隨機(jī)過程讀書筆記

1、應(yīng)用隨機(jī)過程讀書筆記早期的概率論和分析是兩個(gè)截然不同的領(lǐng)域.1933年，Kolmogorov建立了概率論公理基礎(chǔ)，這標(biāo)志著概率論成為一個(gè)嚴(yán)密的分支.此后學(xué)者們更感興趣于用概率方法來解決分析問題.于是上世紀(jì)40到50年代間，隨機(jī)分析學(xué)迅速發(fā)展成為一門新的學(xué)科，被譽(yù)為“隨機(jī)王國中的牛頓定律”.隨機(jī)分析學(xué)的理論受到了眾多領(lǐng)域?qū)＜?、學(xué)者的研究和關(guān)注。它的發(fā)展是迅速的，也是巨大的，其應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，緊密聯(lián)系著數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，也是近代概率論中最活躍的分支之一。隨著其內(nèi)容的不斷豐富，隨機(jī)分析己被廣泛應(yīng)用于點(diǎn)過程、估計(jì)理論等理論分支。在放假期間，我看了應(yīng)用隨機(jī)過程第六章-鞅的內(nèi)容。鞅是一類特殊的隨機(jī)過程，

2、鞅的初始概念是源于公平競爭的思想，也就是在競爭中付出與所期望的收入相匹配。直觀地講，在公平競爭中我們無法憑空創(chuàng)造則富。鞅僅描述現(xiàn)在所擁有的價(jià)值，離散時(shí)間鞅僅僅是對(duì)過程有個(gè)大致的描述，而連續(xù)時(shí)間鞅則是對(duì)招個(gè)過程的一個(gè)綜合把握，可以細(xì)致而緊湊地研究過程的走向。下面就簡單介紹一下鞅的基本概念及其相關(guān)性質(zhì)。一 定義1 隨機(jī)過程稱為關(guān)于的下鞅，如果對(duì)時(shí)的函數(shù)，并且，這里。我們稱過程為關(guān)于的上鞅，如果對(duì)是的函數(shù)，并且，這里。若兼為關(guān)于的下鞅與上鞅，則稱之為關(guān)于的鞅。根據(jù)鞅的定義，我們可以直接推出以下命題：（1） 適應(yīng)列是下鞅當(dāng)且僅當(dāng)是上鞅。（2） 如果，是兩個(gè)下鞅，a，b是兩個(gè)正常數(shù)，則是下鞅。（3） 如

3、果，是兩個(gè)下鞅（或上鞅），則或是下鞅（上鞅）。下面以一個(gè)例子加以說明：考慮一個(gè)公平博弈的問題，設(shè)獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為，于是，可以將看做一個(gè)投硬幣的游戲的結(jié)果：如果出現(xiàn)正面就贏1元，出現(xiàn)反面就輸1元。假設(shè)我們按以下的規(guī)則來賭博，每次投擲硬幣之前的賭注都比上一次翻一倍，直到贏了賭博即停。令表示第n次賭博后所輸（或贏）的總錢數(shù)，無論如何，只要贏了就停止賭博，從而從贏了之后起就不再變化，于是有。假設(shè)前n次投出的硬幣都出現(xiàn)了反面，按照規(guī)定，我們已經(jīng)輸了（元），即，假如下一次硬幣出現(xiàn)的是正面，按規(guī)定，由公平的前提知道，易證，這里，從而是關(guān)于的鞅。二 鞅的停時(shí)定理1 （停時(shí)）設(shè)是一隨機(jī)變量序列，稱隨機(jī)函數(shù)

4、T是關(guān)于的停時(shí)，如果T在中取值，而且對(duì)每個(gè)，。2 （鞅停時(shí)定理）設(shè)是一個(gè)關(guān)于的鞅，T是停時(shí)且滿足：（1）;（2）；（3）；則有 1939 年法國概率學(xué)家 Lévy 第一次提出鞅，并作了理論的奠基工作。隨著K.ito對(duì)brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分理論的發(fā)展，30年代末至50年代初，Levy和美國概率學(xué)家Doob就創(chuàng)立了鞅論，并且由Doob將其發(fā)揚(yáng)光大.1953年，Doob在其名著Stochastic Processes中首次系統(tǒng)地介紹了鞅論及其應(yīng)用成果，這部歷史性專著促使鞅成為隨機(jī)過程理論的一個(gè)獨(dú)立分支.突飛猛進(jìn)的研究成果使其在理論和應(yīng)用上的重要性也日益凸顯. Doob極大不等式定理 設(shè)是

5、一個(gè)鞅，。（1） 對(duì)，；（2） 如果，則對(duì)，并且 三 一致可積性定義 1 假設(shè)有一列隨機(jī)變量稱它們是一直可積的，如果對(duì)，存在，使得對(duì)任意A，當(dāng)時(shí)，對(duì)成立。因?yàn)橐恢驴煞e的條件比較難驗(yàn)證，下面給出兩個(gè)一致可積的充分條件。1 假設(shè)是一列隨機(jī)變量，并且存在常數(shù)，使得對(duì)所有的n成立，則此序列是一致可積的。2 設(shè)是關(guān)于的鞅。如果存在一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量Y，滿足,且，對(duì)成立，則是一致可積鞅。四 鞅收斂定理定理 （鞅收斂定理）設(shè)是關(guān)于的鞅，并且存在常數(shù)使得對(duì)任意n成立，則當(dāng)時(shí)，收斂到一個(gè)隨機(jī)變量根據(jù)上面的定理，我們可以得出以下結(jié)論：如果是關(guān)于的一致可積鞅，則存在，記為，并且.五 生活舉例1 設(shè)是一個(gè)賭徒n 次拋擲

6、公平硬幣后的財(cái)產(chǎn)，如果硬幣正面朝上，則賭徒贏得1美元，硬幣反面朝上，則賭徒輸?shù)?美元。已知?dú)v史上所擁有的財(cái)產(chǎn)，且下一次試驗(yàn)后賭徒財(cái)產(chǎn)的條件期望與其現(xiàn)在的財(cái)產(chǎn)相等，故這一隨機(jī)過程是鞅。這個(gè)例子稱為賭徒謬誤。令Yn = Xn2 n ，其中Xn 是上例中賭徒的財(cái)產(chǎn)，則隨機(jī)過程 Yn : n = 1, 2, 3, . 是鞅。這一例子可以表明賭徒的全部收益或損失大致在拋擲次數(shù)的正負(fù)平方根之間變化。（棣莫弗鞅）設(shè)拋擲的是有偏硬幣（或稱為不公平硬幣），正面向上的概率為p ，反面向上的概率為q = 1  p 。令正面情況用“+”，反面情況用“”。令則 Yn&#

7、160;: n = 1, 2, 3, . 是關(guān)於 Xn : n = 1, 2, 3, . 的鞅。證明如下： 服從正態(tài)分布2（波利亞罐子模型）一個(gè)罐子中最初裝有r 個(gè)紅球和b 個(gè)藍(lán)球。某人隨機(jī)取出一個(gè)球，然后將此球與另一個(gè)與此球顏色相同的球放回罐子中。令為重復(fù)上述步驟n 次后罐子中的紅球數(shù)，令 = / (n + r + b)。這時(shí)隨機(jī)過程  : n = 1, 2, 3, . 是鞅。3 （統(tǒng)計(jì)學(xué)中的似然比檢驗(yàn)）某一總體可能是按照概率密度f 分布，也可能是按照概率密度g 分布。從總體中取出一個(gè)隨機(jī)樣本，數(shù)據(jù)為X1, ., 。令為“

8、似然比”：（上式在應(yīng)用中用作檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。）若總體實(shí)際上是按照概率密度f 而不是g 分布，則 Yn : n = 1, 2, 3, . 是關(guān)于 Xn : n = 1, 2, 3, . 的鞅。4 設(shè)每一變形蟲不是以概率p 分裂成兩個(gè)變形蟲，就是以概率1 p 最終死亡。令為n 代后變形蟲的存活數(shù)目（若種群在某一時(shí)刻滅絕，則這一時(shí)刻的= 0）。令r 為最終滅絕的概率（英語：GaltonWatson process）。（找出r 關(guān)于p 的函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中是非常有用的。提示：已知最初的一個(gè)變形蟲已經(jīng)分裂了，則這個(gè)變形蟲的后代最終滅絕的概率等於其分裂直接得到的兩個(gè)后代中任何一個(gè)死亡的概率。）則是關(guān)于 Xn: n = 1, 2, 3, . 的鞅。 當(dāng)前靴論及隨機(jī)積分理論己廣泛應(yīng)用于金融系統(tǒng)、隨機(jī)微分方程、估計(jì)理論、隨掃L控制等領(lǐng)域.隨著靴論的迅速發(fā)展。如今它已成為各種較有深度的概率論及其相應(yīng)著作的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)組成部分，