高三數(shù)學復習向量

1、2012高三數(shù)學復習 向量一向量的概念1.定義既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模即有向線段的長度.2.表示方法:用字母表示如等.用有向線段表示如,等.用坐標表示在平面直角坐標系中,設(shè)向量的起點O為原點,終點A坐標為,則的坐標為,記為=.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.向量不能比較大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線

2、向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.例.判斷下列命題是否正確：（1）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同；（ ）（2）若，則；（ ）（3）與是共線向量，則A、B、C、D四點共線；（ ）（4）單位向量都相等；（ ）（5）任一向量與它的相反向量不相等； （ ）（6）四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是； （ ）二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,圖形、符號、坐標語言。主要內(nèi)容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則

3、=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2注意：向量的加減法運算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量。 D E C A B 例。1.如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ，試用a ，b ， c ， d表示向量和.=a+b+d=-a-b-c-d D C E F A B 2.（1）在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是梯形（2）已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，求證：.3.已知,則實數(shù)x=_6_.4.已知則_,(-2,-6)_,(4,-2)與的

4、夾角的余弦值是_.5在中,若,則=.； 6.邊長為的正三角形中，設(shè)，則=提示：，. 7.已知平面上三點滿足則的值等于提示: 為直角三角形, , 和夾角的余弦為,和夾角的余弦為,8.已知的三個頂點及平面內(nèi)一點，且，則點與的位置關(guān)系是在邊上 提示:由題設(shè)得, 在邊上.9.已知為平面上四點，且，則點在線段上提示:,這表明點在直線上, , 和同向, , .10.平面直角坐標系中, 為坐標原點, 已知兩點, 若點滿足, 其中且, 則點的軌跡方程為.提示：設(shè),則, , 消去得.11.在中,設(shè),又向量,若,.則點過的 心證明: 和分別是上的單位向量, 以和為邊的四邊形為菱形,的終點在的平分線上. 可為正,負

5、或零,表示點在的平分線所在直線上12.如圖，在直角ABC中，已知，若長為的線段以點為中點，問與的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。解：(二)運算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：設(shè)、為實數(shù); ;兩個向量的數(shù)量積:·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，例如(±)2=(三)重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實數(shù),使，叫做的線性組合。叫做表示該平面內(nèi)所有向量的一組

6、基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.即如果且,那么.當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面向量的坐標表示.(2).平面向量的坐標運算：設(shè)=,=，則+=-=，=·=設(shè)A，B,則即向量坐標等于終點坐標減去起點坐標兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，三點A、B、C共線的充要條件：(M為任意點)=；兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量，則兩個向量數(shù)量積的重要結(jié)論： 即 (求線段的長度);(垂直的判斷); (求角度)。叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義

7、是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則,三角形的重心坐標公式ABC三個頂點的坐標分別為、,則ABC的重心的坐標是“按向量平移”的結(jié)論：點按向量=平移后得到點向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=三角形五“心”向量形式:設(shè)角所對邊長分別為，則為的外心為的重心為的垂心為的內(nèi)心為的的旁心典型例題1 在OAB中，C是AB邊上一點，且(>0)，若a，b，試用a，b表示. 2.設(shè)點P是線段上的一點，、的坐標分別為，(1) 當點P是線段上的中點時，求點P的坐標；（）(2) 當點P是線段的一個三等分點時，求P的坐標（）3.已知a，b，當a+2b與2ab共線時，值為4.與向量a = (12，5)

8、平行的單位向量為 或5.已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是(0,1)6.在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·=±27.設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是.t0且t8.已知ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b與kab互相垂直，則k的值為9.已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac則|bc|=10已知，則ABC的形狀一定是直角三角形11.如圖，在ABC和AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，若，則與的夾角等于12已知向量a，b，c滿足|a|=1，|a-b|=|b|，（a-c）·（b-c）=0，若對每一個確定的向量b，|c|的最大值和最小值分別為m，n，則對于任意向量b，m+n的最小值是_.13如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則的最小值為；14.若把圓按向量平移后,恰好與直線相切,則實數(shù)的值為_. 或提示:圓的圓心為,半徑為,圓按向量平移后,圓心為,由題意得,.15.證明：對于任意的，恒有不等式證明：設(shè)，則,而即，得16