母的項去括號(1)括號前的數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；(2)括號前面是負數(shù)，

13、去掉括號后，括號內(nèi)各項都要變號移項(1)移項時/、要漏項；(2)將方程中的項從一邊移到另一邊要變號，而在方程同一辿改變項的位置時不變號合并同類項按合并同類項法則進行，不要漏乘且系數(shù)的符號處理要得當系數(shù)化為1(1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時，方程兩邊向除以該系數(shù)；(2)未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù)時，方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù)例5口 = 2x132i掌握方法。J1 .一元一次方程概念的應(yīng)用原方程為一元一次方程，即未知數(shù)的次數(shù)為1,系數(shù)不為0,由此來確定原方程中待定字母的值。例1： ( 1)若2xmN+1 =2是關(guān)于x的一元一次方程，則 m=(2)若方程(m4)x+2014 =2015是關(guān)于x的一元一次方程，

14、則m=2 .利用合并同類項與移項解方程的方法(1)合并同類項時，不能用連等號與原方程相連。(2)幾個常數(shù)項也是同類項，移項時應(yīng)該把它們放到一起。(3)移項時把某項改變符號后移到等式的另一邊，而不是等式一邊的兩項交換位置。(4)移項必變號，不變號不能移項。1 3例2:解萬程：(1) 3x + 7=322x; (2) 1a-6 = 3a-1 02 4三.利用去分母解方程的方法利用等式的性質(zhì)2,在方程的兩邊同時乘各分母的最小公倍數(shù)，將分母去掉，把系數(shù)為 分數(shù)的方程轉(zhuǎn)化為系數(shù)為整數(shù)的方程。(1)分數(shù)線具有括號的作用，分子如果是一個多項式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括號里。(2)去分母時，不能

15、漏乘不含分母的項。3x 1x ' 5例3:解方程+3-。23四.含小數(shù)的一元一次方程的解法將小數(shù)化成整數(shù)，是根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)把含小數(shù)的項的分子、分母乘同一個適當?shù)臄?shù),而不是方程所有的項都乘這個數(shù)。小數(shù)化成整數(shù)，是對分母含小數(shù)的項的恒等變形。例4:解方程:0.4x -9 x -50.03 0.02x=。0.520.037 / 13五.有關(guān)同解方程的解題方法如果兩個方程的解相同，那么我們把這兩個方程稱為同解方程。已知兩個一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有兩種常見題型，其解法有所不同。(1)在兩個同解方程中，如果只有一個方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把

16、未知數(shù)的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。(2)如果在兩個同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分別解兩個方程，用這個待定字母分別表示兩個方程的解，并建立等式，形成關(guān)于這個待定字母的方程，求出該待定字母的值。例5:已知方程2(x -1) +1 =x的解與關(guān)于x的方程3(x+m) = m 1的解相同，求m 的值。15 / 13一元一次方程列一元一次方程解應(yīng)用題夯實基礎(chǔ)I一.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系。(2)設(shè)：用字母表示題目中的一個未知量。(3)找：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系。(4)歹U：根據(jù)這個相等關(guān)系列出方程。(5)解：解所

17、列的方程，求出未知數(shù)的值。(6)驗：檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。(7)答：寫出答案。二.設(shè)未知數(shù)的幾種方法設(shè)未知數(shù)的方法有三種：(1)直接設(shè)未知數(shù)：題目求什么就設(shè)什么為未知數(shù)。(2)間接設(shè)未知數(shù)：對于一些應(yīng)用題，如果直接設(shè)所求的量為未知數(shù)，可能不容易列方程，這時可以間接地設(shè)一個或幾個與所求的量有關(guān)系的量作為未知數(shù)，進而求出所求的量。(3)設(shè)輔助未知數(shù)：如果前兩種方法都行不通，便可設(shè)某個量為輔助未知數(shù)，輔助未知數(shù)僅作為題目中量與量之間關(guān)系的一種橋梁，一般情況下，解方程時不需要求出這個量。溫馨提示采用直接設(shè)未知數(shù)的方法，原則是使分析條件更方便，列方程更簡單，這樣比較容易得到方程，同時還要兼

18、顧所得到的方程求解時難易。直接設(shè)未知數(shù)，好處是容易選取未知數(shù)，而 且在解方程時可以直接得到問題的解。如果題目里涉及的幾個量存在某種數(shù)量關(guān)系或某種比例關(guān)系，多采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，間接設(shè)未知數(shù)是在直接設(shè)未知數(shù)、分析條件或列方程感到困難的時候才采取的方法。其優(yōu)點是列出方程和解方程的過程都比較容易。如果應(yīng)用題涉及的量較多，各量之間的關(guān)系又不明顯，若能設(shè)立適當?shù)妮o助未知數(shù)，把不明顯的關(guān)系表示出來，就可以順利地列出方程或方程組。例1:通訊員原計劃5h從甲地到乙地，因為任務(wù)緊急，他每小時比原計劃快3km, 結(jié)果提前1h到達，求甲、乙兩地間的距離。解析：解法一：直接設(shè)未知數(shù)。設(shè)甲、乙兩地間的距離為xkmi

19、利用速度間的關(guān)系作相等關(guān)系：原計劃速度+3=實際速度，得-+3 = ,解得x = 60。55-1解法二：間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)原計劃的速度為 x km/h,則實際的速度為(x+3) km/h。利用路程關(guān)系作相等關(guān)系：原計劃的路程 =實際的路程，得5x = (5-1) (x+3),解得 x=12,甲、乙兩地的距離為 5x = 5xl2 = 60(km)。答：甲、乙兩地的距離為 60kmi例2: 一只船在逆水中航行，船上的一只救生圈掉入水中， 5分鐘后，發(fā)現(xiàn)救生 圈落水，船掉頭去追趕救生圈，幾分鐘能夠追上救生圈？(船掉頭的時間忽略不 計)解析：(設(shè)輔助未知數(shù))設(shè)船在靜水中的航行速度為 a米/分，水流速度

20、為b米/ 分，t分鐘后船能夠追上落水的救生圈。 根據(jù)題意，得(a+b)t-bt=5b+5(a-b)。 at =5a , t =5。答：5分鐘后船能夠追上落水的救生圈。三.一元一次方程應(yīng)用題的常見類型類型容題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式等量關(guān)系注息事項和、差、倍分問題增長量=原有量X增長率現(xiàn)有量=原有量+增長量現(xiàn)Wfi =WTfi 降低量由題可知弄清“倍數(shù)”關(guān)系及“多” “少”關(guān)系等等積變形問題長方體體積=長*寬X高圓柱體積=nr2h(h為局，r為底囿圓半徑)變形前后體積相等要分清半徑、直徑行 程 問 題相遇問題路程=速度x時間 時間=路程+速度 速度=路程+時間快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離相向

21、用行，注思出發(fā)時間、地點追及問題快車行駛路程-慢車行駛距離=原距離同向用行，注思出發(fā)時間、地點航行問題順水速度=靜水速度+水速逆水速度=靜水速度-水速路程=速度x時間注息兩地距離，靜水速度不變類型內(nèi)容題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式等量關(guān)系注意事項調(diào)配問題從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量比例分配問題全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和把一份數(shù)設(shè)為x年齡問題大小兩個年齡差/、會變由題可知年齡增長一年一歲，人人如此工程問題工作量=工作效率X工作時間 工作效率= 工作量+工作時間 工作時間= 工作量+工作效率兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量一般情況下，把總工作量設(shè)為1

22、利潤率問題缶口記到衿虧商品利潤商品的利潤率 =口、計/人 X100% 商品進價商品利潤=商品售價-商品進價（成本價）由題可知打幾折就是按售價的十分之幾銷售數(shù)字問題（包括日歷中的數(shù)字規(guī)律）設(shè)a、b分別升-個兩位數(shù)的個位、十位上的數(shù)字，則這個兩位數(shù)可表7K為10b + a由題可知對于日歷中的數(shù)字問題要弄清日歷 中的數(shù)字規(guī)律；設(shè)間接未知數(shù)儲蓄問題利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息=本金x（1+利率X期數(shù)）由題可知分清利息和本息和濃度問題溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶液質(zhì)量百分比濃度=鳥4父100% 溶凝質(zhì)量溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量X百分比濃度加水前溶質(zhì)質(zhì)量=加水后溶質(zhì)質(zhì)量加水前含水量+加水量=加水后水量注意

23、加水前后溶劑、溶液的變化1掌握方法.列一元一次方程解決配套問題在現(xiàn)實生活中常見到一些配套組合問題，如螺栓與螺母的配套，盒身與盒底的配套等。解決此類問題的方法是抓住配套比，設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)配套比列出方程，通過解方程解 決問題。例1:某場共有120名生產(chǎn)工人，每名工人每天可產(chǎn)生螺栓 50個或螺母20個， 如果一個螺栓與兩個螺母配成一套， 那么每天安排多少名工人生產(chǎn)螺栓， 多少人 名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套 ？二.用列表法解決增長率、數(shù)字等問題解復(fù)雜的問題時，可借助表格來確定等量關(guān)系。先找出已知量、未知量，并用含已知量或未知量的式子把中間的那些起橋梁作用的量表示出來，同時

24、利用表格顯示出等量關(guān)系。例2:已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10% 乙商品提價5%調(diào)價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了 2%求甲、 乙兩種商品的單價各是多少兀。三.用圖示法解決行程、工程等問題有關(guān)工程、行程問題，經(jīng)常利用圖示表示題目中各量間的關(guān)系，揭示出潛在的條件，使問題清晰明了，能迅速列出方程，求解問題。例3:甲、乙相距40km,甲先出發(fā)，1.5h后乙再出發(fā)，甲在后，乙在前，兩人 同向而行，甲的速度是8km/h,乙的速度是6km/h,問甲出發(fā)多久后追上乙？例4： 一項工程，甲隊單獨做10小時完成，乙隊單獨做15小時完成，丙隊單獨 做20小時完成。開始時三隊合作，中途甲隊另有任務(wù)，由乙、丙兩隊完成，從 開始到工程完成共用6小時，問甲隊實際做了多少小時？四.列一元一次方程解決銷售利潤問題常