微積分考研題5不定積分VIP

1、第 5 章 不 定第 5 章 不 定5. 1 不定的概念與性質(zhì)1原函數(shù)（1）設 f (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，若 F(x) = f (x) ，則稱 F (x) 是 f (x) 的一個原函數(shù)（2）若 F (x) ， G(x) 都是 f (x) 在某區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)，則 G(x) = F (x) + C（3）若 F (x) 是 f (x) 的一個原函數(shù)，則 f (x) 的所有原函數(shù)為 F (x) + C2不定f (x) 的所有原函數(shù)，稱為 f (x) 的不定，記為 f (x)dx = F (x) + C ，且或 d f (x)dx = f (x)dx或 dF (x) = F (x) + Cf (x)

2、dx= f (x) F(x)dx = F (x) + C幾何意義：曲線 y = F (x) 沿 y 軸平移得到的一族曲線。各曲線在同一點 x 處的切線平行，且切線的斜率均為 f (x) 。3. 原函數(shù)存在的定理設 f (x) 在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù) f (x) 在該區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)一定存在。注意： 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)是其原函數(shù)存在的充分條件. 因此初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)必存在。但有些初等函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，卻無法用初等函數(shù)表示出來。5. 2法1. 基本表 xm dx = 1 xm+1 + C (m -1) 1 dx = lnx + Cm +1x axdx = 1 ax + C (a 0,

3、 a -1) exdx = ex + C sin xdx = -cos x + C csc2 xdx = -cot x + Cln a cos x dx = sin x + Csec2 x dx = tan x + C1第 5 章不 定sec x tan x dx = sec x + C tan x dx = -ln cos x + C csc x cot x dx = -csc x + C cot xdx = ln sin x + Csec xd a2 + x2 csc xdln sec x + tan x + Cdx = 1 arctan x + Cln csc x - cot x + C

4、11 1+ x2dx = arctan x + Caa1dx = arcsin x + C1dx = arcsin x + Caa2 - x21- x2x + a111 x2 - a2dx =ln 2a+ Cx +x2 a2+ Cdlnx - ax2 a22. 不定法則af (x) + bg(x)dx = a f (x)dx + b g(x)dx ， a, b 為常數(shù)線性法則 f j(x)j(x)dx = f j(x)dj(x) =F j(x) + C f (x)dx = f j(t)j(t)dt x=j (t ) F (t) + C = F j-1(x) + Cuvdx = uv - vud

5、x ； udv = uv - vdu第一換元法第二換元法分部法分部法推廣公式：設u = u(x) ， v = v(x) 有 n +1階導數(shù)，則uv(n+1) dx = uv(n) - uv(n-1) + u v(n-2) - u v(n-3) +運算原則恒等變形+ (-1)n+1 u(n+1)vdx3線性運算 f (x)dx F (x) + C換元分部常用湊微分形式： f (e dx = 11f (ln x)dx = f (ln x)d (ln x) xf (ex )d (ex ) ；ex11111 f ( x )x dx = 2 f ( f (dx = - f ( x )d ( x )x )

6、d ( x ) ； f (ax + b)dx = 1 f (ax + b)d (ax + b)a f (axn + b)xn-1dx = 1 f (axn + b)d (axn + b)an f (sin x) cos xdx = f (sin x)d (sin x)2基本表的形式第 5 章 不 定 f (cos x) sin xdx = - f (cos x)d (cos x) f (tan x) sec2 xdx = f (tan x)d (tan x) f (cot x) csc2 xdx = - f (cot x)d (cot x) f (arcsin x)1dx = f (arcsi

7、n x)d (arcsin x)1- x21dx =f (arctan x)d (arctan x)f (arctan x)1+ x2 f ( 1 1dx = - f ( 1 )d ( 1 )1+1+ x1+ x f ( 1 1dx = f ( 1 )d ( 1 )1-1- x1- xx2xx(1-)dx =f (x +)d (x +) 1 1x(x - 1)x f (x -1xdx =- 1f (112 f ()d ()1+(1+ x2 )21+ x21+ x21x111f ()d ()1-21- x2常用三角公式：sin2 x + cos2 x = 1；1+ tan2 x = sec2 x

8、 ；cos 2cos2 x -sin2 x ；sin2 x = 1 (1- cos 2x) ；sin 22sin x cos x ；cos2 x = 1 (1+ cos 2x) ；2sina cos b =212sin(a + b ) + sin(a - b )；12cos(a + b ) - cos(a - b ) ；sina sin b = -cosa cos b = 1 cos(a + b ) + cos(a - b )2sina + sin b = 2sina + ba - ba + ba - b； sina -sin b = 2 coscossin2222a + ba - ba +

9、ba - bcosa + cos b = 2 cos； cosa - cos b = -2sincossin22223第 5 章 不 定5. 3 典型例題例 1 選擇題（1）下列命題中不正確的是（ C ）若 f (x) 在(a,b)內(nèi)的某個原函數(shù)是常數(shù)，則 f (x) 在(a,b)內(nèi)恒為零；A.若 f (x) 的某個原函數(shù)為零，則 f (x) 的所有原函數(shù)都為常數(shù)；B.若 f (x) 在(a,b)內(nèi)不是連續(xù)函數(shù)，則在這個區(qū)間內(nèi)必無原函數(shù)；若 F (x) 是 f (x) 的任意一原函數(shù)，則 F (x) 必定為連續(xù)函數(shù)C.D.假設 F (x) 為 f (x) 的原函數(shù)，必有 F(x) = f (x

10、) 。F (x) = k , x (a, b) ，則f (x) = F (x) = 0 ，所以 A 正確；A.B. 若 F (x) = 0 是 f (x) 的一個原函數(shù)，則 F (x) + C = C ，所以 B 正確；C. 由于 f (x) 在(a,b)內(nèi)連續(xù)是原函數(shù)存在的充分條件，所以 C 錯誤。如1 -1x 0x = 0f0x2 sin 1x 0x = 0在()內(nèi)不連續(xù)， x = 0 是間斷點，但有原函數(shù) F (x) =-1,10xD. f (x) 存在，說明 F (x) 可導。而可導必連續(xù)，所以 F (x) 必定連續(xù)。故 D 正確。（2）下列各式中正確的是（C） f (x)dx = f

11、 (x) df (x)dx = f (x)A.B. d C. f (x)dx = f (x)D. d f (x)dx = f (x)dx由于不定表示無數(shù)多個原函數(shù)，應含任意常數(shù) C，因此 A，B 都不正確。對 D式依不定性質(zhì)可知應有 d f (x)dx = f (x)dx ，因此 D 不正確。由不定C 正確。的性質(zhì)可知（3）設 f (x) 是連續(xù)函數(shù)， F (x) 是 f (x) 的原函數(shù)，則（A）A.當 f (x) 是奇函數(shù)時， F (x) 必為偶函數(shù)4第 5 章 不 定B. 當 f (x) 是偶函數(shù)時， F (x) 必奇為函數(shù)C. 當 f (x) 為周期函數(shù)時， F (x) 必為周期函數(shù)D

12、.當 f (x) 是單調(diào)增函數(shù)時， F (x) 必為單調(diào)增函數(shù)由于不定表示無數(shù)多個原函數(shù)，應含任意常數(shù) CA. 偶函數(shù)+ C = 偶函數(shù)；C. 周期函數(shù)+ C 周期函數(shù)；B. 奇函數(shù)+ C 奇函數(shù)D. F (x) 的單調(diào)性由 f (x) 的符號確定1第一類換元法（微分法）= j(x)j(x)dx ，解題思路 1 根據(jù)被積函數(shù)的結構，從中分出一部分，使得 f (于是 f (x)dx = j(x)dj(x) ，從而得到和對應基本例 2 計算下列（1） 1+ sin公式一致的形式。cos2 1+ sin x cos x dx解= d (1+ sin x cos x) dln 1+ sin x cos

13、 x + C1+ sin x cos xarcsinx（5） dxx - x2 arcsinx dx = arcsinx dx = 2 arcsinx dx解x 1- xx - x21- ( x )2= 2 arcsinxd (arcsinx ) = (arcsinx )2 + C為 f (x)j(x)dx 或 j(x) dx ，且 f (x) = kj(x) ，則j(x) = kdf (x)解題思路 2f (x)例 3 計算下列（1） (x) (ln x +1)dx32= ln x +1解 由于(235+1)d) =(x ln x) + C故() 2 d25（4） sin 2xdx ， a

14、ba2 cos2 x + b2 sin2 x解 由于(a2 cos2 x + b2 sin2 x) = (b2 - a2 ) sin 2x5第 5 章 不 定 積 分1d (a2 cos2 x + b2 sin2 x)sin 2xa2 cos2 x + b2 sin2 xb22 a2 cos2 x + b2 sin2 xdx =- a故2=a2 cos2 x + b2 sin2 x + Cb2 - a2解題思路 3 分子分母同乘（或除）一因子，再用湊微分法求解例 4 計算下列積分x2 +1（1） x4 +1 dx1x2d (x - 1 )1+2+1 dx =arctan (x - 1 ) +

15、Cx112x x4 +1dx =- 解 1 1x2x +x2(x -) + 2x221- ln x（2） (x - ln x)2 dx1- ln x1- ln xdx =21- ln xdx = - 1d ()x2解( x - ln x )2( x - ln x )2(x - ln x)xxx11- ln xx=+ C =+ C1- ln xxex -1（3） ex +1 dxex -1ex -1exex解dx = 2 xdx = ex +1e-1dx - x2 xdxe2x -1ee-1dex- = ln ex +2 x -= ln ex +e12 x - arcsin e-x + Ce11

16、- e-2 x2第二類換元法解題思路（1）利用三角代換，變根式積分為三角有理式積分。形如 f ( a2 - x2 )dx ；（2）倒代換：設 m, n 為分子與分母的最高次冪，當 n - m 1時，令 x = 1 ；t dt= t ， dx =（3）指數(shù)代換：適用于被積函數(shù)由ax 構成的代數(shù)式。令 ax。t ln a f ( a2 + x2 )dx ， f ( x2 - a2 )dx 的積分，令 x = a sin x ，x = a tan x ，x = asecx 。例 5 計算下列積分6第 5 章不 定xdx（1） (x +1) 1- x22解 令 x = sin t ， dx = cos

17、 tdtxdxsin t cos tdtd cos t22(x +1) 1- x (sin2 t +1) cos t 2 - cos2 t= -cos t +1- x2 +2121=+ C =+ Clnlncos t -2 222 21- x2 -24x2 - 9（3） dxx2解 令2x = 3sec t ， dx = 3 sec t tan tdt24x2 - 9tan2 tx2dx = dt = (sec t - cos t)dt = ln sec t + tan t- sin t + C1sec t4x2 - 94x2 - 923= ln-+ C132x= ln 2例 6 計算下列2

18、- 9 + C （ C = C - ln 3 ）12xdx（1） xa + x22211令 x =， dx =-dt解法 1t 2ta2 + x2dxtdt1a21 2x=- = -a t +1 + C = -2 2 + Ca2a2 + x2a2t2 +1xdx dx= - 1 1d ( a )2 +12 =解法 22axa2 + x2aax2( )2 +1( )2 +1x3xx1a2 + x21a2a= -+1 + C = -+ C( )x2a2x= - 1 ln 1+ 2x-3+ C = - 1 lnx3 + 2 + 1 lnx + C662注意：一般地，用倒代換法能解的題，用湊微分法同樣

19、可解。例 7 計算下列7第 5 章 不 定dx（2） ex (1+ e2x )解 令ex = t ， dex = dtdexdxdt11 e1+ e2x ) e2x (1+ e2x ) t2 (1+ t2 ) (t 2=- )dt1+ t 2= - 1 + arctan t + C = -+ arctan ex + C1ext（3） ex -1 dx2t令 ex -1 = t ， ex= 1+ t 2 ， x = ln(1+ t2 ) ， dx =dt解1+ t22t21+ t2 -11e -1 dx = 1+ t2 dt = 2dt = 2 (1- 1+ t2 )dtx1+ t2= 2t -

20、 2 arctan t + C = 2 ex -1 - 2 arctan ex -1 + C法3分部解題思路（1）湊微分部分函數(shù)v(x) 的選取，一般是三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)優(yōu)先；三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)優(yōu)先等級一樣；多次分部湊微分部分應選取同類函數(shù)；有時要移相運算。（2）當被積函數(shù)含次數(shù)高于 1 的對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)時，一般要作變量代換。（3）利用公式： uv(n+1) dx = uv(n) - uv(n-1) +例 8 計算下列（1） xn ln x dx+ (-1)n+1 u(n+1)vdxxn+1 ln xn+1xn- n +1 dx =x) =n+1解n +1n +1（4） (（4）解法 1

21、3x + 5) cos 2xdx列表法求解3x + 52x + 3+20-+1 sin 2x2- 1 cos 2x- 1 sin 2xcos 248 (+ 3x + 5) cos 2xdx = 1 (+ 1 (24+ C248第 5 章 不 定= (123) cos 2x + (x1242解法 2 設3x + 5) cos 2xdx = (A x2 + A x + A ) co(012兩邊求導得 (3x + 5) cos 2x =+(2B0x + B1)sin 2x + 2(131比較系數(shù)得 A0 = 0, A1 = 2 , A2 = 4 , B0 = 2，則 (+ 3x + 5) cos 2

22、xdx = (13) cos 2x + (1 x2242（2） x3 ln4 x dx解 令ln x = u ， x = eu ， dx = eudu ，列表法得u44u3+12u2-24u+24-1256e4u 1 e4u11164e4ue4u4= u4e4udu = 1 u4e4u x3 ln4 x dx 4n4 x - ln3 x + 3 ln2 x -4= 144. 三角有理式解題思路 1 利用待定系數(shù)法分解被積函數(shù)例 10 計算下列（1） sin x；2sin（1）解 由分母表達式，可令sin x + 8cos x = A(2sin x比較系數(shù)得 A = 2, B = 1，則x= 2

23、(2sin x + 3cos x) + (2 sin 2sin x + 3cln 2sin x + 3cos x + C2sin= 2c sin x + d cos xA(a sin=一般地，a sin x + b cos x解題思路 2 利用恒等式： sin2 x + cos2 x = 1；9第 5 章 不 定例 11 計算下列（1） 1+ sin xdxx 2xx1+ sin xdx = 1+ 2 sin 2osdx =2sin 2 + cos 2 dx解cos x )dx = -2 cos x + 2sin x + C= (sin22221（4） sin3 x dxsin2 x + co

24、s2 x1 sin3 xdx =dx = csc xdcot x csc xdx2解sin3 x= csc xdx - cot xd csc xx - cot x csc x + csc x(-csc2 x)dx= ln csc1 sin3 x= ln csccot x - cot x csc x -dx11 sin3 x移項=ln csc x - cot x - cot x csc x + Cd2 sin（5） sin2sin1(sin sin=2解sin= 1 (sin x +12=(sin 2p22sin(+ x)4ln csc(x + p ) - cot(x + p ) + C= 1

25、(sin21cos x) -4422+ p ) + C=(sin22822解題思路 3盡量使分母簡化，常見類型如下(1 cos x)n(1 cos x)n11=；(1 cos x)n(sin2 x)n(1 sin x)n(cos2 x)n1111=；x )nx )n(1+ cos x)n(1- cos x)n(2 cos2(2sin22210第 5 章不 定sin x)n1(cos x(cos)例 12 計算下列（1） 1+ cos x dxx + sin xx + sin xxx 1+ cos x dx= dx + tan 2 dx解法 12 cos2 cos22dx = x tan tan

26、 x dx + tan x dx = x tan x + C222222+ sin()原式= dx = dx解法 21- cos2 xsin2 x= xd (-cot x) + xd (csc x) +csc xdx - cot dxtcot xdx + x cscx - csc xdx + csc xdx -cot xdxt x + x csc x + C= -= -x + sin xxx)1x 1+ cos x dx1 cos=2=ln 1+ cos x解法 3cos22= xd tan x - ln 1+ cos x=dx - ln 1+ cos x222=- ln 1+ cos x +

27、 C122=- ln 1+ cos x + C122=+ C（ C = -ln 2 + C1 ）221+ sin x（2） 1+ cos x exdxxx2sincos1+ sin x1+ sin xx1+ cos x edx = xxx e dx解法 12 cos2coscos222= edx22222= ex tan x + C211第 5 章 不 定(sin x + cos )2x21+ sin x1x21+ cos x edx = e dx = (tan+1) e dx22xx2 x解法 2x22 cos2= 1 edx + ex tan x dx = exd tan x + ex t

28、an x dx2= e2222- ex tan x dx + ex tan x dx = ex tan x + C2222解題思路 4 f (-sin x, cos x) = - f (sin= t= t= t三角替換法： f (sin x, -cos x) = - f (sin f (-sin x, -cos x) = f (sin2t1- t22x萬能替換法：令t = tan，則 f (sin x, cos x)dt = f (2 ,2 )2 dt1+ t1+ t1+ t2例 13 計算下列sin2 x（2） 2 + sin2 x dxt 2dt解 令tan x = t ， sin x =

29、2， x = arctan t ， dx =，則1+ t21+ t2sin2 x2dx2dt2dt 2 + sin2 x dx = x - 2 + sin2 x = 1+ t 2 = 2 + 3t 2t22 +1+ t2= x -2 arctan( 3t) + C = x -2 arctan( 3 tan x) + C3232dx（3） sin x(1+ cos2 x)-dt解 令cos x = t ， sin x = 1- t 2 ， x = arccos t ， dx =1- t 2-dtdx1dt sin x(1+ cos2 x) (1+ t 2 )(1- t 2 )= -1- t 2

30、(1+ t 2 )1- t 2t +1 - 1 arctan t + C= 1112 -)dt = ln(t 2 -1t 2 +1t -12cos x +1 - 1 arctan(cos x) + C= lncos x -1212第 5 章 不 定5. 有理函數(shù)的解題思路：假分式 多項式+ 真分式；真分式 部分分式之和例 14 計算下列dx（3） x(1+ x3)dx x(1+ x3)=解法 1= ln2 - x +1 + C333x211 (-解法 2原式=3 )dx = lnx -ln 1+ x3+ C3x1+ x- 1 ln 1+ x-33解法 3原式=+ Cx2dx1dx3解法 4原式

31、= + x3) = 3 x3(1+ x3)1+ x331+ x3x4（4） (x2 + 4)2 dx16x4(x2(282 dx =1-+2 dx解法 1(x + 4)x + 4(x+ 4)222 + C= x - 4 arctan2 8(x2 + 4)216x4x3111 (x2 + 4)2 dx = 2 (x2 + 4)2 d (x+ 4) = -x d223解法 2x + 422+ 3 x + 4 - 423x2= -dx2(x2 + 4)2x2 + 42(= -2(x + 4)22解法 3令 x = 2 tan t ，則 dx = 2sec2 tdt(1- cos2 t)2x416 t

32、an4 t (x2 + 4)2 dx = 16sec4 t 2sectdt = 2dt = 2 (sec t - 2 + cos t)dt222cos2 t13第 5 章 不 定= 2 tan t - 4t + t + 1 sin 2t + C =26.簡單無理函數(shù)的x + 42解題思路：被積函數(shù)含ax + b ，令t = n ax + b ；被積函數(shù)同時含x (m n) ，nm x, n令t = p x ， p 為 1 , 1 的最小公分母。m n例 15 計算下列各題x（1） dx1- x x解 令 x = t ， x = t2 ， dx = 2tdt2t2dt2d (1- t3)x44dx = = -3= -31- t + C = -331- xx + C1- xx1- t31- t3dx（2） x (4 - 3 x )解 令t = 6 x ， x = t6 ， dx = 6t5dt ，則t 2 - 4 + 46t5dtdx1 t3 (4 - t 2 )= 66t + 24 4 - t 2 dt=dt = -4 - t 2x (4 - 3 x )t + 2x + 26= -6t -12 ln+ C = -6 x -12 ln+ C6t - 2x - 267. 抽象函數(shù)的例 16 計算下列各題（1）求 x2 f (