2018高考全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)帶答案

1、絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共23題，共150分，共4頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在 條形碼區(qū)域內(nèi)。2 .選擇題必須使用 2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0. 5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3 .請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4 .作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。、選擇題：本題共12小題

2、，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的。1 2i _2 -2i4 3. i 5 5B.，+3i5 5C.3 4. i 5 5D.2.已知集合 A=(x,y)|x2 +y293,xWz,yW Z,則A中元素的個(gè)數(shù)為4.已知向量 a, b 滿(mǎn)足 | a |=1, ab= T ,貝U a 0,b 0)的離心率為 則其漸近線方程為 a bD.A . y = V2xB . y = V3xC. y =- x26 .在 ABC 中，cosC=5, BC =1 , AC =5,則 AB =25A. 4庭B,向C.國(guó)D. 2用，一 111117 .為計(jì)算 S =1 - +-

3、-1+-2 3 499 100序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A. i =i 1B. i =i 2C. i =i 3D. i =i 4,設(shè)計(jì)了右側(cè)的程哥德巴赫猜想是每8 .我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30 J戈3 .在不超過(guò)“1A.12-18 . 一149 .在長(zhǎng)方體 ABCD ABC1D1中,C.AB=BC =1 ,1D . 15AA =出,則異面直線118AD1與DB1所成角選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是的余弦值為D.A. 1B.世C.色56510 .若f (x) =cosxsinx在-a,a是減函

4、數(shù)，則 a的最大值是A.B.C.紅D.無(wú)42411 .已知f(x)是定義域?yàn)?-,收)的奇函數(shù)，滿(mǎn)足 f (1x) = f (1+x).若f (1) = 2 ,則 f (1) f (2) f(3) I f(50)工A. -50B. 0C. 2D. 502212 .已知E, F2是橢圓C:，+y2=1(a：bA0)的左，右焦點(diǎn)， A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn) P在 a b過(guò)A且斜率為3 ，,的直線上， PF1F2為等腰三角形，/F1F2P =120,則C的離心率為64小題，每小題5分，共20分。D.-4A. 23二、填空題：本題共13 .曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0, 0)處的切線方程為x 2y -5

5、 0,14 .若x, y滿(mǎn)足約束條件dx2y+3 0,貝U z=x + y的最大值為 x-50)的直線l與C交于A , B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A , B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20 . （12 分）如圖，在三棱錐 P _ABC中，AB=BC =2,PA=PB =PC=AC =4 ,。為 AC 的中點(diǎn).(1)證明：PO,平面ABC ；求PC與平面PAM所成角的正弦值.(2)若點(diǎn)M在BC上，且二面角 M _PA_C為30,21 . (12 分)已知函數(shù)f(x)=exax2.(1)若 a =1 ,證明：當(dāng) x0 時(shí)，f (x) 1;(2)若f (x)在(0,七)只有

6、一個(gè)零點(diǎn)，求 a .(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22 .選彳4- 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分) x =2cos &在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x, (。為參數(shù))，直線l的參數(shù)方j(luò)=4sin 0,工口 4 x =1 +t cos O, / , 有、程為W(t為參數(shù)).y =2 +tsin(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.23 .選彳4- 5:不等式選講(10分)設(shè)函數(shù) f (x) =5|x+a|x2| .(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)

7、若f (x) 0).設(shè) A(xi,y) B(x2, y2),V =k(x-1),2 222由2得k x -(2k +4)x + k =0.y =4x2- 八2k24A=16k +160,故 x1+x2=2k,2，_4k 4所以 | AB|=| AF | | BF 1-(x1 1) (x2 1)k4k2 4由題設(shè)知 一=8,解得k = -1 (舍去)，k=1 . k2因此l的方程為y =x1 .(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為 y 2 = (x 3),設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則yo 二-x。5,2(x0 1)(y0-x0+1)2 +162x0XQ

8、 3 3,解得 ,。二2x0 = 11,V。二 一6.因此所求圓的方程為(x3)2 +(y -2)2 =16 或(x11)2 +(y+ 6)2 =144 .20 .解:(1)因?yàn)?AP=CP = AC=4,。為 AC 的中點(diǎn)，所以 OP_L AC ,且 OP = 2，3.連結(jié)OB .因?yàn)锳B = BC2-人，生曲+八八/ AC ,所以ZXABC為等腰直角三角形, 21且 OB _L AC , OB =AC = 2 .2由 OP2 +OB2 =PB2 知 PO _LOB .由 OP _L OB,OP _L AC 知 PO，平面 ABC .uur(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，

9、建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz.uur由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0,-2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 曲)，AP = (0,2,2 套)，取uur平面PAC的法向量OB = (2,0,0).uuur設(shè) M (a,2 -a,0)(0 a 2),則 AM =(a,4 -a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n =(x, y,z).uuu由AP nuuir2y 2,3z = 0-0, AM n =0得 2y0 ,可取ax (4 -a)y = 0n (/3(a -4), 3a, a),.uur所以 cos：OB,n2 3(a -4) .由已知得2,3(a -4)2

10、3a2 a2uur .3| cos：OB, n ： | = 所以2 3|a -4|2.3(a -4)2 3a2 a2=.解得a = Y (舍去)，2所以, 8.3 4.3n =( 一,33uur,-).又 PC =(0,2,-所以PC與平面PAM所成角的正弦值為421 .解：(1)當(dāng) a=i時(shí)，f (x)至 1 等價(jià)于(x2 +l)e -1 0 .設(shè)函數(shù) g(x) =(x2 +1)e -1 ,則 g(x) = -(x2 -2x+1)e = -(x-1)2e .當(dāng)x#1時(shí)，g(x) 0,所以g(x)在(0,+s)單調(diào)遞減.而 g(0)=0,故當(dāng) x20時(shí)，g(x) 1 .(2)設(shè)函數(shù) h(x)

11、=1 -ax2e、.f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,十無(wú))只有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)a40時(shí)，h(x)0, h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；(ii)當(dāng) a0時(shí)，h(x) = ax(x2)e .當(dāng) x w (0,2)時(shí)，h(x) 0 .所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,收)單調(diào)遞增.4a故h(2) =1 -可是h(x)在0,收)的最小值. e2e一若h(2) 0,即a h(x)在(0,收)沒(méi)有零點(diǎn);4 e若h(2) =0,即a= h(x)在(0,也)只有一個(gè)零點(diǎn);42若h(2)之，由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn),4由(1)知，當(dāng)x 0時(shí),ex x2,所以16a3h(

12、4a) - 1-4a- = 1e16a3/ 2a、2(e )16a311 4 =1 0 .(2a)a故h(x)在(2,4 a)有一個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,也)有兩個(gè)零點(diǎn).2綜上，f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=e.422.解：22(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為土+匕=1.416當(dāng)cosa #0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為 y=tanu x+2-tana ,當(dāng)cosa =0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為 x = 1 .(2)將l的參數(shù)方程代入 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1 +3cos2a)t2 +4(2cos cc +sina)t -8 =0 .因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在

13、C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為 t1, t2,則 t1，tz = 0 .4(2cos sin)又由得t1 +t2 = -(-cos2s一) ,故2cosa十sina = 0 ,于是直線l的斜率 1 3cos2 :k = tana = -2 .23.解：2x 4,x 三-1,(1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) =2,1x2.可得f(x)之0的解集為x|2EXE3 .(2) f(x)1 等價(jià)于 |x+a |+| x2 住4 .而|x+a| +|x2以a +2|,且當(dāng)x = 2時(shí)等號(hào)成立.故f(x)蕓1等價(jià)于|a + 2|之4 .由|a+2m4可得aw-6或a 之2,所以a的取值范圍是(叫6|J2,).21

14、(12 分)已知函數(shù)f (x) =ex -ax2 .(1)若a =1,證明：當(dāng)x至。時(shí)，f (x) 1 ；(2)若f (x)在(0,也)只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a .解：(1) f(x)=ex2x, f(x)=ex-2.當(dāng) x ln2 時(shí)，f “(x)0 ,所以 f (x)在(g,ln 2)單調(diào)遞減，在(In 2,y)單調(diào)遞增，故 f (x) f (ln 2) = 2 2ln 2 A 0 , f (x)在(-,收)單調(diào)遞增.因?yàn)閤之0 ,所以f(x) f (0) =1 .xe2, 當(dāng)x 0時(shí)，設(shè)g(x) =- -a，則f (x) =x g(x) , f (x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn) x等價(jià)于g (x)在(0,y)只有一個(gè)零點(diǎn).g (x)=ex(x-2)，當(dāng) 0 cx 2 時(shí)，g(x) 2時(shí)，g(x) 0 ,所以 g(x)在(0,2)2單調(diào)遞減，在(2,