高中幾何證明知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、幾何證明選講l 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。如圖（1）直線abc 若AB=BC，則A1B1=B1C1 圖（1） 圖（2） 圖（3） （1）推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。如圖（2）ABC中，AD=DB, DEBC , 則AE=EC（2）推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。如圖（3），梯形ABCD中AE=EB, EFBC ,則DF=FCl 平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 如圖（4）： 圖（4）（1） 推論1：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（

2、或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖（5）：或 圖（5）（2） 推論2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。練習(xí)：1、如圖所示，已知在ABC中，C=90°，正方形DEFC內(nèi)接于ABC，DEAC，EFBC，AC=1，BC=2，則AFFC= .2、如圖所示，ABC中， DEBC，DFAC，AE:AC=3:5,DE=6，則BF=_. 3、如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB,CBAB，AD=AB=a, CD=a/2，點(diǎn)E、F分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)度。 l 相似三角形的判定：（1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比

3、例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。（2）相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。（3）判斷相似的簡(jiǎn)單方法：² 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；² 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；² 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（4）對(duì)于直角三角形² 如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；² 如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。² 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。練習(xí)：1、如圖，BD、CD是ABC的高，求證：ADEABC2、如右圖，

4、梯形ABCD中，ABCD,且AB=2CD,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M（1）求證EDMFBM（2）若DB=9，求BM. l 相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（4）相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方；練習(xí)：1、 如圖，平行四邊形ABCD中，AE:EB=1:2, AEF的面積等于6cm2，（1）求CDF的面積（2）求平行四邊形ABCD的面積 2、如圖所示，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

5、FD與AC交于點(diǎn)E.求證：AE·FB=EC·FA. l 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)； 即： 推論：兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷系纳溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)即：或練習(xí)：1、如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，求圓O的半徑。 2、如圖所示，AC為O的直徑，BDAC于P，PC=2，PA=8，則CD的長(zhǎng)為 ，cosACB= .3、如圖，在ABC中，AB=AC=8，D是AC邊上的一點(diǎn)，BD=BC= 求AD的長(zhǎng)度。 l 圓的相關(guān)定理（1）圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（2）圓心角定理：圓

6、心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。（3）推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。（4）推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。l 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理（1）性質(zhì)1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。（2）性質(zhì)2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。（3）判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（4）推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。l 圓的切線的性質(zhì)及判定定理。（1）性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。（2）推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。

7、（3）推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（4）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。l 弦切角的性質(zhì)（1）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。（2）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（3）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（4）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。（5）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。練習(xí)：1、如圖，從圓O外一點(diǎn)P作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則CBD= 。 2、如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O上的一點(diǎn)，過(guò)D作圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,若DC=DA,求證：AB=2BC. 3、如圖所示圓O是ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=2，AB=BC=3.求BD以及AC的長(zhǎng).4、如圖所示，PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過(guò)圓心O，已知BPA=30°，PA=2，PC=1，則圓O的半