函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式專題練習(附答案)

1、函數(shù)、與數(shù)與不等式1 .已知點A(1,-1),B(4,0), C(2,2),平面區(qū)域D是由所有滿足:AP = >“AB + NAC(1<?uWa,1Wb)的點P(x,y)組成的區(qū)域，若區(qū)域 D的面積為8,則4a +b的最小值為( C )A. 5B. 4 2C. 9D. 5 4 22 .設(shè)a = Jx2 _xy + y2 ,b = p«7,c = x + y ,若對任意的正實數(shù)x,y ,都存在以a,b,c為三邊長的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是( A )A.(1,3)B. (1,2 C. '1,-7 l1D.以上均不正確a b c分析：因為x,y均為正實數(shù)，則c>

2、;a ,要使以a,b,c為三邊的三角形存在，則：<a b c,a c b即c-a<b<c+a恒成立，故：十，2. "lZ1<p<二十2+ /十.1 ,y x - y x. y x 1yx令t=3+Y,則：t之2,記卜=*+義+2-,旨+21 =斤萬1, h單調(diào)遞減，所 y x, y x , y x以 t=2 時，hmax =，2 +2 72 T =1 ,同理 t己:s=/-+-+2+J + -1= Vt-+2 + Vt -1 , y x y xs單調(diào)遞增，可知t = 2時，Smin =5/2+2+>/2T1=3,故實數(shù)p的取值范圍是(1,3),故選

3、Ao3 .已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足乎 + x<1,則下列結(jié)論正確 f (x)的是( B )A.對于任意xWR,f(x)<0,B.對于任意 x三R,f(x)0,C.當且僅當x3,1), f (x) <0D.當且僅當xw (1,收)，f(x)>0分析：由于f (x) +x <1, f (x)是定義在R上的減函數(shù)，所以：f (x) < 0, f (x) +xf x) > f '(x), f (x)即：f(x)+(x-1)f'(x) A0,故：I(x-1)f (x)H>0,則函數(shù) y = (x1)f

4、 (x)在 R 上單調(diào)遞增，而x=1時，則當x<1時，y <0, f(x)>0 ,當x>1時，y>0, f(x)>0 ,故對任意的 x w R, f (x) >0 ,故選 B.4 .定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的實數(shù)x ,都有：2 f (x) +x(x)父2包成立，則使x6.已知偶函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)50,1),且f(,)= 0,當0<x<1時，不等式: f (x) - f(1)<x2 -1成立的實數(shù)x的取值范圍為 ( B )A. xx#±l B. (g,1)=(1,收)C.

5、 (-1,1)D. (1,0)u(0,1)分析：由題意得：當 x>0時，由2f (x) + xfx)< 2,可知2xf (x)十/ f'(x)2x< 0,設(shè) g(x) =x2 f (x)-x2 ,貝U g'(x) =2xf (x)+x2f'(x)-2x <0恒成立，所以函數(shù) g(x)在(0,)單 調(diào)遞減，由 x2 f (x) - f (1) <x2 -1 ,即 g(x)Mg(1),即 x>1 ,當 x<0 時,因為函數(shù) f(x)是 偶函數(shù)，同理得x<-1,綜上可知，實數(shù)x的取值范圍是(,)。,)，故選B.5.設(shè)函數(shù)f

6、9;(x)是函數(shù)f (x)(xw R)的導(dǎo)函數(shù)，f(0) =1且3f (x) = f'(x)-3 ,則不等式:4f(x) >f (x)的解集是分析：由3f (x)= fxx3k *a 3b = k l a *aB.C.蟲,2eD.一二3(x-),3 設(shè) f (x) = kax +b ,解得 b = -1,a =e3則 f ( x) = kln a x a,由此可得：又 f ( 0,1所以k = 2 ,則3x,3xf (x) =2e -1, f (x) =6e ,A.1 J<x - <x <0或一 <x< 1 >B.1 e 1<x -1 &

7、lt; x M 或一 < x < 1 >22解不等式 4 f (x)Af'(x),即 8e3x4>6e3x,解得 x >選B.C.11 一4x <x<一且x ¥0 _1 ,、一 1D. Vx-1 < x <或0< x <一,分析：由題意知，當0<x<1時，總有：(1-x)f'(x) ln(1-x2) >2f (x)包成立，即: x2-2 x2f '(x) ln(1 -x ) +2 f(x) >0 恒成立，即 f '(x) ,ln(1 -x 1 -x) + ln(1

8、_x2) f(x)>0 ,即f ( x)* l n (iX>恒成立，所以函數(shù)g(x) = f(x)ln(1x2)在(0,1)上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)y =ln(1 x2)是偶函數(shù)，y = f (x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x) = f (x)*ln(1 - x2)是偶函數(shù),又由 f(1)=0,得 g(l)=0。當 xw(1,0)50,1)時，1x2w(0,1),所以 ln(1 x2)<0 ,所 22以不等式 f(x)<0u-2，、-1f (x) *ln(1 -x )>0 u g( x) > 0 u g( x ) > g(-)211ux<或x>,

9、結(jié)合 xw (1,0)u(0,1),知解集為: 221.11，、,，_(x -1 <x<或<x<1 b。故選 B.I2 2 J7 .棱長為1的正四面體ABCD中，E為棱AB上一點(不含 A, B兩點)，點E到平面ACD和平面BCD的距離分別為a,b,則(ab+1)(a*b)的最小值為( abA. 28 . 2 .39 . 2.6分析：連接CE,DE,設(shè)三角形BCD的中心為O,由正四面體棱長為1,得：OA =近，由:3VA -BCD -VE -BCD VE SCD ?得:=a +b ,由 a+b 之270,得: 31之=6 ,所以 ab (a b)2他上!=諉.(1+2)

10、之述,故選d。ab3 ab 38 .已知f'(x)是定義在上R的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足f'(x)+2f(x) >0 ,且f(-1)=0, 則f(x)<0的解集為( A )A.(-二，T)B. (-1,1)C.(-二,0)D. (-1，二)分析：由 f'(x)+2f(x)> 01T 得 e2x f'(x)+2e2x f (x) a 0 ,即，e2x f'(x) + (e2x)f (x) > 0 即 g(x)=e2xf (x)在 R 上單調(diào)遞增，由 f(-1) = 0得 g(-1) =0 ,則 f (x 0 當時，x= (-

11、76;0,-1), 故選A.19 .已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)輛足xf (x) +2 f (x)=，且f (1) 4 ,則函數(shù)f (x)的取大 x值為(D )A. 2eB. eD.21 一一一 c1分析：因為：xf (x) +2 f (x) = F ,所以：x f '(x) +2xf (x)=,令 g(x) = x f (x),貝U:xx9.11.g (x) =x f (x) +2xf (x)=，又 fX 1 =,所以：g(1) = 1,由 g (x)=，所以：g(x) = 1 + ln x ,xx1 g (x) 1 h ln x1 - 21nx .2所以：f(x)=空3 =

12、 9所以：f (x) =2，令廠(x) =0 ,得：x = e”，所以：x xx111當 x<e2 時， f'(x>0 當 xe2 時，f'(x)0 當* = 32 時，1f (x m) a=xf e 2( =)-i =；，故選 D.2 322(e2)10.已知 f(x)=1n(41+x2 +x)2+1 , a= f(摩),b = f(9),c = f(2 兀)，下列結(jié)論 2x 135正確的時(B )A. b a cB. c a bC. a b cD. c b a272 2分析：因為： f (x) = ln Ji +(-x) + (-x) I- + = ln(/ +

13、 x -x) - 2x 斗+1 ,所以: 12 1n 2f (x)+f (x) =0 ,即函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，由 f(x)= ,+4>0,得：f(x)為單.x2 1 (2x 1)2調(diào)增函數(shù)，又因為：n2>1>理>膽，所以：f(n2)>”婦> f (魴)，即c>a b ,3535故選B.x 111.已知函數(shù) f(x)=ln +, g(x)=e ，右g(m)= f (n)成立，則 nm的取小值為 2 2( B )A. 1 -ln2B. ln2C. 2,3-3D. e2 -3t 二.t-1、一分析：設(shè) f (n) = g(m) =t ,貝U m = 2+

14、 lnt,n =2e 2(t >0),所以：n-m = 2e 2 -lnt-2 ,設(shè),1, 1,t 一”.t.h(t) =2e 2 -lnt -2，所以：h'(t) =2e 2 - -，令 h'(t 0 ，解得：t=,當 0<t<'時，h'(t) <0 , t22,11 .11.當 t a 時，h (t) >0 ,所以當 t = 一時，h(t)min = h(-) = 2ln 2 = ln2,故選 B.222212.已知函數(shù)f (x) =x2(ex+e+)-(2x+1)(e2x+e*x“)，則滿足f (x) > 0的實數(shù)x的取

15、值范圍是( A )iC. (一3, 二)1D.(-二，-1) _.(-一，二)3分析：設(shè) g(x) =x2(ex+e'),則 fx) gx) g2x1 + ，要使 f (x) > 0 ,則使 g(x) a g(2x +1), 因為 g(x) =g(x),所以 g(x)為偶函數(shù)，當 x0 時，g，(x)=2x(ex + e")x342013234201314.已知函數(shù) f (x) =1+x 乙+上一工+IM ,g(x) =1 - x + - -III 23420132342013設(shè) F(x) = f (x +4)g(x -4),且函數(shù) F(x)的零點在區(qū)間 la T,a或

16、 lb-1,b(a <b,a,b Z)，則a +b的值為()A.0B. -C. 3D.2(ex e")之 0, 所以函數(shù)g(x)在10,收)上是增函數(shù)，所以|x>2x + 1 ,解得：_1<x< J ,故選A.1113.已知函數(shù)f(x)=()x-,則使得f (x) A f(2x1)成立的x的取值范圍是2110g1(1x)2( D )_1D. I, -J', -1 - - 鼻 ,1 卜,I3A1 ,、一*#±1。當乂A0時，A. (3,1)B.分析：由1 +1og1 (1 +|x) #0得x#±1，所以函數(shù)f (x)的定義域為 2為減

17、函數(shù)， 1為減函數(shù)，所以f(x)為減函數(shù)，當x<0時，(1)為增函數(shù),110gl(1 x)22110g1(1 ：|x)2為偶函數(shù),1為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)。因為f(x)=(1)兇 110g1(1-x)2,2且 f (x) > f (2x -1)，所以 x <|2x -1 ,兩邊平方得：x2 < 4x2 -4x +1 ,即 3x2 4x +1 a 0 ,一,11一. 一一一一/ 1：一、.，斛得：x-或x >1 ,又x #±1 ,所以x的取值氾圍是(-!, -1 Q |，1 3 1產(chǎn)),故選3. 3D.當x<-1時,2013f <x)

18、=1 x +x2 x3 +IH +x2012 =-> 0 也成立,即 f '(x) = 1 _ x + x2 _ x3 十川+ x2012 > 01 x2342013恒成立，所以f(x)=1+x-± + ±-±+|+2 在上R上單調(diào)遞增，f(0)=1>0, 23 4201311 一 11f (_1)=(1-1)+(_-) + |+(-)<0, f(x)的唯一零點在1,0內(nèi)，f(x+4)2 32012 2013的唯一零點在-57內(nèi)，同理得g(x4)唯一零點在5,6內(nèi)，因止匕b=6,a=4,a + b = 2。a215 .已知a,b,為

19、正頭數(shù)，直線 y=x-a與曲線y = ln(x+b)相切，則 2 的取值氾圍是1A. (0,1)B. (0,1)C. (0,二)D.11,二2 b - 3-a，令g高，則:g'<*皿分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'= , x=1 b ,切點為(1b,0),代入y = xa ,得：a + b = 1, x b因為a,b,為正實數(shù)，所以a w (0,1)，則:1(0,2)。2則函數(shù)g(a)為增函數(shù)，所以-aw2 b x2-1.0<x<116 .設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x之0時，f(x) = «,若對任意的lnx, x -1,xwfa,a+1，不等式f(

20、2x) Ef(x+a)恒成立，則實數(shù)a的最大值為( D )A. -1B. -C. -D.3234分析：當 x 20時，f (x) = J 1,° x <1,當 x w01 )時，y = x2 -1 遞增，且 x = 1, y = 0 , ln x,x -1,當x知時，y= lnx遞增，且經(jīng)過點(1,0),則有f(x)在0,收)遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得 f(x) =f(x),不等式 f(2x)« f(x + a)即為 f(2x)< f(x + a),即有 2x <|x + a ,即為(3x +a)(x-a) <0,對任意的x亡G,a+1，不等式f (2

21、x) W f (x + a)恒成立，由二次函數(shù)的圖像可得：(3a+a)(a -a) <0 ,且3(a +1) +a (a + 1-a) < 0,即為 0E0 且 a 4一0 ,則有4a<_3,所以a的最大值為_3。44 17.曲線f (x) =ax2(a >0)與g(x) =ln x有兩條公切線，則a的取值范圍是( D八1r1-1r 1A. (0,-)B. (0,)C.(-,二)D.(一,二)e2ee2e分析：設(shè)切線與f (x) =ax2(a >0)切于點(x, ax2),與gx) Rx切于點(x21nx2)，則切線:2 c2y = 2ax1(xx1)+ax1 =

22、2ax1x -ax1,1，、，y = (x -x2) In x2 二X21x + In x2 -1, 所 以x2-1a 24x2(1 - ln x?),(x2 >0),則該式有兩解，設(shè)2axi =, x2,兩式洎去為得_ 2a% =1 - In x2,g(x)=-2T-1，貝Ug'(x)=-83nx 4 設(shè) h(x) =8ln x 4 ,貝U h(x)在(0,y)上單調(diào)4x2(1 -In x)16x3(1 -In x)2遞增，且，所以存在 x0 = Ve使 h(x0) =0 ,所以，當 x w (0, Ve)時，h(x) < 0 ,當 x w (Ve +* 時，h(x) &

23、gt;0 ,即當 xw (0,痛)時，g*(x) <0 ,當 xw (娓加 時，g，(x) >0，所以 g(x)在(0, Ve)上單調(diào)遞減，在(點 收)上單調(diào)遞增，所以g(Te)=,所以aw (工,代)，故選D.2e2e18.設(shè)函數(shù) f (x) = ex + x 2 , g(x) = In x + x2 -3 ,若實數(shù) a,b 滿足 f (a) = 0, g(b)= 0,則( )A. 0 :二 g(a):二 f (b)B. g(a):二 0 :二 f(b)C.f(b) <g(a) <0D. f (b) < 0 - g(a)分析：由于y =ex及y =x-2關(guān)于時單

24、調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù) f (x) =ex+ x-2在R上單調(diào) 遞增，分別作出 y =ex,y =2x 的圖像，因為 f(0) =1 = 02<0, f(1) = e-1>0 , f(a)=0, 所以：0 <a<1.同理 g(x) =In x+x2 3在 R + 上單調(diào)遞增，g(1)= In1+1 3 = 2 < 0 ,由于 g( J3) =In J3 +(J3)2 3=1m3>0 , 故由 g(b >0 可得 1<b<J3 , 所 以2g( a尸 I a2 a-3 g ( W ) 十 n1 , =f(b)4eb 42)-20- f(1) =

25、 e+1 2 = e 1 >0 ,所以：g(a):二 0 :二 f (b).119.定義在 R 上的函數(shù)f(x)滿足f( x 2=)-f (x )當x 0 ,)2時，-2x2 , £x <1 ,f (x) = « 2，函數(shù)g(x) =x3 +3x2+m。若對任意s三1-4, -2 ,存在1f4邕£ 2-22,1 <x <2.t- U, -2),不等式f(s)-g(t)20成立，則實數(shù)m的取值范圍是( C )分析：當x w 10,2 )時,1 ,f (x 2) =-f(x)21-2x2,0 <x<1,f(x) =<2，當 x

26、w42)時，x + 4w0,2),又1 -x,1堂 <222 " ,1<x<2.1 1f(x+4)=- f(x + 2)=- f (x),則2 4_2 一，、2-x8_x；-(4),4f (x = f x方 =34*(,當*<x<3時f(x)在4,-3)上為減函一2 12 x ：二廠32,數(shù)，-6 <f (x) M2,當一3Ex<2 時,f(x)在,5當x = -5時取得極小值為-8 ,所以當x- J, -2)時，f(x)的最小值為-8 ,對于函數(shù)g(x) =x3 +3x2 +m , 有 g '( x)= 3x + 6x= 3x (x

27、 2 )g(x)在-4,-2 )上是增函數(shù)，g( -2) =m +4 , g(T) = m -16 ,可見 m -16 W g(x) < m + 4 ,依題意若對任意 s=-4,-2),存在 tw U,-2 ),不等式 f(s)-g(t)之 0 成立，只需 m16W8n m<8020.已知函數(shù) f(x) =m*2x+x2 +nx ,若x f(x) =0,xR= xx f (f (x) =0,x R #中，則m + n的取值范圍為（ BA. 0,4B. 1.0,4C. 0,51D. 1.0,51分析：由題意得： f(0) nm,S +0+ 0=m,令 t Mx f( x) = 0,

28、xw R,則 f (t)= 0,且 tw(x f( f(x)=0,痔 R,所以 f (f (t) = f (0) =m =0 ,即 m = 0,所以 f(x) = x2+nx,所以 f (f (x) = f (x) f +nf (x) = (x2 + nx)2 十n (x2 + nx) = x(x + n)(x2 + nx + n),當 n = 0 時,f (x)=x2 , f(f(x) =x4 ,由 f (x) = 0,解得 x=0 ,由 f( f(x)= 0單得 x = 0 ,止匕時 x f( x)= 0, x 三 R = x f( f( xo= 0, x r=0*4 ,符合 題意，當 n

29、#0 時， x| ( x 0 貨 R限，行xfKX) 0n Rw 年 n-，則 f(f(a 0=，且除 0,-n以外f(f(x) = 0再無其它實根，所以方程x2+nx + n=0無實根，即A = n2-4n<0,即0 <n <4o綜上，滿足條件的所有實數(shù)n取值范圍為0£n<4,所以：0Em + n<4。21 .定義在區(qū)間(0,收)上的函數(shù)y = f(x)使不等式2f (x)< xf'(x)< 3f (x)|!成立，其中 y = f (x)為y = f (x)的導(dǎo)數(shù)，則()A. 8：二2：二16 B. 4：二段：二8 C. 3：二盤：

30、二4 D. 2 ：二 f2b 3 f(1)f(1)f(1)f(1)分析：因為 xf (x) 2 f (x) A0, x A 0 ,所以乎=f(x)*x2j2xf(x) = xf'(x),2f(x) > 0 _ x2x4x3所以丫=與單調(diào)遞增，所以 ，因為*)-?”*), x>0,所x22212 f (1)以粵 1 = f(x)*x3：x2f(x)=xf'x)；3f(x)M0 ,所以 丫=瞥單調(diào)遞減，所以f (2)門<8。f(1)IL xxxx 華.當，即皿<8,綜上，有42313f(1)22 .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖像為一條連續(xù)不斷的曲線，f

31、 (1 + x)= f (1-x),f(1)=a,且當 0<x<1 時，f(x)的導(dǎo)函數(shù) f'(x)滿足 f'(x)< f(x),貝U f(x)在2015,2016】上的最大值為( C )A. aB. 0C. -aD.2016分析：由f (1+x)= f(1-x)可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,且f(x)的圖像關(guān)于點(0,0)對稱，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則在 315,2016上的圖像與-1,0上的圖像完全相同，令g(x)=f(x),則eg<x) = f (x) (x) <0,函

32、數(shù) g(x)在(0,1)上遞減，貝 U g(x) <g(0) =0,所以 f x) < f (x) <0 , e則函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)在(1,0)上也單調(diào)遞減，則f(x)在 £2015,2016上的最大值為：f (2015) = f (1) = f (1)= a 。23 .已知函數(shù)f (x)(xw R)滿足f(1p1且f (x)的導(dǎo)函數(shù)fx)1 一一一 .<-,則不等式29x2 1f (x ) <一+-的斛集為 xw (-叩1 p1, 容1.分析：設(shè) F( xA f (-x4f( x則 F ( xA2x1,0即

33、函數(shù)F (x)在R上單調(diào)遞減，而f (x )一 +一,即221)/2dT-二，-1 . 1,二10所以F(x ) <F(1),而函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減，所以x2>1 ,即24 .在三棱錐 D ABC 中，已知 AB =2, AC BD =3，設(shè) AD =a,BC =b,CD =c,則:的最小值為分析：設(shè)A D , aC B b=DCH 為 AB=2,所以 a+b+ 彩嚏 Ha b c 2(ab bc ca)=4 ,又 A C B D3-,所以(a+ c)(-b -c)2ab+bc+ca+c =3 ,所以 a + b + c2+(3 -c )尸 4c=a +b+2 ,a2十b2+

34、c2»( 3 c2),音牛a2+b2+2所以a2 b2 2 2ab 2ab 1 ab 1=2 ,當且僅當a = b 時,2的最小值是2.2y I x2 2y2 'ab 125 .記min a,b為a,b兩數(shù)的最小值。當正數(shù) x,y變化時，令t = min42x+y,則t的最大值為:分析：由所給定義知：tE2x y,t _ 22y 2，所以：x 2y_2 _2、 _,2 22、t2 ,4xy 2y2(2xy y ) . 2(x x y ) 2t - x2+2y22，：；x，y ,因為當點P運動到C點時，H達到最小值，點P ,1x2 22 2 . x y (2) * x y = x2+2y2 x2+2y2 所以：t <72 故：t 的最大值為：版2tx2 2 sin(x ) x26 .已知關(guān)于x的函數(shù)f (x) =24 的最大值為a ,最小值為b ,若2x cosxa+b =2 ,則實數(shù)t的值為： 1。2tx2.2sin(x ) x分析： 因為： f (x)=242x cosx22tx tsin x t cosx x2x2 cosx= t+ts21nx+x ,又2x cosxts21nx+x為奇函數(shù),所以tlnxx得最大值與最