相似三角形最全講義(教師版)

1、相似三角形基本知識(shí)知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似形1 .圖形的放大或縮小，稱為 圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。2 .把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是 相似的圖形，或者就說是相似性。注意：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例一一全等形.3.相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相 等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值是1.知識(shí)點(diǎn)二：比例線段

2、有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是mr n,那么就說這兩條線段a m的比是a： b=m： n （或b n ）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a： b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。a c3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 b da c4、比例外項(xiàng)：在比例b d （或a：a c5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例b d （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。b=c： d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。a6、第四比例項(xiàng)：在比例bcd （或 a： b= c： d）中,d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。a b7

3、、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為b a （或a:b=b:c時(shí)，我們把b 叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)a c度的比相等，即一 一（或a： b=c： d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線b d段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì)ad bc（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）a c b d2.反比性質(zhì):b d a c （把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）3.更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）：a b,（交換內(nèi)項(xiàng)）c da -d £,（交換外項(xiàng)）b d

4、bad b.（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)）c a4 .合比性質(zhì)：a - ab c-d （分子加（減）分母，分母不變） b d b d注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間badc發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如:a cabcdabcd5 .等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）mace(b d f n 0),那么nb d f注意：（i）此性質(zhì)的證明運(yùn)用了 “設(shè) k法”,這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法.（2） 應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.（3） 可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立.知識(shí)點(diǎn)三：黃金分割A(yù)

5、C BC1）定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC和BC（AC > BC）,如果 生AB AC即AC2=abx BC,那么稱線段 AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn) C叫做線段AB的黃金分割5 1 一點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中 AC AB=0.618AB。22）黃金分割的幾何作圖已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn)M= - AB作法：過點(diǎn)B作BDL AB,使 2連結(jié) AR 在 DA上截取 DE=DB在AB上截取AC=AE則點(diǎn)C就是所求作的線段 AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為:AC_ SC _ -75-1觸we 2 .（只要求記住）3）矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是

6、黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理 （一）平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比 例. 已知 l 1/ 12/ l 3,AD 1BE 1C F可得幽里或幽BC EF AC DF2 .推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比 例.(1)是“ A”字型(2)是“ 8”字型 經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找AD AEf BD EC . AD AE _由DE/ BC可得： 或 或 .此推論較原定理應(yīng)用更加廣DB EC AD EA AB AC泛，條件是平行.3 .推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊

7、(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段 成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比例式證平行線)4 .定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線 ，所截的三角形的三邊 與原 三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. 5 .平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相 等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例。幾何語言 "BE中BD /CEAB AD 上上.bc 'DE簡(jiǎn)記：了卞AB AD BC DE上 上 下 下歸納：AC AE和AC AE推廣：類似地還可以得到全全和全全

8、 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例. 三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊. 平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例用符號(hào)語言表示:AD/ BE/ CF,ABBCDE BC,EF ACEF AB,DF AC

9、DEDF2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等m公口 F一士一ADPBEPCF用符號(hào)語百表不：AB BC.DE DF重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍 知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形1、相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相 似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似

10、。補(bǔ)充：對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）2）性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。3）相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如4ABC與4DEF相似，記作 ABC DEF o相似比為k。4）判定：定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三 角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2：如果一個(gè)三

11、角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.直角三角形相似判定定理：d.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成 的兩個(gè)直角三角形也相似。斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問題:射影定理：CC2=AD BRAC2=AD AB,BC2=BD BA（在直角三角形

12、的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比 （對(duì)應(yīng)邊的比）.相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的 平方.2、相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)

13、頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。2）性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）。每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行。鞏固練習(xí):典型例題例1、.弦AB和CD相交于。

14、o內(nèi)一點(diǎn)P求證：PA PB=PC PD例2:如圖， ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD的垂直平分線交 AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F求證：4ABFs ACAF例 3、如圖：在 Rt ABC 中，ZABC=900 ,BD±AC 于 D,若 AB=6 ;AD=2 ;貝U AC=BD=; BC=例4、如圖：在Rt ABC中, 長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F, 求證：AB : AC=DF : BFB/ABC=900 , BD ±AC 于 D ,若 E 是 BC 中點(diǎn)，ED 的延例5如圖：小明想測(cè)量一顆大樹CB 上，測(cè)得 CD=4m,BC=10m , 那么樹的高度是多少？AB的高度，發(fā)現(xiàn)

15、樹的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CCD與地面成30度角，且測(cè)得1米竹桿的影子長(zhǎng)為 2米，針對(duì)性練習(xí)1、判斷所有的等腰三角形都相似.(所有的直角三角形都相似.(所有的等邊三角形都相似.(所有的等腰直角三角形都相似.(2、Rt ABC勺斜邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)P (不與點(diǎn)A B重合)，過P點(diǎn)作直線截 ABC使截得的三角形與 ABCf似，則滿足這樣條件的直線共有 多少條，請(qǐng)你畫出來。3 .如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9,則它們對(duì)應(yīng)邊的比為 0對(duì)應(yīng)高的比為 。周長(zhǎng)的比為一4 .如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，較大三角形一邊上的高為 ，則較小三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為。10.如圖，小華在晚上由路燈A

16、走向路燈B,當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路次T B的底部，已知小華的身高是1.60m,兩個(gè)路燈的高度都是AP =x(m)。(1)求兩路燈之間的距離；常見的相似三角形小結(jié):(2)當(dāng)小華走到路燈B時(shí)，他在路燈下的影子是多少？ACDCA、鞏固練習(xí):1、有一張比例尺為1 4000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長(zhǎng)是260cm,面積是 250cm,則這個(gè)地區(qū)的實(shí)際周長(zhǎng)是m ,面積是 m2、有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為3, 4, 5,另一個(gè)和它相似的三角形的最小邊長(zhǎng)為7,則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為,面積是。3、兩個(gè)相似三角形的對(duì)

17、應(yīng)角平分線的長(zhǎng)分別為10cm和20cm,若它們的周長(zhǎng)的差是60cm,則較大的三角形的周長(zhǎng)是,若它們的面積之和為 260cm2,則較小的三角形的面積為cm2 4、照相機(jī)鏡頭的取景框長(zhǎng) 16毫米。為了風(fēng)景照的視覺效果 最好，人像應(yīng)在取景框長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)處。如圖，要拍左側(cè)的 風(fēng)景，人站在右側(cè)，則人像應(yīng)距左邊框 毫米。5、如圖，若A ABC的中線 AD和中線BE交于點(diǎn)G, AABG的面積如圖，若A ABC的中線AD和中線BE交于點(diǎn)G, AABG的面積為4, A ABC的面積為 6、如圖，矩形 ABCD43, AE± BD于 E,若 BE=4, DE=9,則矩形的面積是。7、下列各組的兩個(gè)圖形

18、，一定相似的是（）A、兩條對(duì)角線分別對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)平行四邊形;日有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形;C 等腰梯形的中位線把它分成的兩個(gè)等腰梯形;D、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形。9、如圖，在平行四邊形 ABCD43,已知AE交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,BEC且 BE"=EF - EA 求證：aB"=BF - BD10、如圖，在 ABC中，已知 EF/ AC, D是BC上一點(diǎn)，連接AR則 ABM4BEF的面積相等。求證：bE"=BD- BQ11、如圖，由邊長(zhǎng)為 1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè) ABQ在網(wǎng)格上畫出一個(gè)與 ABC相似且面積最大的 A1BG,使它的三個(gè)頂

19、點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)上，求 A1B1C1的最大面積。三、課后練習(xí)1、如果 ABCsa' B' C',相似比為k （kw1）,則k的值是（）A. /A: /A'C. /B: /B'D. BC: B' C'2、若ABCsa' B' C' , / A=40A. 30°3、三角形三邊之比和是（）A. 15cmB. 50°,/ C=110°C. 40，則/ B'等于（）3: 5: 7,與它相似的三角形最長(zhǎng)邊是D. 70°21cm,另兩邊之B. 18cmC. 21cm4、如圖A

20、B / CD / EF,則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為（A. 1對(duì)B. 2對(duì)5、AABCA A1B1C1,相似比為 2: 34,則 ABC與 A2B2c2的相似比為(C. 3對(duì) A1B1C1s4A2B2c2, )D. 24cmD. 4對(duì)相似比為5:200km )D6、在比例尺1： 10000 的地圖上，相距2cm 的兩地的實(shí)際距離是（ ）A 200cmB 200dmC 200mD7、已知線段a=10,線段b是線段a上黃金分割的較長(zhǎng)部分，則線段 b的長(zhǎng)是（D8、則下列各式中不正確的是（ ）D9、已知 ABC 中，D、E 分別在 AB、AC 上，且 AE=1.2 , EC=0.8 , AD=1.5 ,

21、DB=1 ,則下列式子正確的是（ ）D.10、 如 圖在 ABC 中DE / AC,貝 U DE :AC=()A. 8: 3 B. 3: 811、計(jì)算C. 8: 5D. 5: 82)已知：且2a b 3c=21 ，求 a， b ， c的值.AB、It12、在等邊 ABC中，P是BC上一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交 AC 于 M、N,求證： MBPspcn.相似三角形經(jīng)典大題解析281.如圖，已知直線11 :y x 2與直線i2：y 2x 16相交于點(diǎn)C, l1、L分別交x軸于 33A B兩點(diǎn).矩形 DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線11、L上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且點(diǎn)G與點(diǎn)B重合.(1)求 ABC

22、的面積；(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng)；(3)若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移， 設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0 w t w 12)秒，矩形DEFG與 ABC重疊部分的面積為 S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.一 ,2(1)解：由-x8 ，一0,得x 4. A點(diǎn)坐標(biāo)為4,0 .3由2x 16 0,得x 8. B點(diǎn)坐標(biāo)為8,0 . AB 8412.28X -.33解得2x 16.5,.6.C點(diǎn)的坐標(biāo)為-11 -SaabcAB，yC12 6 36)22. 一，一八2-8八(2)解：二,點(diǎn) D 在 11上且 xDxB8,yD -8 -8.33D點(diǎn)坐

23、標(biāo)為8,8.又,一點(diǎn)E在12上且yE yD 8,2xe 16 8. Xe 4.E點(diǎn)坐標(biāo)為4,8. OE 8 4 4, EF 8.(3)解法當(dāng)00t 3時(shí)，如圖1,矩形DEFG與4ABC重疊部分為五邊形CHFGR ( t 0時(shí)，為四邊形CHFG ).過C作CM RtARGBRtACMB.(圖2)BGBM收，即LCM 3RGRG62t.Q RtAAFHs RtA AMC,& ABC& BRG & AFH 362tI8 t4t238時(shí),16 t3如圖4432,為梯形面積,(9=2(83t)2t, 32、4-(4 t)38o2t3 83803當(dāng)8 t 12時(shí)，如圖3,為三角形面

24、積,12ts 。8 T)(12 t)23t28t 4832.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，AB a厘米(a 3) .動(dòng)點(diǎn)M , N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿 B A, B C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過 M作直線垂直于 AB ,分別 交AN , CD于P, Q .當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)若a 4厘米，t 1秒，則PM 厘米；(2)若a 5厘米，求時(shí)間t,使PNBs/Xpad ,并求出它們的相似比；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN ,梯形P

25、QDA ,梯形PQCN的面積都相等？若存在，求 a的值；若不存在,3【答案】解： (D PM ,4 t 2,使PNBsPAD,相似比為3: 2(3) Q PM ± AB, AMP abc ,CB ± AB, AMPPM AM 口 PM即BN AB tABC , at,Q PM at(a t)QM當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即(QP AD)DQ(MP BN)BM卷 3 (a 1) a2-(a t) t t化簡(jiǎn)得t 26a6 a6aQt < 3,-6a- 0 3,則6 aa< 6, 3 a<6,(4) Q3 a< 6時(shí)梯形PMBN與梯形PQD

26、A的面積相等梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則 CNPMt6a-(a t) 3 t,把t 代入，解之得aa6 a273 ,所以所以，存在a ,當(dāng)a 2 J3時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等.3.如圖，已知 ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別 沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到 達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s),解答下列問題：(1)當(dāng)t=2時(shí)，判斷 BPQ的形狀，并說明理由；3 t(a 1)3 a(2)設(shè) BPQ的面積為S (cm2)，求

27、S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)作QR/BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié) PR,當(dāng)t為何值時(shí)， APRA PRQ?【答案】 解： BPQ是等邊三角形，當(dāng)t=2時(shí),AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4，所以 BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP又因?yàn)? B=6C°,所以 BPQ等邊三角形.(2)過 Q作 QH AB,垂足為 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 0= J3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SA BPQ=1 X BPX QE=1 (6-t) X <3 t= t 2+373 t ; 222(3)因?yàn)?QR/ BA,所以/ QRCW A=60°,

28、 / RQCW B=60°,又因?yàn)? C=6C0,所以 QRB等邊三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因?yàn)?BE=BQ cos600= - X 2t=t,2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP/ QR,EP=Q即以四邊形EPRQ平行四邊形,所以 PR=EQ=3 t,又因?yàn)? PEQ=9。所以/ APR=Z PRQ=90.因?yàn)?APR- PRQ,/00 QR 口h 6 2t6所以/ QPR=z A=60,所以 tan60 =,即< 3 ,所以 t=,所以當(dāng)t= 6時(shí)，APK PRQ 54 .在直角梯形 OABC 中，CB/OA, /COA = 90o,

29、 CB=3, OA=6, BA=3/5.分別以 OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知D、E分別為線段 OC、OB上的點(diǎn)，OD=5, OE = 2EB,直線DE交x軸于點(diǎn)F.求 直線DE的解析式；(3)點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N.使以0、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由."分）TW-. v n f FkF M-H p(1)作附3#軸尸也乩 則四邊唐"4紇為母擢.-,- f；f f 3 » < I 步，n 用=。4

30、 - 0時(shí)三日一3二3.在 NrAMflff 中.5 -、&ia -AH1 = /(3丫5 - 3-6. T2分, 戊 出的小際為(i,崩. +.(3分1 h 件KC. I觸產(chǎn)點(diǎn)6期雷。M二 八上5 AflftH . li 4 i l» ii hii（4 分）依=硬=及 kur.2EB nti fM 制rx.51一 “口，.N；22 QC an>i 3 "*, j - j 作 "A ,心=2, EJ4./ 點(diǎn)N的平除為（2. 41 . - （5分） 乂： 點(diǎn)仙般杯為（0. 5）, 設(shè) 他匕優(yōu)的解析式為1 E瓦 叫也一25一 ：直線，初的髀斷式為t尸-

31、I黯 答之 存在 * （£令）i如圖L 1 ffff = mi = r. t）小時(shí)，同速唯為要服一fi- V/J11 物于點(diǎn) Pt M WPr?TW, .-. MPDAFOU.If產(chǎn) Thi八 疥T=而、江 i/ 沖*一。時(shí).一尸5=。，祈用"。.上*般的坐標(biāo)為。% U3*“ = 1*在 Ri AfWF 率 /" = yOrr + or - /5? + ioj 至 5 6,& ”的坐尿?yàn)?，?方）二點(diǎn)八的堂看角（*嬴傅,-2加圖九 刃0。= 3時(shí)，巴方拶加心”為踵拶.需長(zhǎng)AV火I輪子點(diǎn)汽M口p I T 軸，'/ A m ft白線）=； *節(jié)r. &

32、#163;'沒w點(diǎn)坐標(biāo)為t。. 9 t方3 £tit% * t 產(chǎn)/=W.uf | eV/熱出處困打一 *97） T .MO ?八.2二口（去L J. 點(diǎn)M的飛標(biāo)為（J葡|r.ew，一' t r -3 如如，當(dāng)=M 曲形門加八為受形.旌接日必交他毒北 耐”Lj 口介/糖靠找共分,；. 京、的牛林為卜3爭(zhēng)）券I所述,“ % L方呻點(diǎn)v /j - 押:* 煦A的整標(biāo)為3* 3）. （ 12介. f |4 分）1 分別為，>（ -?亦“仔）. 4# S>.5.小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助解決：（1）如圖1,正方形 ABCD中，作

33、 AE交BC于E , DF AE交AB于F,求證：AE DF ；（2）如圖2,正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別在AD, BC上，點(diǎn)G, H分別在AB, CD上，且EF GH ,求變的值；GH（3）如圖3,矩形 ABCD中，AB a , BC b ,點(diǎn)E, F分別在 AD, BC上，且EF GH ,求生的值. GH（第23題圖1）（第23題圖2）N（第23題圖3）5J»i ： i H出lEX-屈可米出上通尸上小J *1由n的4*心司擊出aAREHA皿F，即見相U三曲IT的性舄用可鍍等，：2 rAJtRE-xCCfJI-S U)前延。如同才相，解皆；麟：（1 ） TDF_LAEi二/AE

34、6二9口" -廣：BAE=/AFD, 又二 RE = AD，ZAB-ZDAF=SO&，-'- 3AEE 空 白DAE，* AE-DF - （4分）（2）作AM#EF交EC于M， 作DM GHAeTJI j 劃AM=EF* DM“口.由 f 1 ）知，AM=DJGEF 即有二(4分)(3)作兒M N EF交BC于M 作 ZXM II GH 交 AB 于 N 則出二防，加二期 產(chǎn)，的1 DN又 Z8 航= NZMM=?T，/AM _ AB _ a.西FF息P _a. .而一晨6 .如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AD / BC , AB DC 5, AD 6, BC 12 .動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)梯形ABCD的面積等于 ;(2)當(dāng)PQ / AB時(shí)，P點(diǎn)離開D點(diǎn)的時(shí)間等于 秒；(3)當(dāng)P, Q, C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，P點(diǎn)離開D點(diǎn)多少時(shí)間?(2)將原題中正方形改為矩形(如圖46),且AB=a , BC=b , CE=ka , CG=kb (a7 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、