高中數學配套Word版文檔五51平面向量的概念及線性運算

1、§5.1平面向量的概念及線性運算2014高考會這樣考1.考查平面向量的概念、線性運算；2.考查向量運算的幾何意義，向量共線的應用復習備考要這樣做1.重視向量的概念，熟練掌握向量加減法及幾何意義；2.理解應用向量共線和點共線、直線平行的關系1 向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩

2、向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02. 向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba；(2)結合律：(ab)ca(bc)減法若bxa，則向量x叫做a與b的差，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法三角形法則aba(b)數乘實數與向量a相乘，叫做向量的數乘(1)|a|a|；(2)當>0時，a的方向與a的方向相同；當<0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數，使得ba.難點正本疑點清源1

3、向量的兩要素向量具有大小和方向兩個要素用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關系同向且等長的有向線段都表示同一向量2 一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量3 證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合1 若a“向東走8 km”，b“向北走8 km”，則|ab|_；ab的方向是_答案8東北方向解析根據向量加法的幾何意義，|ab|表示以8 km為邊長的正方形的對角線長，|ab|8，ab的方向是東北方向2.

4、 如圖在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b，則_.答案ba解析ababa.3 已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數的值為_答案2解析如圖所示，由，且0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此2，則2.4 若ABCD是正方形，E是DC的中點，且a，b，則_.答案ba解析如圖，取AB的中點F，連結FE，則b，a，則ba.5 下列命題：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一個向量的兩個向量是共線向量；相等向量一定共線其中不正確命題的序號是_答案解析錯，如單位向量與0不相等；錯，如方向相同，長度不等的向量；錯，如都平行于零向量，則不一定共線對

5、題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是_答案解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的

6、充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.探究提高(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數圖象移動混為一談(5)非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量 下列命題中正確的是_(填序號)a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；有相同起點的兩個非零向量不平行答案解析由于零向量與任一向量都共線，所以不正確；由于數

7、學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，所以不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關，所以不正確；對于，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量題型二向量的線性運算例2如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，.思維啟迪：結合圖形性質，準確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算的關鍵解ab，ab，ab.又ab，ab，ababab.綜上，ab，a

8、b，ab.探究提高(1)解題的關鍵在于搞清構成三角形的三個問題間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果在ABC中，c，b，若點D滿足2，則_.(用b、c表示)答案bc解析2，2()，32，bc.題型三共線向量定理及應用例3設兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數k，使kab和akb共線思維啟迪：解決點共線或向量共線的問題，要結合向量共線定理進行(1)證明ab，2a8b，3(a

9、b)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線(2)解kab與akb共線，存在實數，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210.k±1.探究提高(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當且僅當120時成立，則向量a、b不共線 設a，b是兩個不共線向量，若a與b起點相同，tR，t為何值時，a，tb，(ab)三向

10、量的終點在一條直線上？解設atb (R)，化簡整理得：ab0，a與b不共線，故t時，a，tb，(ab)三向量的終點在一條直線上方程思想在平面向量的線性運算中的應用典例：(14分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點M，設a，b.試用a和b表示向量.審題視角(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領，要盡可能地轉化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點共線，與共線存在實數t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbta

11、tb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點共線，與共線10分存在實數t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.12分由得m，n，ab.14分溫馨提醒(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的難度(2)易錯點是，找不到問題的切入口，亦即想不到利用待定系數法求解(3)數形結合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關問題時，多數習題要結合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧如本題易忽視A、M、D共線和B、M、C共線這個幾何特征(4)方程思想是解決本題

12、的關鍵，要注意體會.方法與技巧1將向量用其它向量(特別是基向量)線性表示，是向量坐標形式的基礎2可以運用向量共線證明線段平行或三點共線如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點共線失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：62分)一、填空題(每小題5分，共35分)1 給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；

13、a0 (為實數)，則必為零；，為實數，若ab，則a與b共線其中錯誤命題的個數為_答案3解析錯，由于終點相同，兩起點不一定相同，所以可以不共線對，由于模是實數，所以可以比較大小錯，由于a0，0時，也可以得a0.錯，當0時，雖然ab，但是a與b可以不共線錯誤命題個數為3.2 設O是ABC內部一點，且2，則AOB與AOC的面積之比為_答案解析設D為AC的中點，連結OD，則2.又2，所以，即O為BD的中點，從而容易得AOB與AOC的面積之比為.3. 如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數m的值為_答案解析設|y，|x，則×y×x得，令，得yx，代入得m.4 在平行四邊形A

14、BCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中，R，則_.答案解析因為，又，所以，得到1，1，兩式相加得.5 設a、b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點共線，則實數p的值為_答案1解析2ab，又A、B、D三點共線，存在實數，使.即，p1.6 在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.7 給出下列命題：向量的長度與向量的長度相等；向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上其中不正確的個數為_答案2解

15、析命題正確，不正確二、解答題(共27分)8 (13分)在ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB2GE，設a，b，試用a，b表示，.解()ab；()()ab.9 (14分)在ABC中，E、F分別為AC、AB的中點，BE與CF相交于G點，設a，b，試用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.B組專項能力提升(時間：35分鐘，滿分：58分)一、填空題(每小題5分，共30分)1 (2012·浙江改編)設a，b是兩個非零向量，下列正確命題的個數是_若|ab|a|b|，則ab若ab，則|ab|a|b|若|ab|a|b|，則存

16、在實數，使得ba若存在實數，使得ba，則|ab|a|b|答案1解析利用向量運算法則，特別是|a|2a2求解由|ab|a|b|知(ab)2(|a|b|)2，即a22a·bb2|a|22|a|b|b|2，a·b|a|b|.a·b|a|b|·cosa，b，cosa，b1，a，b，此時a與b反向共線，因此錯誤當ab時，a與b不反向也不共線，因此錯誤若|ab|a|b|，則存在實數1，使ba，滿足a與b反向共線，故正確若存在實數，使得ba，則|ab|aa|1|a|，|a|b|a|a|(1|)|a|，只有當10時，|ab|a|b|才能成立，否則不能成立，故錯誤2 已知

17、ABC和點M滿足0，若存在實數m使得m成立，則m_.答案3解析由已知條件得.如圖，因此延長AM交BC于D點，則D為BC的中點延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E、F分別為AC、AB的中點，即M為ABC的重心()，即3，則m3.3 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足： ，0，)，則P的軌跡一定通過ABC的_心(填“外”“內”“重”“垂”)答案內解析作BAC的平分線AD.，· (0，)·，.P的軌跡一定通過ABC的內心4 已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是_(將正確的序號填在橫線上)2a3b4e，且a2b3e；存在相異實數、，使·a·b0；x·ay·b0(實數x，y滿足xy0)；若四邊形ABCD是梯形，則與共線答案解析由得10ab0，故對對對于當xy0時，a與b不一定共線，故不對若ABCD，則與共線，若ADBC，則與不共線5. 如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_答案2解析O是BC的中點，()又m，n，.M，O，N三點共線，1.則mn2.6 在ABC中，已知D是AB邊上一點，若2，則_.答案解析由圖知，且20.×2得：32，.二、解答題(共28分)7