高中數(shù)學(xué)推理與證明 222 反證法課時作業(yè) 新人教版選修22

1、2.2.2反證法明目標、知重點1了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題1定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法 2反證法常見的矛盾類型：反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等情境導(dǎo)學(xué)王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，

2、早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”這就是著名的“道旁苦李”的故事王戎的論述，運用的方法即是本節(jié)課所要學(xué)的方法反證法探究點一反證法的概念思考1通過情境導(dǎo)學(xué)得上述方法的一般模式是什么？答(1)假設(shè)原命題不成立(提出原命題的否定，即“李子苦”)，(2)以此為條件，經(jīng)過正確的推理，最后得出一個結(jié)論(“早被路人摘光了”)，(3)判定該結(jié)論與事實(“樹上結(jié)滿李子”)矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法稱為反證法思考2反證法證明的關(guān)鍵是經(jīng)過推理論證，得出矛盾反證法引出的矛盾有幾種情況？答(1)與原題中的條件矛盾；(2)與定義、公理、定理、公式等矛盾；(3)與假

3、設(shè)矛盾思考3反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形探究點二用反證法證明定理、性質(zhì)等一些事實結(jié)論例1已知直線a，b和平面，如果a，b，且ab，求證：a.證明因為ab，所以經(jīng)過直線a，b確定一個平面.因為a，而a，所以與是兩個不同的平面因為b，且b，所以b.下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點假設(shè)直線a與平面有公共點P，如圖所示，則Pb，即點P是直線a與b的公共點，這與ab矛盾所以a.反思與感悟數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常用到的明顯事實，

4、它們的判定方法極少，宜用反證法證明正難則反是運用反證法的常見思路，即一個命題的結(jié)論如果難以直接證明時，可考慮用反證法跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知ab，a平面A.求證：直線b與平面必相交證明假設(shè)b與平面不相交，即b或b.若b，因為ba，a，所以a，這與aA相矛盾；如圖所示，如果b，則a，b確定平面.顯然與相交，設(shè)c，因為b，所以bc.又ab，從而ac，且a，c，則a，這與aA相矛盾由知，假設(shè)不成立，故直線b與平面必相交探究點三用反證法證明否定性命題例2求證：不是有理數(shù)證明假設(shè)是有理數(shù)于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得，從而有mn，因此m22n2，所以m為偶數(shù)于是可設(shè)m2k(k是正整數(shù))，從而有4k22n

5、2，即n22k2，所以n也為偶數(shù)這與m，n互質(zhì)矛盾由上述矛盾可知假設(shè)錯誤，從而不是有理數(shù)反思與感悟當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命題時，由于此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法跟蹤訓(xùn)練2已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列探究點四含至多、至少、唯一型命題的證明例3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有

6、兩個實根，設(shè)、為其中的兩個實根因為 ，不妨設(shè)<，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()<f()這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根反思與感悟當(dāng)一個命題的結(jié)論有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字樣時，常用反證法來證明，用反證法證明時，注意準確寫出命題的假設(shè)跟蹤訓(xùn)練3若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a、b、c中至少有一個大于0.證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0，而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)

7、2(z1)23，所以abc>0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.1證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個直角或鈍角B三角形中至少有兩個直角或鈍角C三角形中沒有直角或鈍角D三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A有一個內(nèi)角小于60° B每一個內(nèi)角都小于60°C有一個內(nèi)角大于60° D每一個內(nèi)角都大于60°答案B3“a<b”的反面應(yīng)是()Aab Ba>bCab Dab或a>b答案D4用反證法證明“

8、在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時，應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交答案D5已知a0，證明：關(guān)于x的方程axb有且只有一個根證明由于a0，因此方程至少有一個根x.如果方程不止一個根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個不同的根，即ax1b，ax2b. ，得a(x1x2)0.因為x1x2，所以x1x20，所以應(yīng)有a0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯誤所以，當(dāng)a0時，方程axb有且只有一個根呈重點、現(xiàn)規(guī)律1反證法證明的基本步驟是什么？(1)假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的；(反設(shè))(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實矛盾；(推繆)(3

9、)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論是正確的(結(jié)論)2反證法證題與“逆否命題法”是否相同？反證法的理論基礎(chǔ)是逆否命題的等價性，但其證明思路不完全是證明一個命題的逆否命題反證法在否定結(jié)論后，只要找到矛盾即可，可以與題設(shè)矛盾，也可以與假設(shè)矛盾，與定義、定理、公式、事實矛盾因此，反證法與證明逆否命題是不同的.一、基礎(chǔ)過關(guān)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A B C D答案D2否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為()Aa，b，c都是偶數(shù)Ba，b，c都是奇數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中都

10、是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)答案D解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為“a，b，c”中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)3有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有()A0個 B1個 C2個 D3個答案B解析錯：應(yīng)為ab；對；錯：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯：應(yīng)為三角形可以有2個或2

11、個以上的鈍角4用反證法證明命題：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時，否定結(jié)論應(yīng)為()Aa，b，c都是偶數(shù)Ba，b，c都不是偶數(shù)Ca，b，c中至多一個是偶數(shù) D至多有兩個偶數(shù)答案B解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是_

12、.答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個整數(shù)根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8已知x1>0，x11且xn1(n1,2，)，試證：“數(shù)列xn對任意的正整

13、數(shù)n都滿足xn>xn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1D存在正整數(shù)n，使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2 B至少有一個大于2C至少有一個不小于2 D至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則(a)(b)(c)<6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2

14、a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0，a<1或a>.2(2a)28a4a(a2)<0，2<a<0，故2<a<1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a2或a1.11已知abc>0，abbcca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由abc>0，可得c>

15、(ab)，又ab<0，c(ab)<(ab)(ab)，abc(ab)<(ab)(ab)ab，即abbcca<a2abb2，a2>0，ab>0，b2>0，a2abb2(a2abb2)<0，即abbcca<0，這與已知abbcca>0矛盾，所以假設(shè)不成立因此a>0，b>0，c>0成立12已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于，即(1a)b>，(1b)c>，(1c)a>，三式相乘得(1a)a·(1b)b·(1c)c>，又因為0<a<1，所以0<a(1a)()2.同理0<b(1b)，0<c(1c)，所以(1a)a·(1b)b·(1c)c與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與拓展13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面