因子分析法(FactorAnalysis)

1、1、因子分析法(Factor Analysis)、方法介紹基本思路：因子分析法是一種多元統(tǒng)計(jì)方法，它從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組 (使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性不高， 而不同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較低) ，這樣，在盡量減少信息丟失的前提下，從眾多指標(biāo)中提取出少量的不相關(guān)指標(biāo)， 然后再根據(jù)方差貢獻(xiàn)率確定權(quán)重， 進(jìn)而計(jì)算出綜合得分的一種方法。理論模型：設(shè)m可能存在相關(guān)關(guān)系的測(cè)試變量z1,z2,zm含有P個(gè)獨(dú)立的公共因子F1,F2,Fp(m>p),測(cè)試變量zi含有獨(dú)特因子Ui(i=1 - m),諸Ui間互不 相關(guān)，且與Fj(j=1平)也互不相關(guān)，每個(gè)zi可由P個(gè)公共因

2、子和自身對(duì)應(yīng)的獨(dú) 特因子 Ui 線性表出：Z1a11F1a12 F2a1 p Fpc1U1Z2a12 F1a22 F2a2pFpc2U 21)Zmam1F1am2F2ampF pcmU m用矩陣表示：Z1F1c1U 1Z2F2c2U 2(aij )m p .ZmFpcmU m簡(jiǎn)記為Z A * F C U(2)(m 1) (m p) (p 1) (m m) (m 1) (對(duì)角陣)且滿足：(I) P W項(xiàng)(II) COV( F. U)=0 (即F與U是不相關(guān)的)；(III) E(F)=0 COV( F)= (1 i)p p Ip。即F1,FP不相關(guān),且方差皆為1,均值皆為0(IV) E(U)=0

3、COV(U)=Im 即U1,Um不相關(guān)，且都是標(biāo)準(zhǔn)化的變量，假定z1,zm也是標(biāo)準(zhǔn)化的，但并不相互獨(dú)立。式中A稱為因子負(fù)荷矩陣，其元素(即(7.2-1)中各方程的系數(shù))aij表示第i 個(gè)變量(zi)在第j個(gè)公共因子Fj上的負(fù)荷，簡(jiǎn)稱因子負(fù)荷，如果把 zi看成P 維因子空間的一個(gè)向量，則aij表示zi在坐標(biāo)軸Fj上的投影。因子分析的目的就是通過(guò)模型(1)或(2),以F代Z,由于一般有P< m， 從而達(dá)到簡(jiǎn)化變量維數(shù)的愿望。二、使用軟件和軟件實(shí)現(xiàn)過(guò)程采用 Eviews5.1、SPSS12.Q Stata5.1、SASRelease8.02 等計(jì)量軟件均可 完成上述因子分子模型，建議采用SPS

4、S12.0操作。因子分析的基本步驟如下(事物可觀測(cè)原始變量為Xi,X2,，Xp)：(1)對(duì)原始變量標(biāo)準(zhǔn)化。在因子分析求解時(shí)若采用主成分法，由于主成分 分析在通過(guò)總體協(xié)方陣求主成分時(shí)，往往優(yōu)先顧及方差較大的變量，受變量的計(jì)量單位影響較大，有時(shí)會(huì)造成不合理的結(jié)果，所以為了消除這種影響，需在分析 之前，對(duì)原始變量標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化最常規(guī)的方法是將原變量數(shù)列化為均值為0、方差為1的數(shù)列，即令x E(x)zx j；/D(x)(2) 求出標(biāo)淮化數(shù)據(jù)zxi, zx2,zxp的協(xié)方差矩陣，或相關(guān)系數(shù)矩陣R(兩者等價(jià))；(3) 求R的特征值及相應(yīng)的一組正交單位特征向量；(4) 計(jì)算累計(jì)貢獻(xiàn)率，確定公共因子個(gè)數(shù)及因子

5、載荷矩陣A;(5) 對(duì) A 作因子旋轉(zhuǎn)( 常為方差最大正交旋轉(zhuǎn)) ，使得能對(duì)公共因子給出合理的解釋；(6) 計(jì)算因子得分，根據(jù)得分對(duì)研究問(wèn)題作比較分析。上述計(jì)算步驟及作圖可利用SPSS11.0軟件來(lái)完成：(1) 選擇菜單中“Analyze->descriptive statistics->desctrptives."，對(duì)X i, X2,，Xp指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量保存在數(shù)據(jù)編輯窗口；(2) 選擇菜單中 “Analyze->data reduction-factor" ， 打開因子分析對(duì)話框，將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量放人Variables 中，進(jìn)行主

6、成分分析；(3) 在主成分分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)提取幾個(gè)公共因子較佳，在“ factor->eXtract->numbers of facto" 中輸人公共因子的個(gè)數(shù)；(4) 在“ factor-rotation ”中選擇 varimaX ，對(duì)因子進(jìn)行方差最大旋轉(zhuǎn)；(5) 在“ factor-score ”中選 regression ，計(jì)算因子得分。三、一個(gè)簡(jiǎn)單例證：重慶城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)變動(dòng)的因子分析本文運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的因子分析法， 對(duì)重慶直轄后城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變動(dòng)情況進(jìn)行分析，認(rèn)為居民消費(fèi)主要受生存型消費(fèi)和享受型消費(fèi)兩大因子的影響，分析表明這兩型因子所占比重近幾年

7、來(lái)都穩(wěn)定在8:2 的水平上，并未發(fā)生大的變化。1、資料來(lái)源消費(fèi)結(jié)構(gòu)是人們?cè)谏钪邢M(fèi)的消費(fèi)資料和接受的服務(wù)種類及其比例關(guān)系，也就是指各類消費(fèi)支出在總消費(fèi)支出中的比重。 對(duì)居民消費(fèi)支出按照人們實(shí)際支出的去向分類可分為食品、衣著、家庭設(shè)備及服務(wù)、醫(yī)療保健、交通通訊、文教娛樂(lè)及服務(wù)、居住、雜項(xiàng)商品及服務(wù)。分別記為Xi , X2 ,，X8。根據(jù)重慶市統(tǒng)計(jì)年鑒19982003年各卷，得重慶市城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)變化如表1所示。由表 1 中資料可知，食品、衣著所占比重從1998 年開始是下降的。聯(lián)合國(guó)提出的恩格爾系數(shù)( 食品在總消費(fèi)支出中的比重) 判定生活發(fā)展階段的一般標(biāo)準(zhǔn):60%以上為貧困，50%60%；溫

8、飽，40%-50%；小康，40%Z下為富裕，可見重慶城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平已從小康邁向了富裕。 家庭設(shè)備所占比重也是下降的， 這 說(shuō)明居民對(duì)一般家庭設(shè)備的需求已經(jīng)基本飽和， 且由于總收入的增加，雜項(xiàng)支出 所占比重也逐年下降。另一方面，表1說(shuō)明：醫(yī)療保健、交通通訊、文教娛樂(lè)和住房消費(fèi)所占比重 在逐年上升。這是因?yàn)殡S著社會(huì)的發(fā)展，居民的保健意識(shí)增強(qiáng)，更關(guān)注自身的身心健康，再加上醫(yī)保制度的改革，所以醫(yī)療保健所占比重逐年上升；由于城鎮(zhèn)居 民家庭擁有小汽車的比例增加，移動(dòng)通訊的普遍使用，網(wǎng)絡(luò)通訊進(jìn)入家庭，因而 交通和通訊所占比重也是上升的；由于居民對(duì)自身進(jìn)一步發(fā)展和子女教育的投入 力度加大，并且在物資享受已經(jīng)

9、得到滿足的情況下更加注重精神享受，所以文教和娛樂(lè)方面的支出增多；隨著我國(guó)住房制度的改革，居民在居住上面的支出也出 現(xiàn)了大幅增加。為了進(jìn)一步研究消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化情況， 下面用因子分析法，對(duì)表 1的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。表1 重慶城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)變化(為年份(X1)(X2)備(X3)健(X4)父通通訊(X5)樂(lè)(X6)(X7)(X8)198845.5212.179.83.39612.926.094.11199944.5011.79.43.86.912.47.24.1200040.4010.18.75.47.414.494.6200138.7010.28.85.87.714.79.84.3200238.0

10、09.87.16.89.716.79.32.62、消費(fèi)結(jié)構(gòu)的因子模型由表1中資料得樣本均值向量：X = (41.42 ,10.79 ,8.76 ,5.04 ,7.54 , 14.22 , 8.27 , 3.94),且用軟件SPSS計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和 貢獻(xiàn)率見表2。由表2可以看出變量相關(guān)系數(shù)矩陣有兩個(gè)大的特征根為6.6721和1.142 ,其累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到98.292%,又根據(jù)圖1 ,前兩個(gè)公因子變化最大， 說(shuō)明前兩個(gè)公因子提供了原始數(shù)據(jù) 8個(gè)指標(biāo)所能表達(dá)的足夠的信息。表2相關(guān)矩陣的特征值與貢獻(xiàn)率變量序列號(hào)特征值方差貢獻(xiàn)率貝獻(xiàn)率特征值方差貢獻(xiàn)率貝獻(xiàn)率16.72084.01784.0

11、176.72084.01784.01721.42014.27598.2921.14214.27598.29230.0831.03699.32940.0540.671100.00050.0000.000100.00060.0000.000100.00070.0000.000100.00080.0000.000100.000因此提取兩個(gè)主因子，用主成份分析法和正交旋轉(zhuǎn)法計(jì)算得旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷陣如表3所示X1 = - 0. 941 F + 0. 323 FX2 = - 0. 958 F + 0. 264 5X3 = - 0. 655 F + 0. 745 F2X4 = 0. 881 F - 0.4

12、72 F2X5 = 0. 664 F - 0. 734 F2X6 = 0. 740 F - 0. 036 F2X7 = 0. 984 F - 0. 109 F2X8 = - 0. 065 F + 0. 994 F2表3因子載荷陣共同度變量公因子1212X1-0.96-0.260.989-0.9410.323X2-0.942-0.3180.987-0.9580.264X3-0.960.250.984-0.6550.745X40.9940.1030.9990.881-0.472X50.961-0.2350.9790.664-0.734X60.969-0.1120.9520.74-0.036X70.

13、8760.4610.980.984-0.109X8-0.6110.7870.993-0.0650.994由表3可得消費(fèi)結(jié)構(gòu)的因子分析模型為選用回歸法估算因子得分系數(shù)如表 4所示表4因子得分系數(shù)變量X1X2X3X4X5X6X7X8公因子 1-0.246-0.2720.0040.1730.0030.6640.3340.311序號(hào)2-0.109-1.520.261-0.009-0.251-0.1620.2610.622由此計(jì)算5年的因子得分如表5所示。表5各年份因子得分因子19981999200020012002F1-1-1.29601-0.83920.718780.927680.48875F2-1

14、0.122770.180810.770190.64263-1.716413、結(jié)果分析從表3可以看出，第一個(gè)主因子在 X , X2 , X4 , X6 , X7 5個(gè)方面有 較大載荷，這幾項(xiàng)指標(biāo)主要反映居民為了生存必需要消費(fèi)支出的變化情況，因此命名為生存型消費(fèi)因子；第二個(gè)主因子在 X3, X5 , X83方面有較大載荷，這 幾項(xiàng)指標(biāo)主要反映居民為了改善生活， 提高生活效率如購(gòu)買小汽車，使用移動(dòng)通 訊等方面的消費(fèi)支出變化情況，因此命名為享受型消費(fèi)因子。分類情況如表6所 示。表6主因子分析高載荷指標(biāo)因子命名1食品，衣著，醫(yī)療保健，文教娛樂(lè)，居住生存型消費(fèi)因子2享受型消費(fèi)因子結(jié)合表1 ,根據(jù)分類將各年

15、數(shù)據(jù)相加，得生存型消費(fèi)因子與享受型消費(fèi)因 子在1998 - 2002 年這5年中所占比重如表7所示。表7 各年份兩型因子所占比重（%19981999200020012002生存型消費(fèi)因子80.1979.679.379.280.6享受型消費(fèi)因子19.9120.420.720.819.4由表 7 可知，這 5 年來(lái)，生存型消費(fèi)因子所占比重基本為80%左右，享受型消費(fèi)因子所占比重為20%左右，各自的變化幅度不大。這說(shuō)明雖然重慶市城鎮(zhèn)居民的收入增加了， 但是由于醫(yī)療、 住房制度的改革和教育收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的提高， 居民生存型消費(fèi)支出在增加，但另一方面用于享受型消費(fèi)支出也出現(xiàn)相應(yīng)的增加，這兩型因子所占比重基本維

16、持在8:2 的水平上，說(shuō)明重慶市城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)保持相對(duì)穩(wěn)定，變化不大。四、評(píng)價(jià)及問(wèn)題方法評(píng)價(jià)：因子分析法最大優(yōu)勢(shì)在于各綜合因子的權(quán)重不是主觀賦值而是根據(jù)各自的方差貢獻(xiàn)率大小來(lái)確定的， 方差越大的變量越重要， 從而具有較大的權(quán)重； 相反， 方差越小的變量所對(duì)應(yīng)的權(quán)重也就越小。 這就避免了人為確定權(quán)重的隨意性，使得排行結(jié)果唯一， 而且較為客觀合理。 此外， 因子分析的整個(gè)過(guò)程都可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件方便快捷地進(jìn)行，可操作性強(qiáng)。因此，與其他方法相比，因子分析法是一種科學(xué)、實(shí)用、簡(jiǎn)便的綜合排行方法，適用于解決多指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題。需注意問(wèn)題：（ 1） 在利用因子分析法的開始階段，應(yīng)當(dāng)盡可能多地選取與研究對(duì)象有關(guān)的指標(biāo)， 以免遺漏重要的評(píng)估指標(biāo)。 然后， 就可以通過(guò)因子分析選擇相對(duì)更為有效的指標(biāo)， 構(gòu)建研究對(duì)象評(píng)估的指標(biāo)體系，進(jìn)而進(jìn)行基于數(shù)據(jù)本身的相對(duì)客觀的評(píng)估。（ 2） 設(shè)定好因子分析指標(biāo)后， 還要對(duì)因子分析法的可行性進(jìn)行研究。 因子分析法應(yīng)用的前提是原有變量之間應(yīng)具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系， 否則根本無(wú)法從中綜合出能夠反映某些變量共同特性的幾個(gè)較少的公共因子變量。（ 3）當(dāng)然，因子分析法作為一種比