長春四模文科試題數(shù)學(xué)

1、2013年長春市高中畢業(yè)班第四次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(文科)第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）.1. 設(shè)集合，則為A.B.C. D.2. 關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法中正確的是A. 在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)C. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D. 設(shè)為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上3. 下列函數(shù)的圖像一定關(guān)于原點(diǎn)對稱的是A. B. C.D. 4. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則公比=A.B. C.2D. 5. 執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的值為A.11

2、B. 13C.15D. 46. 若在處取得最小值，則A. B.3C.D. 47. 設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是A. 是偶函數(shù)B. 最小正周期為C. 圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D. 在區(qū)間上是增函數(shù)8. 已知直線：，若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，且在軸上，則該圓的方程為A.B. C.D. 9. 某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為A.B.C.D.10. 如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則A. B. C. D. 11. 已知雙曲線以及雙曲線的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線的離心率為A. 2或B.或C. 2或D.或12. 已知空間4個球，它們的半徑均為2，每個

3、球都與其他三個球外切，另有一個小球與這4個球都外切，則這個小球的半徑為A. B. C. D. 第卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 設(shè)滿足約束條件，則的最大值為_.14. 已知為的三個內(nèi)角的對邊，滿足，向量，. 若，則角_.15. 給出下列5種說法：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動也越??；回歸分析就是研究兩個相關(guān)事件的獨(dú)立性；在回歸分析中，預(yù)報變量

4、是由解釋變量和隨機(jī)誤差共同確定的；相關(guān)指數(shù)是用來刻畫回歸效果的，的值越大，說明殘差平方和越小，回歸模型的擬合效果越好. 其中說法正確的是_（請將正確說法的序號寫在橫線上）.16. 函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的值域是_.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. （本小題滿分12分）數(shù)列滿足，且.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18. （本小題滿分12分）為了研究玉米品種對產(chǎn)量的影響，某農(nóng)科院對一塊試驗(yàn)田種植的一批玉米共10000株的生長情況進(jìn)行研究，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統(tǒng)計結(jié)果如下：高莖矮莖合計圓粒111

5、930皺粒13720合計242650(1) 現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再從這6株玉米中隨機(jī)選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；(2) 根據(jù)對玉米生長情況作出的統(tǒng)計，是否能在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)？(下面的臨界值表和公式可供參考：P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中)19. （本小題滿分12分）如圖，平面四邊形的4個頂點(diǎn)都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點(diǎn)，且平面，點(diǎn)為的中點(diǎn).(

6、1) 證明：平面平面；(2) 求點(diǎn)到平面的距離.20. （本小題滿分12分）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.(1) 求橢圓的方程；(2) 若是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，滿足向量與共線，與共線，且，求的取值范圍. 21. （本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.如圖，是的切線，過圓心，為的直徑，與相交于、兩點(diǎn)，連結(jié)、.(1) 求證：；(2

7、) 求證：. 23. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)檎胼S方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1) 求曲線的直角坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；(2) 設(shè)點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，求這兩條切線所成角余弦值的取值范圍. 24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.設(shè)函數(shù)，(1) 解不等式；(2) 設(shè)函數(shù)，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 2013年長春市高中畢業(yè)班第四次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)題號1

8、23456789101112答案CCBDBBDABCCA簡答與提示：1. 【命題意圖】本小題通過集合的性質(zhì)與運(yùn)算考查學(xué)生對集合問題的理解，本題屬于基本題.【試題解析】C由題可知，因此，故選C.2. 【命題意圖】本小題通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，本題將復(fù)數(shù)的考點(diǎn)考查的比較全面，是一道復(fù)數(shù)的綜合題，屬于基本題.【試題解析】C由題可知，若為純虛數(shù)，則，故選C.3. 【命題意圖】本小題通過三角函數(shù)考查復(fù)合函數(shù)的奇偶性，對學(xué)生的函數(shù)部分的基礎(chǔ)知識加以考查，并且要求學(xué)生有一定的數(shù)形結(jié)合的想象能力. 本小題是一道側(cè)重考查數(shù)學(xué)概念的基本題.【試題解析】B由奇函數(shù)定義可知，函數(shù)中，的定義域關(guān)于原

9、點(diǎn)對稱且，故選B.4. 【命題意圖】本小題通過等比數(shù)列的求和考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，要求學(xué)生全面的地把握本題，通過設(shè)置漏洞，以讓學(xué)生理解等比數(shù)列求和的易錯點(diǎn)，本小題是一道側(cè)重考查數(shù)學(xué)基本公式應(yīng)用的基本題.【試題解析】D由題可知，則，得，因此，故選D.5. 【命題意圖】本小題通過程序框圖考查學(xué)生的邏輯推理能力，要求學(xué)生將程序框圖讀懂，并且理解程序框圖的相關(guān)作用，本小題是一道基本題.【試題解析】B由程序框圖可知：，而后輸出值為13，故選B.6. 【命題意圖】本小題通過均值不等式考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，本小題是一道基本題.【試題解析】B由，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得等號，故選B.7. 【命題意

10、圖】本小題通過三角函數(shù)圖像考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合思想，本小題是一道基本題.【試題解析】D 由三角函數(shù)的性質(zhì)可知：的單調(diào)區(qū)間，則，當(dāng)時，故選D.8. 【命題意圖】本小題通過直線與圓的位置關(guān)系考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合思想，本小題是一道基本題.【試題解析】A 由題意，又直線與圓相切于點(diǎn)，且直線的傾斜角為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. ，于是所求圓的方程為，故選A.9. 【命題意圖】本小題通過三視圖考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是一道中檔難度的試題.【試題解析】B由三視圖可知，該幾何體可分為一個三棱錐和一個四棱錐，則，故選B.10. 【命題意圖】本小題通過平面向量考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，

11、同時也考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔難度的試題.【試題解析】C設(shè)與同方向的單位向量分別為，依題意有，又，則，所以. 故選C.11. 【命題意圖】本小題通過雙曲線考查學(xué)生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力，進(jìn)而考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔難度的試題.【試題解析】C由題可知，雙曲線漸近線的傾角為或，則或. 則或，故選C.12. 【命題意圖】本小題通過具體的立體幾何考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，著重考查幾何體中點(diǎn)線面的關(guān)系問題，是一道較難的試題.【試題解析】A由題意可知，小球球心為正四面體的中心，到頂點(diǎn)的距離為，從而所求小球的半徑.故選A. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分

12、，共20分) 13. 6 14. 15. 16. 簡答與提示:13. 【命題意圖】本小題通過線性規(guī)劃問題考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道基本題.【試題解析】如圖所示，在線性規(guī)劃區(qū)域內(nèi)，斜率為的直線經(jīng)過該區(qū)域并取最大值時，該直線應(yīng)過點(diǎn)，因此的最大值為6.14. 【命題意圖】本小題通過解三角形考查學(xué)生的運(yùn)用公式的求解問題的能力，是一道基本題.【試題解析】由，可知，于是，再由可得，解得：，所以.15. 【命題意圖】本小題通過統(tǒng)計學(xué)基本定義問題考查學(xué)生的統(tǒng)計學(xué)的思想，是一道中檔難度的綜合試題.【試題解析】由統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)定義可知，的說法正確. 16. 【命題意圖】本小題通過導(dǎo)數(shù)的基本知識考查學(xué)生的推理論證

13、能力，是一道中檔難度的綜合試題.【試題解析】由，令，則，則，即，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可求得在區(qū)間上的值域?yàn)?三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要通過遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求取，考查對考生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，對考生化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想提出較高要求. 本題屬于基礎(chǔ)試題，難度相對較低.【試題解析】解：(1) 由可知，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，.所以.(6分)(2) 由(1)可得，則的前項(xiàng)和. (12分)18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題通過統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，具體涉及到隨機(jī)變量的分布列

14、、數(shù)學(xué)期望的求法和統(tǒng)計案例中獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識內(nèi)容，考查學(xué)生對數(shù)據(jù)處理的能力，對考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力都有較高要求. 本題屬于統(tǒng)計概率部分綜合題，對考生的統(tǒng)計學(xué)的知識考查比較全面，是一道的統(tǒng)計學(xué)知識應(yīng)用的基礎(chǔ)試題.【試題解析】解：(1) 依題意，取出的6株圓粒玉米中含高莖2株，記為，矮莖4株，記為，從中隨機(jī)選取2株的情況有如下15種：.其中滿足題意的共有8種，則所求概率為.(6分)(2) 根據(jù)已知列聯(lián)表：高莖矮莖合計圓粒111930皺粒13720合計242650所以.又，因此能在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān).(12分)19. (本小題滿分12分)【

15、命題意圖】本小題通過立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等有關(guān)知識，考查考生的空間想象能力、推理論證能力，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的考查也有涉及，本題是一道立體幾何部分的綜合題，屬于中檔難度試題.【試題解析】(1) 證明：且，則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.(6分)(2) 由圖可知，即則，即點(diǎn)到平面的距離為. (12分)20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要通過對直線與圓錐曲線中橢圓的綜合應(yīng)用的考查，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識與圓錐曲線的綜合知識，提示考生對圓錐曲線的綜合題加以重視，本題主要考查考生的

16、推理論證能力，運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【試題解析】解：(1)由幾何性質(zhì)可知：當(dāng)內(nèi)切圓面積取最大值時，即取最大值，且.由得又為定值，綜上得；又由，可得，即，經(jīng)計算得，故橢圓方程為.(5分)(2) 當(dāng)直線與中有一條直線垂直于軸時，.當(dāng)直線斜率存在但不為0時，設(shè)的方程為：，由消去可得，代入弦長公式得：，同理由消去可得，代入弦長公式得：，所以令，則，所以，由可知，的取值范圍是. (12分)21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等知識內(nèi)容，考查考生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，其中重點(diǎn)對導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的描述進(jìn)行

17、考查，本題是一道難度較高且綜合性較強(qiáng)的壓軸題，也是一道關(guān)于數(shù)列拆分問題的典型例題，對今后此類問題的求解有很好的導(dǎo)向作用.【試題解析】解：(1) 當(dāng)時，由解得，由解得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(6分)(2)因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，、設(shè)()，只需即可由，(i)當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立(ii)當(dāng)時，由，因，所以，若，即時，在區(qū)間上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值，當(dāng)時，此時不滿足條件；若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，當(dāng)時，不滿足條件(iii)當(dāng)時，由，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(12分)22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明及其運(yùn)算，具體涉及到共圓圖形的判斷和圓的性質(zhì)以及兩個三角形全等的判斷和應(yīng)用等有關(guān)知識內(nèi)容.本小題針對考生的平面幾何思想與數(shù)形結(jié)合思想作出考查.【試題解析】解：(1) 由是圓的切線，因此弦切角的大小等于夾弧所對的圓周角，在等腰中，可得，所以.(5分)(2) 由與相似可知，由切割線定理可知，則，又，可得. (10分)23. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)