平行四邊形與特殊的平行四邊形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平行四邊形的性質(zhì)與判定一、總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)與判定原理：性質(zhì)原理判定原理 邊1、 兩組對(duì)邊分別平行；2、 兩組對(duì)邊分別相等；1、 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2、 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3、 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；角3、對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；4、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；線4、對(duì)角線互相平分。5、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。【問(wèn)題1】我們學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)是從哪幾個(gè)方面來(lái)研究的？ 從“邊、角、線”三個(gè)方面，其中“線”指的是對(duì)角線。【問(wèn)題2】判定一個(gè)四邊形是平行四邊形必須有幾個(gè)條件？ 必須具備兩個(gè)條件；注

2、意判定原理5“對(duì)角線互相平分”也是兩個(gè)等量。 圖P-01二、總結(jié)與平行四邊形相關(guān)的性質(zhì)：（注意，以下性質(zhì)只可用來(lái)指導(dǎo)解證題，在填空、選擇題中可直接使用，但在解答題中不可直接當(dāng)作原理使用）【平行四邊形對(duì)角線相關(guān)性質(zhì)】 平行四邊形每一條對(duì)角線將其分成兩個(gè)全等的三角形；平行四邊形的對(duì)角線將其分成四個(gè)面積相等的小三角形；相對(duì)的兩個(gè)小三角形全等；相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差就等于邊長(zhǎng)之差。 如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，則ABO、ADO、CDO、CBO的面積相等。依據(jù)是每相鄰兩個(gè)三角形都是“等底同高”。 練習(xí)如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，若SABO=2，則SABD= ；SABCD=

3、如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，則圖中共有 對(duì)全等三角形。 如圖P-01，已知，ABCD的周長(zhǎng)為28，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，ABO的周長(zhǎng)比CBO的周長(zhǎng)多4，則AB= ，BC= 圖P-02 如圖P-01，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，已知AB=8，BC=6，ABO的周長(zhǎng)為17，則CBO的周長(zhǎng)= 在平行四邊形內(nèi)，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)且兩端點(diǎn)在平行四邊形邊上的線段一定被對(duì)角線交點(diǎn)平分；如圖P-02，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，線段 EF過(guò)點(diǎn)O，則OE=OF；證AEOCFO即可練習(xí)如圖P-02，ABCD中，EF過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O，若AB=5，BC=4，EO=3，則四邊形CDEF的周長(zhǎng)為 圖P-03如

4、圖P-03，ABCD中有圓O，請(qǐng)你畫(huà)一條直線，將此平行四邊形及圓O的面積分成相等的兩部分。 若設(shè)平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2和2(>)，則此平行四邊形每條邊長(zhǎng)的取值范圍為<<練習(xí)如圖P-01，若AC=8，BD=12，則 AB的取值范圍是 三角形一邊上的中線的取值范圍為：大于另兩邊之差，小于另兩邊之和。 圖P-04 如圖P-04，已知D為ABC中BC邊上的中點(diǎn)， AB=5，AC=7，求AD的取值范圍。提示延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE、EC，易證得ABEC；記住此法：倍長(zhǎng)中線法，是常用的輔助線作法【四邊形四邊中點(diǎn)連線性質(zhì)】 順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形

5、； 圖P-05 如圖P-05，連結(jié)AC，由三角形中位線原理可得：HG、EF都平行且等于AC，HG平行且等于EF，得平行四邊形 注：此性質(zhì)在學(xué)習(xí)了菱形、矩形后還有擴(kuò)充。【等腰三角形與平行線相關(guān)性質(zhì)】 從等腰三角形底邊上任一點(diǎn)做兩腰的平行線， 圖P-06可得一平行四邊形和兩個(gè)小的等腰三角形，且平行四邊形的周長(zhǎng)等于兩腰長(zhǎng)之和；如圖P-06，AB=AC，DEAC，DFAB 易得1=B，2=C，而B(niǎo)=C， 1=C，2=B練習(xí)如圖P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上 一點(diǎn)，DEAC，DFAB，求四邊形AFDE的周長(zhǎng)。 圖P-07 一條角平分線與平行線相交時(shí)常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形； 如圖P-07，AB

6、CD，1=2，則易證 1=3，2=3，得等腰AED練習(xí)如圖P-08，在ABCD中，AB=7，AD=3，DAB的的平分線交CD于E，交BC的延長(zhǎng)線 圖P-08于F，求CF長(zhǎng) 如圖P-09，ABC中，ABC與ACB的角 圖P-09 平分線交于點(diǎn)F，DEBC且過(guò)點(diǎn)F 求證：DE=BD+EC【中位線相關(guān)性質(zhì)】 三角形中位線原理： 三角形的中位線平行且等于第三邊的一半； 三角形中位線原理推論：過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線必平分第三邊。 圖P-10 如圖P-10，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，則有： DEBC，DE=BC；若已知D為AB中點(diǎn)， DEBC，則有：AE=CE練習(xí)證明三角形中位線原理推論 已

7、知： 求證： 證明： 三角形的三條中位線將原三角形分成的四個(gè)小三角形的全等，周長(zhǎng)都等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積都等于原三角形面積的1/4。 圖P-11 如圖P-11，D、E、F分別是ABC三邊中點(diǎn)，則圖中 四個(gè)小三角形都全等，且面積都等于ABC面積的1/4；周長(zhǎng)都等于ABC周長(zhǎng)的1/2；圖中共有3個(gè)平行四邊形。練習(xí)如圖P-11，D、E、F分別是ABC三邊中點(diǎn)， AB=6，AC=7，BC=10，則DEF的周長(zhǎng)為 圖P-12三、典型題例與解題思路 【例1】如圖P-12，ABCD中，E、F為AC上兩點(diǎn)， 且AE=CF，求證：四邊形DEBF是平行四邊形思路分析 本類題型是在平行四邊形中求證某四邊形是平

8、行四邊形，證題思路較有規(guī)律，都是先由原平行四邊形得到一些條件，再證得其它條件，或由全等三角形或由平行四邊形的判定原理得到所要求證的四邊形是平行四邊形。 在證本類題型時(shí)，首先要想清楚自己要選用哪種方法（原理）來(lái)證。幾何證明題的方法往往有多種，不一定要是最簡(jiǎn)單的，但在找條件時(shí)不能亂，不要所有能用的不用的都寫上去。以本題為例，我們要證BFDE，可以選用的方法有“兩組對(duì)邊分別相等”、 “兩組對(duì)邊分別平行”、 “一組對(duì)邊平行且相等”、“對(duì)角線互相平分”等方法，選定一種后，就找對(duì)應(yīng)的條件。 我們先看第一種方法：兩組對(duì)邊分別相等。要證DE=BF，BE=DF，我們可以用全等來(lái)證，先用AEBCFD得BE=DF，

9、再同理得DE=BF。解題格式 證： 有ABCD （已知）AB=CD，ABCD（平行四邊形性質(zhì)） 1=2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又AE=CF （已知） 在AEB和CFD中：AB=CD 1=2 AE=CF AEBCFD （SAS） BE=DF （全等性質(zhì)） 同理：DE=BF 有DEBF （兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）同題練習(xí) 用“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證： 用“對(duì)角線互相平分”來(lái)證： 同類練習(xí) 如圖P-13，ABCD中，E、F分別為AB、CD中點(diǎn)，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求證：四邊形EHFG是平行四邊形思路分析可以先用 來(lái)證DEBF，從而得DEBF；再同理證得 ；最

10、終用 的原理來(lái)證得。 圖P-13 解題過(guò)程 如圖P-14，ABCD中，E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且DF=BE， 圖P-14 求證：AF=CE思路分析可以用全等的方法證，也可以直接證AECF，從而得對(duì)邊相等。解題過(guò)程 方法一：用全等的方法 方法二：先證AECF 求證：平行四邊形一條對(duì)角線的兩個(gè)個(gè)端點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等。 （要求畫(huà)圖，寫出已知、求證并證明） 圖P-15【例2】如圖P-15，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、 E、F、G分別是AB、AC、OB、OC的中點(diǎn) 求證：四邊形DEFG是平行四邊形思路分析 此類題型是利用中位線原理來(lái)證題，要 證DEFG，只要證一組對(duì)邊平行且相等就 可以了；我們可

11、以選定DE與FG解題過(guò)程 證： 在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) DEBC，DE=1/2BC （三角形中位線性質(zhì)） 同理：FGBC，F(xiàn)G=1/2BC FG=DE （等量代換）FGDE 有DEFG（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）練習(xí)求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。 （寫出已知、求證并證明） 菱形的性質(zhì)與判定一、菱形的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)比較平行四邊形菱形變化情況邊1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行不變2、對(duì)邊相等2、四邊相等升級(jí)角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等不變線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相平分且垂直升級(jí)5、每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角新性質(zhì)二、菱形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判

12、定邊1、對(duì)邊平行2、四邊相等1、四條邊都相等的四邊形是菱形2、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形角3、對(duì)角相等線4、對(duì)角線互相平分且垂直3、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形4、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形5、每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角三、觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？除了上表中的四種判定法之外，你還能找出哪些判定菱形的方法？所有這些方法，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)嗎？你能不能用一句話說(shuō)明，到底怎樣判定菱形的？ 上表的特點(diǎn)是：判定菱形，只用到了邊與線，而且用邊來(lái)判定時(shí)只用到了“四邊相等”的性質(zhì)；用“線”來(lái)判定時(shí)只用到了“互相垂直平分”的性質(zhì)。另外，如果已知的是四邊形，就必須要有三個(gè)條件才能證得菱形，如果已

13、知的是平行四邊形，那么就只要再有一個(gè)條件就可以了。 除了表中的四種方法，還可以這樣判定菱形：例如，先用“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)證一個(gè)四邊形是平行四邊形，再證它的一組鄰邊相等，或證它的對(duì)角線互相垂直這樣就有很多的方法了。如果用一句話來(lái)總結(jié)，那就是：只要能先證它是平行四邊形，再證它一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解題性質(zhì) 【菱形的面積與對(duì)角線關(guān)系原理】菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半 圖L-01 如圖L-01，菱形ABCD對(duì)角線相交于O，則 S菱形ABCD=ACBD【含60o或120o內(nèi)角的菱形相關(guān)性質(zhì)】菱形中若有一內(nèi)角為60o或120o，則菱形被較短的對(duì)角線分成兩個(gè)等邊三角形；

14、較長(zhǎng)的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍。如圖L-01，BAD=60o，則有：等邊ABD，等邊BDC ，AC=BD=AB【菱形的一些基本性質(zhì)】 菱形的四條邊都相等，周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)4； 如圖L-01，菱形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小直角三角形都全等； 圖L-02 如圖L-02，菱形四邊中點(diǎn)連線所得四邊形是矩形；證明：連結(jié)AC、BD，交點(diǎn)為O，AC交HE于P，BD交HG于Q由中位線原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC， HG與EF平行且相等，有EFGH 又ACBD，ACHG，HGBD （垂直于平行線中的一條，必垂直另一條） HQO=90o，同理HPO=90o， 又POQ=90o，QHE=90o， 有矩形EFGH 四邊

15、形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于O，從以下條件中選取3條，可以判定四邊形ABCD是菱形的方法共有8種：AB=BC，AB=CD，BC=AD，AO=CO，BO=DO，ACBD，ABCD，ADBC “四條邊相等的四邊形”或“一組鄰邊相等的平行四邊形”、：“一組鄰邊相等的平行四邊形”、：“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形” ：“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形”五、典型題例與思路分析 證一個(gè)四邊形是菱形，有兩種思路：可以先由兩個(gè)條件證得平行四邊形，再加一個(gè)條件證得菱形；或者直接由三個(gè)條件證得菱形。 圖L-03【例1】如圖L-03，AD是ABC的一條角角平分線，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求證：四邊形

16、AFDE是菱形。思路分析本例明顯可先證得AFDE，再加上一個(gè)條件“鄰邊相等”即可得菱形。證：DEAC，DFAB DEAF，DFAE 有AFDE AD是角平分線 1=2 DEAC 3=2 1=3 AE=DE 有菱形AFDE（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）同類練習(xí)如圖L-04，ABC中，C=90o，AD是角平分線，EDBC，DFBC 圖L-04 求證：四邊形AEDF是菱形 圖L-05如圖L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中點(diǎn)，OGAB于G，ODAC于D，DEAB于E，GFAC于F，GF、DE相交于P 求證：四邊形ODPG是菱形 圖L-06【例1】如圖L-06，ABCD的對(duì)角線BD的垂直平分

17、線EF分別交AB、CD、BD于F、E、O 求證：四邊形DFBE是菱形。思路分析本例很顯然可以利用對(duì)角線互相垂直平分來(lái)證菱形，我們可以用全等來(lái)證得對(duì)角線互相平分。證： 有ABCD ABDC 1=2，3=4 EF垂直平分BD DO=BO DOEBOF OE=OF EFBD 有菱形DFBE（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）同類練習(xí) 圖L-07如圖L-07，過(guò)ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線分別交ABCD四條邊于E、F、G、H四點(diǎn) 求證：四邊形EFGH是菱形綜合練習(xí)如圖L-08，ABC中，ACB=90o，AD是角平分線，DFAB于F，CDAB于E，求證：四邊形CDFG是菱形 圖L-08提示

18、用全等可證CD=DF，CG=GF，再證3=4得CD=CG，即四條邊相等如圖L-09，E為四邊形ABCD邊AB上一點(diǎn)，且AED和EBC都是等邊三角形，F(xiàn)、G、H、I分別是四邊中點(diǎn) 求證：四邊形FGHI是菱形提示連結(jié)AC和BD，先證AECDEB，得AC=BD；再由中位線原理可得HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四條邊都相等 圖L-09如圖L-10，ABEF，1=2，DC=DF，求證：四邊形DCEF是菱形 圖L-10 圖L-11如圖L-11，ABCD中，EFBD，BE=BG， 求證：E=F ABCD是菱形矩形的性質(zhì)與判定一、平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)比較平行四邊形菱形矩形 邊1、對(duì)

19、邊平行2、對(duì)邊相等1、 對(duì)邊平行2、四邊相等1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等3、四角相等（90o）線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相垂直平分5、對(duì)角線平分每一組對(duì)角4、對(duì)角線互相平分且相等二、矩形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等角3、四角相等（90o）1、四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形2、一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形線4、對(duì)角線互相平分且相等3、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形4、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形三、平行四邊形、菱形、矩形的判定方法比較平行四邊形菱形矩形邊1、兩組對(duì)邊分別平行2、兩組對(duì)邊分別相等1、四條邊都相等的四邊形3、一組對(duì)邊平行且相等2、

20、一組鄰邊相等的平行四邊形角4、兩組對(duì)角分別相等1、四個(gè)角都是直角的四邊形2、一個(gè)角是直角的平行四邊形線5、對(duì)角線互相平分3、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形3、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形4、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形4、對(duì)角線相等的平行四邊形四、菱形、矩形的比較二者都是特殊的的平行四邊形，菱形是將平行四邊形的一組鄰邊相等，矩形是將其一組鄰角相等；所以菱形的角方面沒(méi)有變化，而矩形的邊方面沒(méi)有變化；菱形四邊相等，矩形四角相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，而矩形的對(duì)角線相等；二者都既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心都是對(duì)角線交點(diǎn)，對(duì)稱軸都有2條，菱形的2條是對(duì)角線所在直線，矩形2條是對(duì)邊的中垂線；菱形

21、四邊中點(diǎn)連線所得是矩形，矩形四邊中點(diǎn)連線所得是菱形；菱形對(duì)角線交點(diǎn)到四邊距離相等，矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等；二者的判定都可以先判定平行四邊形再加一個(gè)條件就可以了。五、練習(xí)如圖J-01，四邊形EFGH是由ABCD四個(gè)內(nèi)角的角平分線圍成的 圖J-01求證：四邊形EFGH是矩形提示證1+2=90o，則AED=90o，同理得出另三個(gè)角都等于90o 圖J-02求證：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形。提示證四條邊都等于對(duì)角線長(zhǎng)如圖J-03，O為菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作AD、AB的垂線，與四邊分別相交于E、F、G、H求證：四邊形EFGH是矩形提示 圖J-03由菱形性質(zhì)可知1=2，并由角平

22、分線原理知OH=OE；同理可得OE=OF，OF=OG，所以HF與EG相等且互相平分，得矩形求證：菱形對(duì)角線交點(diǎn)到四邊的距離都相等；矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等。如圖J-04，矩形ABCD中，AC與BD相交于O，BEAC于E，CFBD于F圖J-04 求證：BE=CF圖J-05如圖J-05，過(guò)矩形ABCD頂點(diǎn)A作AEBD，交CD延長(zhǎng)線于E，猜想AEC的形狀并證明如圖J-06，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，EFBE且EF=BE，已知矩形周長(zhǎng)為22cm，CE=3cm，求DE長(zhǎng)圖J-06正方形的性質(zhì)與判定一、 正方形的性質(zhì)與判定比較性質(zhì)判定邊1、對(duì)邊平行；2、四邊相等；1、

23、一組鄰邊相等的矩形；角3、四角相等（都等于90o）2、一個(gè)角是直角的菱形；線4、對(duì)角線互相平分、垂直且相等 3、對(duì)角線相等的菱形；4、對(duì)角線垂直的矩形；5、對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形二、正方形判定方法 簡(jiǎn)單地說(shuō)，要判定一個(gè)四邊形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理14，都是這種方法； 判定正方形需要四個(gè)條件，比較平行四邊形、菱形和矩形的判定，判定平行四邊形只要兩個(gè)條件，判定菱形和矩形都要三個(gè)條件； 也可以先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，再加一個(gè)條件判定成菱形（或矩形），最后再加一個(gè)條件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。三、平行四邊形、菱形、矩形與正方形性質(zhì)比較平

24、行四邊形菱形矩形正方形邊1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行1、對(duì)邊平行2、對(duì)邊相等2、四邊相等2、對(duì)邊相等2、四邊相等角3、對(duì)角相等3、對(duì)角相等3、四角相等3、四角相等對(duì)角線4、對(duì)角線互相平分4、對(duì)角線互相平分且垂直4、對(duì)角線互相平分且相等4、對(duì)角線互相平分、垂直且相等對(duì)稱性5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)5、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn)6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線是對(duì)稱軸6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)邊的中垂線是對(duì)稱軸6、軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線、兩條對(duì)邊的中垂線共是4條對(duì)稱軸四、例題與練習(xí)【例】如

25、圖Z-01，RtABC中，ACB=90o，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F，求證：四邊形CFDE是正方形。思路分析如前所述，要判定一個(gè)四邊形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我們可以先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；或先證它是菱形，再證它有一個(gè)直角。 圖Z-01證法一：先證矩形，再證一組鄰邊相等證： DEBC，DFAC，ACB=90o，ACB=CFD= CED= 90o， 有矩形CFDE（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形） 又CD平分ACB，DEBC，DFAC DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等） 有正方形CFDE（一組鄰邊相等的矩形是正方形）證法二：先證菱

26、形，再證一個(gè)內(nèi)角為90o證：DEBC DEB=90o，又ACB=90o， ACB=DEB DECF 同理DFCE 有CFDE又CD平分ACB，DEBC，DFAC DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等） 有菱形CFDE又DEB=90o 有正方形CFDE（一個(gè)角是直角的菱形是正方形）練習(xí)如圖Z-02，矩形ABCD中，AE平分DAB，交CD于E，EFAB于F 圖Z-02 圖Z-01 求證：四邊形AFED是正方形提示用“一組鄰邊相等的矩形是正方形”如圖Z-03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G 圖Z-03 圖Z-01 求證：AF=DE 求證：AFDE提示證ABFDAE（SAS）

27、證2+3=90o：由得1=3；1+2=90o 圖Z-04 圖Z-01 如圖Z-04，正方形ABCD對(duì)角線相交于O，E為AC上一點(diǎn)，過(guò)A作于G，AG交BD于F，求證：OE=OF提示證AOFBOE（AAS） 如圖Z-05，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AGBE交EB延長(zhǎng)線于G，AG交DB延長(zhǎng)線于F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論 圖Z-05 圖Z-01【實(shí)踐題】只給你測(cè)量長(zhǎng)度的工具，怎樣測(cè)出一個(gè)矩形的物件是否合格？圖J-11【實(shí)踐題】不用任何工具，怎樣檢驗(yàn)一張紙片是正方形？ 圖Z-04 圖Z-01【專題一】紙片折疊題型此類題型的關(guān)鍵在折疊前后的等量關(guān)系，要能找到哪些線段和角是不變的，它

28、們是題中的隱含條件，要注意應(yīng)用。如圖ZD-01，將ABCD紙片沿EF折疊，使C點(diǎn)正好落在A點(diǎn)，D點(diǎn)落在G點(diǎn)，求證：ABEAGF 圖ZD-01 判斷四邊形AECF是什么形，并證明提示折疊之后的等量關(guān)系要清楚：D=G，BAD=BCD，AG=CD，AE=EC再由ABCD得D=B，AB=CD；最后證1=2，三個(gè)條件就具備了AE=EC，AEEC，可證AECF，由可知AE=AF，所以可得它是 圖ZD-02如圖ZD-02，將一矩形紙片沿GF折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落在E處，找出并證明圖中的全等三角形如圖ZD-03，兩張寬度相同的小紙條疊放在一起，圍成一個(gè)四邊形ABCD，判斷這個(gè)四邊形的形狀并證明提示寬度相同，即高相等，利用面積法可證得AB=AD；而ABCD的證明就 圖ZD-03如圖ZD-04，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，C點(diǎn)落在F處，BF交AD于E。已知AB=4，BC=8，求DE長(zhǎng) 圖ZD-04提示設(shè)DE=，則AE=8-；易證1=3得BE=DE=，在RtABE中，用勾股定理列出方程即可解得如圖ZD-05，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B到達(dá)的位置，C與AD交于點(diǎn)E，求證：DAC 圖ZD-05提示易證等腰ACE與等腰BDE，則1=2，4=5，又由于AEC=BED，則1=2=4=5，得證平行。 圖ZD-06如圖Z