基本不等式應(yīng)用,利用基本不等式求最值的技巧,題型分析

1、基本不等式應(yīng)用.基本不等式2/1 .（1）若 a,b R,則 a2 b2 2ab （2）若 a,b R ,則 ab -b-（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“二”） 22 .（1）若a,bR*,則立上 癡 （2）若a,b R*,則a b 2jab （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）22（3）若a,b R*,則ab 土上 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”） 2113.若x 0,則x 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取=）;若x 0,則x 2 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=”）xx若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”） xxx3.若ab 0 ,則a b 2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”） b a若

2、ab 0,則a b 2即a b b a b aa b _2或2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取"=”） b a4.若 a,bR,則（_a_b）2222a一b_ （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取"二”）2注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的 積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用. 應(yīng)用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域 y= 3x 2+ 親 y=x+x21解：（1） y=3x +2x2=y6，值域?yàn)閙,+

3、°0）（2）當(dāng) x>0 時(shí)，y=x+1 >2x+ OO）當(dāng) x<0 時(shí)，y=x+1 = （ x1 ） w 2，值域?yàn)椋ㄒ?, 2 U2解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1 ：已知xy 4x 2-L-的最大值。4x 5解：因4x所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又（4x2）j- 不是常數(shù)，所以對(duì)4x 2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),4x 5Qx4x 0， y4x 21 54x 54x 九 32 3 1當(dāng)且僅當(dāng)4x1r,，即x 1時(shí),5 4x上式等號(hào)成立,故當(dāng)x 1 時(shí)，ymax1 °評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。 技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)U s x c 4時(shí)，求y

4、 x(8 2x)的最大值。解析：由口 u /44知，*- 2m > 口，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。y 工信-2力宏2寸0-2切£；(2"；-2個(gè)當(dāng)2K = 8-2式，即x=2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為8。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，3,一 -變式：設(shè)0 x ,求函數(shù)y 4x(32-3解：: 0 x . . 3 2x 0，y2但湊系數(shù)后可得到和為定值,2x)的最大值。4x(3 2x) 2 2x(3 2

5、x)從而可利用基本不等式求最大值。2 2x 3 2x252233當(dāng)且僅當(dāng)2x 3 2x,即x 30,3時(shí)等號(hào)成立。42技巧三：分離2,x 7x 10例3.求y -一S°(x1)的值域。x 1解析一：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有( x+1)的項(xiàng)，再將其分離?！笔?工十10 0+1戶十5(工十1)十4 ,4,y' 0 + 1) + 5X+1A + 1Ji + 1當(dāng)工,即工口時(shí)，y 2. (x 1) 5 9 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào))。, x 1t =x+ 1,化簡(jiǎn)原式在分離求最值。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令(t 1)2

6、7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 Ly = t 一 5ttt當(dāng)工n-1,即t=x + ln 0時(shí),y 2,t 4(當(dāng)t=2即x=1時(shí)取“=”號(hào))。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。即化為y mg(x) B( A 0,B 0) , g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值。g(x)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) x9的單調(diào)性。x例:求函數(shù)yx2 5x5-的值域。x2解：令 &4 t(t 2),貝U y L 5Jx2 41 t 1(t 2).x2 4x2 4

7、 tE11 .因t 0,t - 1 ,但t -解得t tt1不在區(qū)間2,故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。1,因?yàn)閥 t ；在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故5所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.(1) yx2 3x 1 , ,(xx10) y 2x -,x x 33 (3) y 2sin x1,x (0,) sin x2.已知0x 1,求函數(shù)y Jx(1 x)的最大值.；3. 0x 2 ,求函數(shù)y Jx(2 3x)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足a b 2,則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且 3a 3b定值

8、，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b> 2y3a 3b 2J* 6當(dāng)3a 3b時(shí)等號(hào)成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時(shí)，3a 3b的最小值是6.變式：若log 4 x11log4 y 2 ,求一 的最小值.并求x,y的值 x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。192：已知x 0,y 0,且一一1,求x y的最小值。 x y錯(cuò)解：Q x 0, y 0,且1旦1,x y湄2歷12 故 x y min 12錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在x y 2Jxy等號(hào)成立條件是x y ,在2

9、 2等號(hào)成立x y xy19 條件是一 一即y 9x，取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出 x y等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。1 9正斛：Qx 0,y 0, 1， x y x y1 9 y 9x - - - _x y10 6 10 16x y x y當(dāng)且僅當(dāng)-x9x一時(shí)，上式等號(hào)成立，又y19 d1 ,可得 x 4,y 12 時(shí), x yx y min16 。變式：(1)若x, y R且2x y 1,求1的最小值 x y(2)已知a,b,x, y R且旦b 1,求x y的最小值x y2技巧七、已知x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2

10、+ y =1,求x/1 + y 2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab<同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)41 + y 2中y2前面的系數(shù)為xZ1+y 21 + y 2=x '/2 -2二山 x 1 +y2分別看成兩個(gè)因式:卜面將x,11y 2、21)2 十 2、2技巧八：已知 a, b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a= 30,求函數(shù)1y=ab的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑， 性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進(jìn)行。一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用基本 不等式，對(duì)本題來

11、說，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式,再用單調(diào)因已知條旺一_ 302b法. " b+1'302b- -2ab=b=b+ 1b 2+30bb + 1由 a> 0得，0v bv 15法二:點(diǎn)評(píng):1<t < 16, ab=-2t 2+34t311616=2 (t +-p ) + 34V t +-p >216t , =8abw 18由已知得:1布30ab=a+2b.令n= gab"則 眄W3也，本題考查不等式當(dāng)且僅當(dāng)t = 4,a + 2b>22ab即b=3, a=6時(shí)，等號(hào)成立。u2+2 u-30<0,5/30 -ab>22

12、-0b < u< 3-72ab< 18Tab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等2變式：1.已知a>0, b>0, ab (a+b) = 1,求a+ b的最小值。技巧九、5、已知2.若直角三角形周長(zhǎng)為 1,求它的面積最大值。 取平方x, y 為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y =10,求函數(shù) WW= >J3x +V2y解法一:若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a+ b2的最值.a 2 + b 2a-2-b-,本題很簡(jiǎn)單式aba 2b 30(a,b R)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等b jab (a,

13、b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.-73x +>/2y w 啦 N (/3x ) 2+(V2y)23x+ 2y =2*75解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和 為定值”條件靠攏。此0,變式:解析:2yW= 3x+2y+2a - V2y =10+2V3x V2w10+(Mx ) 2 -(V2Y ) 2 = 10+(3x+2y) = 20 W V20 =2乘求函數(shù)y J2x 1 J5 2x(1 x 5)的最大值。 22注意到2x 1與5 2x的和為定值。(、.2x 1 、5 2x)2 4 2 ,(2x

14、 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2d2當(dāng)且僅當(dāng)2x 1=5 2x ,即x 3時(shí)取等號(hào)。故ymax 2任。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等"，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b, c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證： a2 b2 c2ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 - c) >8abc111例 6：已知 a、b、c

15、 R ,且 a b c 1。求證：一 1 1 一 18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又1 1 U b_c 2_上£ ,可由此變形入手。 a a a a11 a b c 2. bc 1 d 2 ac 1 2. ab解：Q a、b、c R , a b c 1。- 1 。同理 一 1 , 1 。a a a ab b c c上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 d1 d1d2 bc 2 ac 2 .b1 升前箋口 1- 1-1g-g18。當(dāng)且僅當(dāng) a b c - 時(shí)取等萬。a b c a b c3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題1,求使不等式x ym恒成立的實(shí)數(shù) m的取值范圍。一，一 19例：已知x 0, y 0且1 9x y一 .一 一 19解：令 x y k, x 0, y 0, -