高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 153 微積分基本定理習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.5.3微積分基本定理明目標(biāo)、知重點1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分1微積分基本定理對于被積函數(shù)f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)2定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則(1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時，如圖(1)，則f(x)dxS上(2)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸下方時，如圖(2)，則f(x)dxS下(3)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方、x軸下方均存在時，如圖(3)，則f(x)dxS上S下，若S上S下，則f(x)dx0.情境導(dǎo)學(xué)從前面的學(xué)習(xí)中可以

2、發(fā)現(xiàn)，雖然被積函數(shù)f(x)x3非常簡單，但直接用定積分的定義計算x3dx的值卻比較麻煩有沒有更加簡便、有效的方法求定積分呢？另外，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個重要的概念導(dǎo)數(shù)和定積分，這兩個概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系呢？我們能否利用這種聯(lián)系求定積分呢？探究點一微積分基本定理思考1如下圖，一個做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是sy(t)，并且y(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時刻t的速度v(t)y(t)設(shè)這個物體在時間段a，b內(nèi)的位移為s，你能分別用y(t)，v(t)表示s嗎？答由物體的運動規(guī)律是sy(t)知：sy(b)y(a)，通過求定積分的幾何意義，可得sv(t)dty(t)dt，所以v(t)

3、dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)小結(jié)(1)一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)這個結(jié)論叫做微積分基本定理(2)運用微積分基本定理求定積分f(x)dx很方便，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出滿足F(x)f(x)的F(x)思考2對一個連續(xù)函數(shù)f(x)來說，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，會影響微積分基本定理的唯一性嗎？答不唯一，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，若F(x)f(x)，則對任意實數(shù)c，F(xiàn)(x)cF(x)cf(x)不影響，因為f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1計算下列定積分：(1)dx；(2)(2x

4、)dx；(3)(cos xex)dx.解(1)因為(ln x)，所以dxln 2ln 1ln 2.(2)因為(x2)2x，()，所以(2x)dx2xdxdxx2|(91)(1).(3)因為(sin x)cos x，(ex)ex，所以(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.反思與感悟求簡單的定積分關(guān)鍵注意兩點：(1)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)不易求時，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；(2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限跟蹤訓(xùn)練1若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_答案S2<S

5、1<S3解析S1x2dxx3|，S2dxln x|ln 2<1，S3exdxex|e2ee(e1)>.所以S2<S1<S3.探究點二分段函數(shù)的定積分例2已知函數(shù)f(x)先畫出函數(shù)圖象，再求這個函數(shù)在0,4上的定積分解圖象如圖f(x)dx(x1)dx(cos x)(x2x)|1(2)(40)7.反思與感悟求分段函數(shù)的定積分，分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對于含絕對值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)求f(x)dx.解f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3|(sin xx)|sin 1.探究點三定積分的應(yīng)用例3計算

6、下列定積分：sin xdx，sin xdx，sin xdx.由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解因為(cos x)sin x，所以sin xdx(cos x)|(cos )(cos 0)2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos )2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos 0)0.可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0：定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系：(1)位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于對應(yīng)區(qū)間的積分；(2)位于x軸下方的曲邊梯形的面積等于對應(yīng)區(qū)間的積分的相反數(shù)；(3)定積分的值就是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位

7、于x軸下方的曲邊梯形面積反思與感悟求平面圖形面積的步驟畫函數(shù)的圖象，聯(lián)立方程組求出曲線的交點坐標(biāo)將曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積確定被積函數(shù)和積分區(qū)間，計算定積分，求出面積跟蹤訓(xùn)練3求曲線ysin x與直線x，x，y0所圍圖形的面積(如圖所示)解所求面積為S12(1)4.1_.答案2解析(xsin x)1cos x，(xsin x)sin2.2若(2x)dx3ln 2，則a的值是_答案2解析(2x)dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.3(x2x)dx_.答案解析(x2x)dxx2dxxdx|.4若x2dx9，則常數(shù)T的值為_答案3解析x2dxx3×T

8、39.T327，T3.5已知f(x)計算f(x)dx.解取F1(x)2x22x，則F1(x)4x2；取F2(x)sin x，則F2(x)cos x.所以sin x21，即f(x)dx21.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分(2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分2由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對應(yīng)圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù).一、基礎(chǔ)過關(guān)1已知物體做變速直線運

9、動的位移函數(shù)ss(t)，那么下列命題正確的是_它在時間段a，b內(nèi)的位移是ss(t)|；它在某一時刻tt0時，瞬時速度是vs(t0)；它在時間段a，b內(nèi)的位移是ss(t)dt.答案2若F(x)x2，則F(x)的解析式正確的是_F(x)x3F(x)x3F(x)x31F(x)x3c(c為常數(shù))答案3(ex2x)dx_.答案e解析(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.4若(2xk)dx2，則k_.答案1解析(2xk)dx(x2kx)|1k2，所以k1.5由直線x1，x4，y0和曲線y1圍成的曲邊梯形的面積是_答案解析設(shè)所求面積為S，由定積分幾何意義知，S(1)dx(xx)|(4)(

10、1).6若(2axa1)dx5，則實數(shù)a_.答案1解析由(2axa1)dx5，得ax2(a1)x|4a15，解得a1.7計算定積分|x22x|dx.解令f(x)|x22x|，即f(x)則f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x22x)dx(2xx2)dx(x3x2)|(x2x3)|(4)(4)8.二、能力提升8設(shè)f(x)，若ff(1)1，則a_.答案1解析因為x1>0，所以f(1)lg 10.又x0時，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因為ff(1)1，所以a31，解得a1.9設(shè)函數(shù)f(x)ax2c (a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，則x0的值為_答案解析

11、(ax2c)dxaxc，ax，a0，x，又0x01，x0.10.設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx5，xf(x)dx，則f(x)的解析式為_答案f(x)4x3解析因為f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，則f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.由得11.已知f(a)(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解(ax3a2x2)2ax2a2x，(2ax2a2x)dx(ax3a2x2)|aa2，即f(a)aa2(a2a)(a)2，當(dāng)a時，f(a)有最大值.12.物體A以速度vA3t21(米/秒)在一直線上運動，同時物體B也以速度vB10t(米/秒)在同一直線上與物體A同方向運動，問多長時間物體A比B多運動5米，此時，物體A，B運動的距離各是多少？解設(shè)a秒后物體A比B多運動5米，則A從開始到a秒末所走的路程為sAvAdt(3t21)dta3a；B從開始到a秒末所走的路程為sBvBdt10tdt5a2.由題意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此時s