高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 33 復(fù)數(shù)的幾何意義習(xí)題 蘇教版選修22

1、第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義習(xí)題 蘇教版選修2-2明目標(biāo)、知重點1.了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會用復(fù)平面上的點表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)的加減運算的幾何意義.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法1復(fù)數(shù)的幾何意義任何一個復(fù)數(shù)zabi和復(fù)平面內(nèi)Z(a，b)一一對應(yīng)，和以原點為起點，以Z(a，b)為終點的向量一一對應(yīng)2復(fù)數(shù)的模設(shè)zabi，則|z|.3復(fù)平面中兩點的距離兩個復(fù)數(shù)差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點間的距離情境導(dǎo)學(xué)我們知道實數(shù)的幾何意義，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表示，那么復(fù)數(shù)的幾何意義是什么呢？探究點一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點思考1實數(shù)可用數(shù)軸上的點

2、來表示，類比一下，復(fù)數(shù)怎樣來表示呢？答任何一個復(fù)數(shù)zabi，都和一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)一一對應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集可以建立一一對應(yīng)小結(jié)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)思考2判斷下列命題的真假：在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點都在虛軸上；在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于非純虛數(shù)的點都分布在四個象限答根據(jù)實軸的定義，x軸叫實軸，實軸上的點都表示實數(shù)，反過來，實數(shù)對應(yīng)的點都

3、在實軸上，如實軸上的點(2,0)表示實數(shù)2，因此是真命題；根據(jù)虛軸的定義，y軸叫虛軸，顯然所有純虛數(shù)對應(yīng)的點都在虛軸上，如純虛數(shù)5i對應(yīng)點(0,5)，但虛軸上的點卻不都是純虛數(shù)，這是因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0表示的是實數(shù)，故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，所以是真命題，是假命題；對于非純虛數(shù)zabi，由于a0，所以它對應(yīng)的點Z(a，b)不會落在虛軸上，但當(dāng)b0時，z所對應(yīng)的點在實軸上，故是假命題例 1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對應(yīng)的點(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實數(shù)m的取值范圍解復(fù)數(shù)z(m2m2)(

4、m23m2)i的實部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20.解得m2或m1.(2)由題意得，1m0，得m5，所以當(dāng)m5時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在x軸上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以當(dāng)m1或m時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線xy40上探究點二復(fù)數(shù)與向量思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量怎樣建立對應(yīng)關(guān)系？答當(dāng)向量的起點在原點時，該向量可由終點唯一確定，從而可與該終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系思考2怎樣定義復(fù)數(shù)z的模？它有什么意義？答復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，記作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示點Z(a，b)到原點的距離例 2已知復(fù)數(shù)z3

5、ai，且|z|4，求實數(shù)a的取值范圍解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|4知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對應(yīng)的點在直線x3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合由圖可知：a，|z1|z2|.探究點三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對應(yīng)，則有(a，b)，(c，d)，由向量加法的幾何意義(ac，bd)，所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量

6、的加法來進行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因為復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對應(yīng)的向量(如圖)圖中對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.例3如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0,32i，24i.求：(1)表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線表示的復(fù)數(shù)；(3)對角線表示的復(fù)數(shù)解(1)因為，所以表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)因為，所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)因為對角線，所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，

7、體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運用跟蹤訓(xùn)練 3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點，z1、z2、z1z2對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為A、B、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是邊長為1的正三角形，四邊形OACB是一個內(nèi)角為60，邊長為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長的對角線OC的長，|z1z2|OC|.方法三|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2

8、|22(1212)123.|z1z2|.1在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點在直線yx上，則實數(shù)m的值為_答案9解析z(m3)2i表示的點在直線yx上，m32，解之得m9.2已知復(fù)數(shù)(2k23k2)(k2k)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)k的取值范圍是_答案(1,2)解析復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，即k的取值范圍為(1,2)3若復(fù)數(shù)z11，z22i分別對應(yīng)復(fù)平面上的點P、Q，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案3i解析P(1,0)，Q(2,1)，(3,1)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.4若|z2|z2|，則|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z對應(yīng)點的軌跡是到(2,0)與到(2,0)距離相等的點

9、，即虛軸|z1|表示z對應(yīng)的點與(1,0)的距離|z1|min1.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng)2研究復(fù)數(shù)的問題可利用復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實虛部的問題，也可以結(jié)合圖形利用幾何關(guān)系考慮.一、基礎(chǔ)過關(guān)1復(fù)數(shù)zi3對應(yīng)的點在復(fù)平面第_象限答案四解析zi3i，z對應(yīng)點Z(，1)在第四象限2當(dāng)0m1時，z(m1)(m1)i對應(yīng)的點位于第_象限答案四解析0m0，1m10，故對應(yīng)的點在第四象限內(nèi)3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案24i解析A(6,5)，B(2

10、,3)，C為AB的中點，C(2,4)，點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為24i.4復(fù)數(shù)|z2i|1代表的曲線為_答案以(2,1)為圓心，1為半徑的圓5已知復(fù)數(shù)zai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z|2，則復(fù)數(shù)z_.答案1i解析因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若復(fù)數(shù)(6k2)(k24)i(kR)所對應(yīng)的點在第三象限，則k的取值范圍是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7(1)已知向量與實軸正向的夾角為45，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)z的模為1，求z.(2)若z|z|2，求復(fù)數(shù)z.解(1)設(shè)zabi(a，bR)與x軸正向的夾角為45，|z|1，

11、或，或.zi或zi.(2)z|z|2，z2|z|R，當(dāng)z0時，|z|z，z1，當(dāng)z0時，無解，z1.二、能力提升8已知|z1|，|z2|，|z1z2|2，則|z1z2|_.答案解析|z1z2|2，即|2.228.28323.|z1z2|22223322.|z1z2|.9復(fù)數(shù)1cos isin (2)的模為_答案2cos 解析|1cos isin |2|cos |，2，cos 0，|1cos isin |2cos .10已知復(fù)數(shù)z(x1)(2x1)i的模小于，則實數(shù)x的取值范圍是_答案解析根據(jù)模的定義得，5x26x80，(5x4)(x2)0，x2.11.實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z(m28m15)(m23m28)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點：(1)位于第四象限；(2)位于x軸負半軸上；(3)在上半平面(含實軸)解(1)要使點位于第四象限，須，7m3.(2)要使點位于x軸負半軸上，須，m4.(3)要使點位于上半平面(含實軸)，須m23m280，解得m4或m7.12.已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為(O