高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(人教A版)

1、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用自主梳理1向量數(shù)量積的定義(1)向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量_.|a|b|cos _叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_ a·b|a|b|cos _，其中向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；注意 在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°q180°。C規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.即（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_|b|cos _的乘積.(3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：如果e是單位向量，則a&

2、#183;ee·a_|a|cos _；非零向量a，b，ab_a·b0_；當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b_|a|b|_；（兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是_ a·b0_）當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b_|a|b|_，a·a_ a2_|a|2_，|a|_；（兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是_ a·b±|a|b|_）cos _；|a·b|_|a|b|.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b_ b·a _；(2)分配律：(ab)·c_ a·cb·c _；(3)數(shù)乘向量結(jié)合律

3、：(a)·b_(a·b)_.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·b x1x2y1y(2) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.(3) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos _.(4)若a(x，y)，則|a|2或|a|. (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），則_(x2x1，y2y1)_，所以|_.點(diǎn)評：1.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角

4、的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍.2.a·b0不能推出a0或b0，因?yàn)閍·b0時(shí)，有可能ab.3.一般地，(a·b)c(b·c)a即乘法的結(jié)合律不成立.因a·b是一個(gè)數(shù)量，所以(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，同理右邊(b·c)a表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(a·b)c(b·c)a.4.a·ba·c(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形ABC中，應(yīng)為120°，而不是60

5、76;.自我檢測1.已知向量a和向量b的夾角為135°，|a|2， |b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b_3_.2.在RtABC中，C=90°,AC=4,則·等于 ()A16B8C8D163已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab| ()A0B2C4D8B2.4.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實(shí)數(shù)的值為_.5.已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_.6.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有_(a·b)c(c·a)b0；|a|b|<

6、|ab|；(b·c)a(a·c)b不與c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.7.平面上有三個(gè)點(diǎn)A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，則動點(diǎn)C的軌跡方程為_解析由題意得， ，又，·0，即·0，化簡得y28x(x0)8.若等邊ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則·_.解析合理建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得，所以·2.題型一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1（1）已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·

7、;(bc)0，則|c|的最大值是_. (2)如圖，在ABC中，ADAB，|1，則·等于()A.2 B. C.D.解法1基底法:，()(1).又ADAB，|1.·(1)·.法2定義法設(shè)BDa，則BCa，作CEBA交的延長線于E，可知DACACE，在RtABD與RtBEC中， RtABDRtBEC中，,CE，cosDACcosACE.·|·|cosDAC|·| cosACE.法3坐標(biāo)法變式訓(xùn)練1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|b|1，則(3a)·(ab)_3_.(2)如下圖，在中，是邊上的高，則

8、的值等于 （ ）A0BC4D【思路點(diǎn)撥】充分利用已知條件的，借助數(shù)量積的定義求出【答案】B【解析】因?yàn)?，是邊上的?.（3）設(shè)向量a，b，c滿足|a|b|1，a·b，ac，bc60°，則|c|的最大值等于()A2B.C.D1【解析】a·b，且|a|b|1，cosa，b.a，b120°.如圖所示，將a，b，c的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn)O，則ac，bc，ACB60°，于是四點(diǎn)A，O，B，C共圓，即點(diǎn)C在AOB的外接圓上，故當(dāng)OC為直徑時(shí)，|c|取最大值由余弦定理，得AB，由正弦定理，得2R2，即|c|的最大值為2.題型二向量的夾角與向量的模例2已知|a|4

9、，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a與b的夾角； (2)求|ab|； (3)若a，b，求ABC的面積.例2解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos .又0，.(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積.|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC×4×3×3.變式訓(xùn)練2(1)已知平面向量，|1，(2

10、,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三個(gè)向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc與向量a的夾角.解(1)(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.(2)由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos 120°3cos 120°，|abc|.設(shè)向量abc與向量a的夾角為，則cos ，即150°，故向量abc與向量a的夾角為150°. (3)已知i，j為互相垂直的單位向量

11、，ai2j，bij，且a與b的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為_解析a，b(0，)，a·b>0且a·b不同向即|i|22|j|2>0，<.當(dāng)a·b同向時(shí)，由akb(k>0)得2.<且2.（4）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則|3|的最小值為_解以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPy.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，3(5,3a4y)，|3|225(3a4y)2

12、，點(diǎn)P是腰DC上的動點(diǎn)，0ya，因此當(dāng)ya時(shí)，|3|2的最小值為25，|3|的最小值為5.題型三平面向量的垂直問題例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0<<<).(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實(shí)數(shù)) (1)證明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直.(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|=，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos(

13、).又k0，cos()0.而0<<<，0<<，.變式訓(xùn)練3(1)已知平面向量a(，1)，b.證明：ab； 若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t).證明a·b×1×0，ab.解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0，又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t) (t0).（2）已知a(cos ，sin )，b(cos ，si

14、n )，且kab的長度是akb的長度的倍(k>0) 求證：ab與ab垂直；用k表示a·b； 求a·b的最小值以及此時(shí)a與b的夾角.點(diǎn)撥：1.非零向量aba·b0x1x2y1y20.2當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示但要注意運(yùn)算技巧，有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運(yùn)算，要因題而異解由題意得，|a|b|1，(ab)·(ab)a2b20，ab與ab垂直|kab|2k2a22ka·bb2k22ka·b1，(|akb|)23(1k2)6ka·b.由條件知，k22ka·b13(1

15、k2)6ka·b，從而有，a·b(k>0)由(2)知a·b(k)，當(dāng)k時(shí)，等號成立，即k±1.k>0，k1.此時(shí)cos ，而0，.故a·b的最小值為，此時(shí).（3）設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a與b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求證：ab.解因?yàn)閍與b2c垂直，所以a·(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.解由bc(sin cos

16、 ，4cos 4sin )，得|bc|4.又當(dāng)時(shí)，等號成立，所以|bc|的最大值為4.證明由tan tan 16得即所以ab.（4）如圖441所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE2EB.求證：ADCE.解·()·()|2···|2|cos 90°|2cos 45°|2cos 45°|2|20，即ADCE.,（5）在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值解：當(dāng)A = 90°時(shí)，×= 0，2&#

17、215;1 +3×k = 0 k =當(dāng)B = 90°時(shí)，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k =當(dāng)C= 90°時(shí)，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =題型四向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用例4已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)a·bcos xcos sin xsin cos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x>0，|ab|

18、2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取得最大值1.變式遷移4 （1）已知ABC的面積S，·3S，且cos B，求cos C.解由題意，設(shè)ABC的角B、C的對邊分別為b、c，則Sbcsin A·bccos A3Sbcsin A >0，A，cos A3sin A.又sin2Acos2A1，sin A，cos A.由題意cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.cos Ccos(AB).（2）已知ABC中，角

19、A、B、C的對邊分別為a、b、c，G是ABC的重心，且56sin A·40sin B·35sin C·0.(1)求角B的大??；(2)設(shè)m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k>1)，m·n的最大值為5，求實(shí)數(shù)k的值解：(1)由G是ABC的重心，得0，由正弦定理，可將已知等式轉(zhuǎn)化為整理，得(56a35c)·(40b35c)·0.，不共線，由此，得abc578.不妨設(shè)a5，b7，c8，由余弦定理，得cos B.0<B<，B.(2)m·n4ksin Acos 2A2sin2A4ksin A1，由(1)得

20、B，所以AC，故得A.設(shè)sin At(0,1，則m·n2t24kt1，t(0,1令f(t)2t24kt1，則可知當(dāng)t(0,1，且k>1時(shí)，f(t)在(0,1上為增函數(shù)，所以，當(dāng)t1時(shí)，m·n取得最大值5.于是有：24k15，解得k，符合題意，所以，k.（3）已知等邊三角形ABC的邊長為2，A的半徑為1，PQ為A的任意一條直徑，判斷的值是否會隨點(diǎn)P的變化而變化，請說明理由；求的最大值。1一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論：(1)若|a|b|，則ab；(2)若a2b2，則ab；(3)若ab，bc，則ac；(4)若a·b0，則a0或b0；(5)|a·b|a|·

21、|b|；(6)(a·b)ca(b·c)；(7)若a·ba·c，則bc.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a與b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示向量a的模|a|a|a與b的數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2a與b共線的充要條件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要條件aba·b0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：（1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證

22、明22或|.（2）要證兩線段ABCD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)0，使等式成立即可（3）要證兩線段ABCD，只需證·0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一一、選擇題1若向量a(3，m)，b(2，1)，a·b0，則實(shí)數(shù)m的值為 ()AB. C2D61D因?yàn)閍·b6m0，所以m6.2已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，則實(shí)數(shù)k的值為 ()A6 B3C3D62D由(2a3b)·(ka4b)0得2k120，k6.3.已知ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC等于 ()A30°B15

23、0°C150°D30°或150°3CSABC|a|b|sinBAC，sinBAC.又a·b<0，BAC為鈍角BAC150°.4若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)·b0，則a與b的夾角為 ()A30°B60°C120°D150°4C由(2ab)·b0，得2a·b|b|2.cosa，b.a，b0°，180°，a，b120°.5.設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|a2b|等于 ()A.B. C. D.6.已知向

24、量a(1,2)，b(2，3).若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c等于()A. B. C.D.7.在ABC中，AB3，AC2，BC，則·等于 ()A. B. C.D.8.若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B.1C. D.29.已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是 ()A.4 B.4 C.2 D.210.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，它們兩兩之間的夾角均為120°，且|kabc|>1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(，0) B.(2，)

25、C.(，0)(2，) D.(0,2)二、填空題11設(shè)a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若a·b，則sin _.解析a·bcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin 12若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_解析設(shè)a與b的夾角為，cab，ca，c·a0，即(ab)·a0.a2a·b0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0°，180°即120°.13已知向量m(1,1)，向量n與向量m夾角為，且m·n1，則向量n_.解析設(shè)n(x，

26、y)，由m·n1，有xy1.由m與n夾角為，有m·n|m|·|n|cos ，|n|1，則x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)14.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_6_.三、解答題15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解e4，e1，e1·e22×1×cos 60°1，(2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e

27、1·e27te2t215t7.向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，2t215t7<0.7<t<.假設(shè)2te17e2(e1te2) (<0)2t27t，.當(dāng)t時(shí)，2te17e2與e1te2的夾角為，不符合題意.t的取值范圍是.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·0，求t的值.解(1)由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4).所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題設(shè)知(2，1)

28、，t(32t,5t).由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，從而5t11，所以t.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解 設(shè)存在點(diǎn)M，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得或M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或.故在線段OC上存在點(diǎn)M，使，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(，)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)二一、選擇題1設(shè)R,向量,且,則（）ABCD10【解析】由,由,故. 2、定義：，其中為向量與的夾角，若，則等于（）A B

29、C或 D【解析】由，得，所以=3若向量a與b不共線，a·b0，且cab，則向量a與c的夾角為_解析：由于a·ca·a·aa·b，又a·b0，a·c|a|2|a|20，所以ac.答案：90°4如圖，非零向量（）ABCD5在中，是邊上的高，若，則實(shí)數(shù)等于（）AB C D6已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 A. 0, B. C. D. 解： 且關(guān)于的方程有實(shí)根，則，設(shè)向量的夾角為，cos=，選B.7.設(shè)非零向量、滿足，則( )A150° B.120° C.60° D.30&#

30、176;8、（2012湖南理）在ABC中,AB=2,AC=3,= 1則.（）ABCD【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 9在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD二、填空題10.若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_.11.已知向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，則|a|2|b|2|c|2的值是_4_.12.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0·1,0·1，則z·的最大值為_3

31、_.三、解答題13.設(shè)平面上有兩個(gè)向量a(cos ，sin ) (0°<360°)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時(shí)，求的大小.證明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab與ab垂直.(2)解由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，則·cos ·sin 0，即cos(60°)0，60°k·180°90°， 即k·180°30°，kZ，又0°<360°，則30°或210°.14已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，滿足xy，試求此時(shí)的最小值 (1)證明a·bcos()·cossin·sinsin