5.4平面向量的綜合應用

1、§5.4平面向量的綜合應用取新考明考情考向分析1 .會用向量方法解決某些簡單的平面幾 何問題.2 .會用向量方法解決簡單的力學問題及 其他一些實際問題.主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù) 歹h解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等 問題是考查的熱點，一般以選擇題、填空題的形式 出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題.基礎知識自主學習回扣基礎知識訓填整骷題目知干梳理1.向量在平面幾何中的應用（i）用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表小線平行、點共線等問題共線向量定理a U b? a= 2b?壁返一&打=0其中 a=(xn yi), b= (x2,

2、 y2), bw0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)a± b? a b= 0? xix2 + yiy2= 0,其中 a=(xn yi), b=(x2, y2),且 a, b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義a b ，一， 一 ,cos 0= 11（°為向重a，b的夾角），其中|a | |b|a, b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|=Za2 = /x2+y2,其中 a=(x, y), a 為非零向量（2）用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題一設口匕向量問題一與邕 解決向量問題一史!解決幾何問題.2 .向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一

3、種向量描述.它主要強調(diào)向量 的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的 主體.3 .平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似， 可以用向量的知識來解決.(2)物理學中的功是一個標量，是力F與位移s的數(shù)量積，即 W= Fs=|F|s|cos 9(。為F與s的夾角).4 .向量與相關知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù)卜解析幾何結合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關問題.【知識拓展】 一 一 .- 一1 ,若 G 是 ABC 的重心，則 GA + GB+GC =

4、 0.2 .若直線l的方程為Ax+By+C=0,則向量(A, B)與直線l垂直，向量(B, A)與直線l平行.基礎自測題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打或"X”)(1)若 AB/AC,則 a, B, C 三點共線.( V ), ， ， ， ，一，(2)在 ABC中，若AB BC<0,則 ABC為鈍角三角形.(X )(3)若平面四邊形 ABCD滿足ab + CD=0,(ABAD)品=0,則該四邊形一定是菱形.( V )一.一 一 ，.一、，2 兀(4)作用于同一點的兩個力F1和F2的夾角為 ，且F1|=3, |F2|=5,則F 1+ F2的大小為相.(,)(5)

5、設定點A(1,2)與動點P(x, y)滿足OPo)A=4,則點P的軌跡方程是x+2y4= 0.( V )(6)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(-2, 1), B(0, 10), C(8,0),若動點P滿足：0P =7 .，一 -. ，OA+t(AB+AC), tCR,則點 P 的軌跡萬程是 xy+1=0.( V )題組二教材改編2. P108A組T5已知 ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,4), B(5,2), C(-1, -4),則該三角形為()A .銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 AB = (2, 2), AC=(4, 8), E3C=(-6, -

6、6),曲|=#+(12 2 =2率,|AC| = 16+64 =4/5,|bC|= ,36+36 =6位,|AB|2+ |E3c2=|AC|2,.ABC為直角三角形.3. P103定義已知一個物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移 s的大小為100 m,且F與s的夾角為60°,則力F所做的功W=J.答案 300解析 w= F s= |F隅cos F, s>=6X 100Xcos 60 =300(J).題組三易錯自糾4. 在ABC中，已知 第=(2,3), AC=(1, k),且ABC的一個內(nèi)角為直角，則實數(shù) k的值 為.答案2或手或呼3 3 32解析 若A=90°

7、,則有AB aC=0,即2+3k=0,2解得k=3若 B=90°,則有 AB BC=0,因為 bC=AC AB = ( 1, k-3),一,11所以一2+3(k3)=0,解得 k=y；若 C=90°,則有 ACbC = 0,即1 + k(k 3)=0,解得k=呼.綜上所述，k=-3或”或 %3.5,在四邊形 ABCD中，AC=(1,2), BD = (-4,2),則該四邊形的面積為 .答案 5解析 依題意得 A BD= 1X (-4)+2X 2=0,所以ACBD,所以四邊形 ABCD的面積為 2|AC| |BD|=1x5X20=5.6.拋物線M的頂點是坐標原點 O,焦點F在

8、x軸的正半軸上，準線與曲線E: x2+y26x+4y3 = 0只有一個公共點，設 A是拋物線 M上一點，若OA AF = - 4,則點 A的坐標是答案(1,2)或(1, 2)解析 設拋物線M的方程為y2 = 2px(p>0),則其準線方程為 x=芻曲線E的方程可化為(x- 3)2+ (y+ 2)2= 16,2一則有3+pL= 4,解得p=2,所以拋物線 M的方程為y2=4x, F(1,0).設Aj, yoj,則OA =2222償 yo 1, AF=，y0, - yo所以 OA AF=y0,y0，一y2=4,解得 y0=i2.所以點 A 的坐標為(1,2)或(1, -2).題型分類深度剖析

9、真題典超深度剖析重點難點多堆探究題型一向量在平面幾何中的應用f師生共研典例(1)在平行四邊形 ABCD中，AD=1, Z BAD =60°, E為CD的中點.若AC BE= 1 ,則AB=.,1答案2解析 在平行四邊形 ABCD中，取AB的中點F,_ .一 一 一 一 一 1 一則 BE=FD,，BE=FD=AD 2AB,一 一 一 一又：A C=A D+A B,T 一 一 一 八 1 一 'i.AC BE=(AD+AB)他£ABj=AD2-1AD AB+AD AB-；AB2,3 2 1 。1 2=|AD| +2AD|AB|cos 60 - 21ABi= 1+；X

10、11ABi2ab|2=1.口 . :一 一一t 一 T 1 0一 |AB| |AB|=0,又 |AB|W0,|AB|=2(2)已知O是平面上的一定點，A, B, C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足6P=oA一， 、一. 一+ XAB+AC),法(0,+8),則點P的軌跡一定通過 ABC的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心答案 C解析 由原等式，彳#OPOA= xAB+AC),即aP= xAB+aC),根據(jù)平行四邊形法則，知aB+aC是 ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量AD的2倍，所以點P的軌跡必過4ABC的重心.引申探究.-> ->'AB AC本例

11、(2)中，若動點P滿足OP = OA+ X+ ，入C (0, + 8),則點p的軌跡一定通過 ABCAB + ACqAB| |aC|J,而空和”分別表示平行|AB| |AC|答案內(nèi)心解析由條件，得OP OA=/差+空 4AB| |AC|J_-> > ,>、，,、，一 AB AC 一 一一 -一 一一一.，、,于AB,AC的單位向量，故二十1平分/ BAC,即AP平分/ BAC,所以點P的軌跡必過4ABC的內(nèi)心.思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

12、(2)基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程進行求解.跟蹤訓練(1)在 ABC中，已知向量AB與AC滿足皆+ 什 BC=0,且空竿 =2,則 ABC為()A.等邊三角形B .直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形答案 AAB AC> ABAC解析 箋，胃分別為平行于AB, AC的單位向量，由平行四邊形法則可知-AB + 'ACZBAC的平分線.因為AB + ACQAB| |AC|jBC=0,所以/BAC的平分線垂直于 BC,所以AB = AC.ABAC Y|AB| |AC|AB| |AC|cos/BAC = 1,所以 c

13、os/BAC = 1,又 0</BAC<ti,故/BAC= 223B -解析取HF中點O所以ABC為等邊三角形.（2）（2017湖南長沙長郡中學臨考沖刺訓練）如圖，在平彳T四邊形 ABCD中，AB=1, AD=2,F, G, H分別是AB, BC, CD, AD邊上的中點，則 EF尾 + GH HE等于（）a.23D- -4答案則EFff 2 f 2FG= EF EH =EO -OHGH HE = GH GF = GO2 OH2=1_2=31 卜廠4,A.一3 一因此EF FG + GH HE = 5,故選題型二向量在解析幾何中的應用師生共研典例 已知向量OA= (k,12), O

14、B = (4,5), OC = (10, k),且A, B, C三點共線，當k<0時,若k為直線的斜率，則過點（2, 1）的直線方程為答案 2x+y3=0解析 AB=OB OA= (4k, 7), ，BC=OCOB = (6, k-5),且AB/ BC,(4-k)(k-5)+6X7=0,解得k= 2或k= 11.由k<0可知k= 2,則過點(2, 1)且斜率為一2的直線方程為 y+1 = 2(x2),即2x+ y-3=0.(2)若點O和點F分別為橢圓227 +氣=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OP FP的最大值為答案 6解析由題意，得F(- 1,0),設P(xo, y

15、o),-1,解得 y0=3, x0j因為 FP = (xo+1, yo), OP = (xo, yo),所以OP FP = Xo(xo + 1)+y0 = Xo+xo+31l x2；= x2+xo+3,對應的拋物線的對稱軸方程為xo一、，-W、“一 一一什，r一，一22=2,因為一2W xo<2,故當x0=2時，O PF P取得最大值 +2 +3= 6.思維升華 向量在解析幾何中的 “兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去 “向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.

16、(2)工具作用：利用 a±b? ab=0( a, b為非零向量)，all b? a= ?b(bw0),可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.跟蹤訓練(1)在平面直角坐標系中， O為坐標原點，直線l: xky+1 = 0與圓C： x2+y2=4 相交于A, B兩點，OM = OA + OB,若點 M在圓C上，則實數(shù)k=.答案 0解析 設AB的中點為D,則有OM = O)A+O)B = 2O)D,. |oM |= 2|oD |= R= 2(R 為圓 C 的半徑),|o>D|= 1.|0- 0+ 1|由點到直線的

17、距離公式，得 1= j ,解得k= 0.k2+1(2)(2017安徽省安師大附中、馬鞍山二中階段性測試)已知點A在橢圓25+q=1上，點P滿25 9足AP=(X- 1) OA(X R)(O是坐標原點)，且OAOP=72,則線段 OP在x軸上的投影長度的最大值為.答案 15解析因為AP=(卜1)OA,所以OP= BA,即O, A, P三點共線，因為OA OP=72,所以 OA OP= |OA|2=72,設A(x, v), OA與x軸正方向的夾角為依線段OP在x軸上的投影長度為|OP|cos 0|= p|X|72兇72M|72 v 72=15.向x+V瓢噂2再15 .當且僅當|x|=/時取等號.題

18、型三向量的其他應用_國圖命題點1向量在不等式中的應用x+ v>2,典例 已知O是坐標原點，點A(-1,2),若點M(x, y)為平面區(qū)域，xW1,上的一個動點，、尸2則OAOM的取值范圍是()A. -1,0B. 0,1C. 1,3D. 1,4答案 D解析 作出點M(x, y)滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，設 z=OAoM,因為A(- 1,2), 一一一 一 11 1M(x, v),所以z= OA OM = - x+2y,即y= x+于.平移直線y=-x,由圖象可知，當直線 y= 2x+ *經(jīng)過點C(0,2)時，截距最大，此時一，一，八11.時，截距最小，此時 z最小，最小值為1,故

19、1WzW 4,即 1w6AoMw4.z取大，取大值為 4,當直線y=x+±z經(jīng)過點B命題點2向量在解三角形中的應用 典例 在ABC中，角 A, B, C的對邊分別是 a, b, c,若20aBC+15bCA+12cAB= 0,則 ABC最小角的正弦值等于()3B.4C.5,7D.4答案 C解析 20aBC+ 15bCA+ 12cAB= 0, _>f一 . 20a(A C-A B) + 15bC A+ 12cA B = 0, . (20a 15b)AC+ (12c 20a)AB=0,.AC與AB不共線,20a-15b=0,12c-20a= 0,，=3a, 解得5c=3a，.ABC

20、最小角為角A,b2+c2a2 cos A=-2bc16a2+25a2_#45=5'2X3aX3a3 . sin故選C.命題點3向量在物理中的應用典例 如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力F 1, F 2, F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1, F2成60°角，且F1, F2的大小分別為2和4,則F3的大小為(B. 2/5D. 6A. 2sC. 2答案 A解析如題圖所示，由已知得 F i+F 2+F 3=0,則F 3=- (F i+F 2),即F 3= F 2+F 2+2F1F 2=F2+F2+2|Fi| |F21cos 60 = 28.故|F3|=2幣.思維升華 利用

21、向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結合起來，解題時通過定義 或坐標運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結論明晰化.跟蹤訓練(1)函數(shù)y=sin(cox+昉在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M, N分別是最高點、最低點，O為坐標原點，且OM oN = 0,則函數(shù)f(x)的最小正周期是 .答案 3解析由圖象可知，M(2，1N(xn, 1)，1 1所以 OMoN=亞，1 J (Xn, - 1) = 2XN 1=0,解得Xn=2,所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2X 2-2 = 3.y>x,(2)已知x,y滿足極+ y<2,若0A = (x,1), Ob = (2, y),且OA 而的最大值是最小

22、值的8“a,倍，則實數(shù)a的值是.解析 因為 O>A=(x,1),(OB=(2, v), 所以 Oa OB=2x+ y,令 z= 2x+y,依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當目標函數(shù)Z= 2x+y過點C(1,1)時，Zmax=2X 1+1 =3,目標函數(shù) z= 2x+y 過點 F(a,a)時，zmin = 2a+a = 3a,所以 3= 8X 3a,1 解得a= 1.8審題路線圖-三審圖形抓特點典例 已知A, B, C, D是函數(shù)y=sin(cox+耳卜>0, 0<2： 一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A, 0 B為y軸上的點，C

23、為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個. .->. 一 . . TT 一對稱中心,co,()的值為(B與D關于點E對稱，由CD在x軸上的投影為,則審題路線圖E為函數(shù)圖象的對稱中心，C為圖象最低點作出點C的對稱點MD , B兩點對稱CD和MB對稱CD在x軸上的投影是12BM在x軸上的投影OF二金A1忖=4 一三3= 2y= singx+ 4（）兀和丫 = $1 n或圖象比較,5= 6M,作MF，x軸，垂足為F,°r.解析 由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點C的對稱點如圖.B與D關于點E對稱，由CD在x軸上的投影為 比，知 又A6, 0）所以af = T=2：，所以2.同時函數(shù)y

24、=sin（3 圖象可以看作是由y= sin cox的圖象向左平移得到，故可知()()?？?r兀)='=-,即(b=-3 2 6' W 3.答案 A課時作業(yè)b基礎保分練1 . （2018株州模擬）在 ABC中,（BC+BA） AC=ACf,則4 ABC 的形狀一定是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 由(BC+ BA) AC= AC2,得AC (BC + BAAC) = 0,即 AC (BC + BA+ CA)= 0,2AC BA=0,. ACXBA, . =90°.又根據(jù)已知條件不能得到|AB|=|AC|,故 ABC -一定是

25、直角三角形.2.已知點A( 2,0), B(3,0),動點P(x, y)滿足PApb=x2,則點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案 D解析 PA=(-2-x, -y), PB= (3-x, - y), PA PB = ( 2x)(3x)+y2=x2, -y2=x+6,即點P的軌跡是拋物線.3.已知向量 m=(1, cos 機 n= (sin0, 2),且 m± n,則 sin 2 0+ 6cos2 0 的值為(1 A.2B. 2C. 2啦D. 2答案解析由題意可得 m n= sin 0 2cos 0= 0,則tan0= 2,所以 sin 2 0+ 6cos2 0=2

26、 .2sin 0cos 0+ 6cos 0sin2 0+ cos2 02tan。+ 6t 2a = 2.故選 B., ，一 一、，一一 ，1 71 74.（2017長春質(zhì)量監(jiān)測）在4ABC中，D為 ABC所在平面內(nèi)一點，且AD=3AB + 2AC則至BCDSABD等于（1A.61B.3C.2D.3答案解析如圖，由已知得點D在 ABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點處,從而有SaABD = 2sx ABC, SA ACD = 3$ABC , SA BCD =11_1'1 _ 2_ 3戶ABC = 6$a ABC,所以SA BCDSaabd13.5.已知F1, F2分別為橢

27、圓C： Xr + y-=1的左、右焦點，點E是橢圓C上的動點，則EF1 EF2 98的最大值、最小值分別為()A. 9,7B. 8,7C. 9,8D. 17,8答案 B解析 由題意可知橢圓的左、右焦點坐標分別為F1(1,0), F2(1,0),設E(x, y)(-3<x< 3),則EF=(1 x, y), EF2= (1 x, - y),所以 EF1 EF2= x2-1+y2= x21 + 8聲2 =x + 7, 99所以當x=0時，eF E?2有最小值7,當x=七時，E1 E12有最大值8,故選B.6. (2018四川涼山州一診)若直線ax-y=0(aw0)與函數(shù)f(x) =c

28、2 一2cos x+ 1In2+x2-x的圖象交于不同的兩點A, B,且點C(6,0),若點D(m,n)滿足DA+DB=CD,則m + n等于(A. 1B. 2C. 3D. 4答案 B2cos1 x 什 12cos2x + 1解析 因為f(-x)= -/一=2-x2+xIn- In2+x2-xf(x),且直線ax- y=0過坐標原點，所以直22cos x+ 1線與函數(shù)f(x) =的圖象的兩個交點2 + xIn2-xA, B關于原點對稱，即xa+xb=0, yA+ yB=0,又DA = (xa m, yA-n),DB=(xbm, yB-n), (CD = (m-6, n),由 DA + DB=C

29、D,得 小 m+xB-m = m-6, yA n+yBn=n,解得 m=2, n= 0,所以 m+n= 2,故選 B.，一， > 一，7.在菱形 ABCD 中，若 AC=4,貝 U CA AB=.答案 8解析設 / CAB= 0, AB=BC=a,由余弦定理得 a2 = 16 + a2 8acos 0, acos 0= 2,CA aB= 4X ax cos(兀一 = 4acos 0= 8.8 .已知|a|=2|b|, |b產(chǎn)0,且關于x的方程x2十|a|x ab= 0有兩相等實根，則向量 a與b的 夾角是.答案言3解析 由已知可得 A= |a|2+4a b=0,即 41b|2+4X 21

30、b12cos 0= 0, 1- cos 0= 2.2兀又長0,兀0=39 .已知O為 ABC內(nèi)一點，且OA+6C + 2OB=0,則 AOC與4ABC的面積之比是 . 答案 1 ： 2解析如圖所示，取AC的中點D,入.Oa+Oc=2(Od,.OD=Bo,.O為BD的中點，面積比為高之比.Saaoc DO 1即=二Saabc BD 210.如圖所示，半圓的直徑 AB = 6, O為圓心，C為半圓上不同于 A, B的任意一點，若 P 為半徑OC上的動點，則(RA+PB) pC的最小值為.O答案2解析圓心O是直徑AB的中點，一 廣一一 .PA+ PB=2PO, . (FA+PB) PC=2PO PC

31、,一一 |PO|+ |PC|=3>2 V|PO| |PC|,，|PO| |pC|w * 9 ，一 ,3 . 一 一即(PA+PB) PC = 2PO PC = - 2|PO| |PC|> 2,當且僅當 |PO|= |PC|=2時，等號成立，故最小值為2., , ， , ， ， ，.，, ， 一，.一 一 二工 11.已知點P(0, 3),點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足PA A M = 0, A M =-3MQ,當點A在x軸上移動時，求動點 M的軌跡萬程.解 設M(x, y)為所求軌跡上任一點，設 A(a,0), Q(0, b)(b>0),-7則PA= (a,3)

32、, AM = (x-a, y), MQ=(-x, b-y),I ，I由 AM = 3MQ,得由 PA AM=0,得 a(x a)+3y=0.b-y)= |x，|(y-bx 一 a= 2'x,33ly=2y2b,a=- 2，bb>0, ，y>0,把a= 2代入到中，得一2"2；+ 3y=0,整理得 y=4x2(xw0).，動點M的軌跡方程為y=1x2(xw 0). 412. (2018酒泉質(zhì)檢)在AABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且滿足(V2a c)BA BC=cCB CA.(1)求角B的大??；(2)若|BABC|=M6,求AABC面積的最大

33、值.解 (1)由題意得(啦ac)cos B= bcos C.根據(jù)正弦定理得(第sin A sin C)cos B= sin Bcos C,所以需sin Acos B= sin(C+ B),即也sin Acos B= sin A,因為AC (0,%所以sin A>0.所以cos B=¥,又BC(0,在所以B = 4.(2)因為 |BA-BC|=6,所以 |CA|=76.即b=6,根據(jù)余弦定理及基本不等式，得6=a2+c2寸2ac>2ac42ac=(2 Q2)ac(當且僅當 a=c 時取等號)，即 ac< 3(2十寸2),13(2 +1 故 ABC 的面積 S=2acs

34、in B<2,32+3即4ABC的面積的最大值為一2-力技能提升練13.已知O是平面上的一定點，A, B, C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足OP= OAABAC十Y _QAB|cos B |AC|cos C J/(0, +oo )，則()A.動點P的軌跡一定通過4ABC的重心B.動點P的軌跡一定通過4ABC的內(nèi)心C.動點P的軌跡一定通過4ABC的外心D.動點P的軌跡一定通過4ABC的垂心答案 D解析由條件，得AP=入ABACV|A B|cos B |A C|cos cJ從而AP BC=入AB BC AC BCSB|cos B |AC|cos C)|AB|BC|cos180°=入J|AB|cos B-B)+ 入 mjBCjcosc=0|AC|cos C所以APBC,則動點P的軌跡一定通過 ABC的垂心.14.已知圓 C: (x2)2 + y2=4,圓 M: (x 25cos 2+(y5sin 9)2=1(0 R),過圓 M 上任意一點P作圓C的兩條切線PE, PF,切點分別為E, F,則PE pF的最小值是答案 6解析 圓(x2)2+y2=4的圓心C(2,0),半徑為2,圓 M(x- 2 5cos 2+(y 5sin 9)2=1,圓心 M(2+5cos 0,5sin 0),半徑