3.含參二次函數(shù)(10道)

1、含參二次函數(shù)類型一函數(shù)類型確定型1.已知拋物線y = 3ax2 + 2bx+c.若a = 3k, b=5k, c= k+1,試說明此類函數(shù)圖象都具有的性質(zhì)；1（2）若a=-5 c= 2+b,且拋物線在一2雙W2區(qū)間上的最小值3是一3,求b的值；若a + b+c=1,是否存在實(shí)數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1, 請(qǐng)說明理由.解：(1)a=3k, b= 5k, c=k+1,拋物線 y=3ax2+ 2bx+ c 可化為 y=9kx2+ 10kx+ k+ 12= (9x2+10x+1)k+ 1,.令 9x2+ 10x+ 1 = 0,1解得 x1 = - 1, x2= - 9,1圖象必過點(diǎn)（一1, 1）,（9，

2、1）,10k5對(duì)稱軸為直線x=5； 2X9k9小、1一1.a = , c = 2+b, 3拋物線 y= 3ax 21綜上所述，b=3或 2；(3)存在.理由如下:. a+b+c=1, c1 = a b,+ 2bx+ c可化為 y= x2 + 2bx+ 2 + b,對(duì)稱軸為直線x= 2b= b,當(dāng)一b2 時(shí)，即 b 2,.x=2時(shí)，y取到最小值為3. 4 + 4b+2+b= 3,解得b= 5（不符合題意,舍去）,5當(dāng)一b2,.x= 2日寸，y取到最小值為3.4 4b+2+b= 3,解得 b=3;當(dāng)一2 b2時(shí)，即一2b0,. 0,必存在實(shí)數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1.2.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)

3、 y= kx+ b的圖象與x軸、 y軸分別相交于A(3, 0)、B(0, 3)兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2 mx n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.(1)求一次函數(shù)y=kx+ b的表達(dá)式；(2)若二次函數(shù)y= x2+mx+ n的圖象頂點(diǎn)在直線AB上，求m, n 的值；設(shè) m= 2,當(dāng)一3W0時(shí)，求二次函數(shù) y=x2+ mx+ n 的最小值；若當(dāng)一3000時(shí)，二次函數(shù)y=x2+ mx+ n的最小值為一4, 求 m， n 的值解：(1)將點(diǎn) A(3, 0), B(0, 3)代入 y=kx+ b得f-3k+ b= 0fk= 1,解得.lb= - 3I b= - 3 一次函數(shù)丫= kx+ b的表達(dá)式為y= x3;(2)二

4、次函數(shù)y = x4)，;頂點(diǎn)在直線AB上， 4n m m4r =萬-3,又二次函數(shù)y=x2+ mx+ n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A( 3, 0),- 9 3m+ n = 0,X =m_3組成方程組為42,9- 3m+ n = 0 m=4 m=6解得 或 ；ln = 3 ln = 9(3)當(dāng) m= 2 時(shí)，由(2)得 9 3m+n=0,解得n=15, + mx+ n的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一，,4n m2 二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x= 1,在一3WW0右側(cè), 當(dāng)x=0時(shí)，y取得最小值是15.二次函數(shù)y=x2 + mx+ n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A, 9 3m+ n = 0,二次函數(shù)y= x2+mx+ n的對(duì)稱軸為直線x= m,

5、i）如解圖,m4n m當(dāng)對(duì)稱軸3V 萬0時(shí)，最小值為一4 一= 4,聯(lián)立4n m244 J9 3m+ n= 0m= 2m= 10m解得 或（由3 20,. me 0,此種情況不成立；iii）當(dāng)對(duì)稱軸一手=0時(shí)，y = x2 + mx+ n當(dāng)x= 0時(shí)，取得最小值為4,把(0, 4)代入 y= x2+ mx+ n 得 n= 4,5把 n= 4代入 93m+n = 0,得 m=3，m -.一萬=0,/m= 0,此種情況不成立;iiii）當(dāng)對(duì)稱軸一，0 3 時(shí)，.一3WWQ.當(dāng)乂= 3 時(shí)，y 取得最小值一4, ,當(dāng)x= -3時(shí)，y=0,不成立.綜上所述，m=2, n= 3.圖圖第2題解圖3.在平面

6、直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yi=x2+2(k 2)x+ k24k + 5.(1)求證：該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)；(2)若函數(shù)y2 = kx+3經(jīng)過yi圖象的頂點(diǎn)，求函數(shù)yi的表達(dá)式；當(dāng)14W3時(shí)，二次函數(shù)的最小值是2,求k的值.(1)證明：b2 4ac=4(k 2)2-4(k2-4k+ 5)= 40,二次函數(shù)與坐標(biāo)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)；(2)解：. yi = (x+ k- 2)2+1, 函數(shù) yi 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2k,1),代入函數(shù) y2 = kx+ 3得(2 k)k+ 3=1,解得k= 1 + 5或k= 1-6，.y1 = x2 + 2(V3-1)x+ 5 26或 y1=x2-2(V3+ 1

7、)x + 5+ 2 3;b(3)解:當(dāng)對(duì)稱軸x= 2a=2kwi時(shí),k1,當(dāng)x=1時(shí)，yi取得最小值2,即 1+2(k 2)+k2 4k+5=2,解得 k= 0(舍去)或 k=2;當(dāng)對(duì)稱軸12k3時(shí),1k1,當(dāng)x=2 k時(shí)，最小值恒為1,無解；當(dāng)對(duì)稱軸x= 2kA3時(shí)，k0 時(shí)，求證：p2, q0, 一2ax 0，3a3 333/p= 2a =2-2a2;(a-3) 2la 40，22a + 6a 9 4a (a3).q=4a+4a=4a+10,且頂點(diǎn)B在第四象限；. c （3） .點(diǎn)C（工b +8）在拋物線上, a令 b + 8=0,得 b= 8,由(1)得 a+c= b, a + c= 8

8、,b 4acb2c把b（喔，4a卜c（a，b+8）兩點(diǎn)代入直線解析式 得24acbbI 4a =2X(-2P +mcb+8= 2X+m aa = 4b = - 8(a兀, c=4m= 一 2舍去）,a+ c= 8f a = 2fI u o I b = - 8 解得 或lc=6 Im= - 6如解圖所不，C在A的右側(cè), 當(dāng) XAI 時(shí)，4ac b26.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù) yi = ax2 + 2ax+3（a？ 0）若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1, 4）,求函數(shù)yi的表達(dá)式;（2）若一次函數(shù)y2=bx+ a（b小師圖象經(jīng)過yi圖象的頂點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a, b滿足的關(guān)系式;已知點(diǎn)P（1, m）

9、和Q（xo, n）在函數(shù)yi的圖象上，若mn,求xo的取值范圍.解：（1）;二次函數(shù)yi = ax2 + 2ax+ 3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1, 4）,. 4 = a 2a + 3,.a = - 1,.二函數(shù)yi的表達(dá)式為y1 = x2 2x+3;(2) - y1= ax + 2ax+ 3=a(x+1) +3a,yi圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 3-a）.:一次函數(shù)y2 = bx+a（b? 0）圖象經(jīng)過yi圖象的頂點(diǎn), 3 a = - b+a,實(shí)數(shù)a、b滿足的關(guān)系式為b = 2a-3;x=一;二次函數(shù)yi = ax2+ 2ax+ 3的圖象的對(duì)稱軸為直線 2ah=1, . .當(dāng) m=n 時(shí)，xo= 3.2a

10、當(dāng)a0時(shí),.mn,-3 X0 1;當(dāng)a0, . .X0l.綜上所述：-3x0 0)x。的取值范圍為flx01(a1,那么：當(dāng)x0, 二函數(shù)丫= (n+ 1)xm+ mx+ 1 n(m, n為實(shí)數(shù))與x軸有交點(diǎn)；當(dāng) n=1, m#0 時(shí)，函數(shù) y= (n+1)xm+mx+ 1n 是n 1一次函數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)，x=m-, 二函數(shù)y=(n+ 1)xm+ mx+ 1 n(m, n為實(shí)數(shù))與x軸有交點(diǎn)；假命題，若它是一個(gè)二次函數(shù)，則 m= 2,函數(shù) y= (n+1)x2 + 2x+1 n,. n1,.門+10,拋物線開口向上,b21 c對(duì)稱軸：X=-2aT-27 =-nT70 對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)x0時(shí)

11、，y可能隨x的增大而增大，也可能隨x的增大而減小，故為假命題；它一定過點(diǎn)(1, 4)和(一1, 0),理由如下:當(dāng) x= 1 時(shí)，y=n + 1 + 2+ 1 n=4.當(dāng) x= 1 時(shí)，y= 0.它一定經(jīng)過點(diǎn)（1, 4）和（一1, 0）.2.設(shè)函數(shù) y=kx2 + （2k+ 1）x+1（k為實(shí)數(shù)）.寫出其中的兩個(gè)特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并且在同一坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫出它們的圖象；根據(jù)所畫圖象，猜想出：對(duì)任意實(shí)數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；（3）對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)k,當(dāng)x0,拋物線y= kx2+ (2k+ 1)x+ 1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)y = kx2+(2k+

12、1)x+1(k為實(shí)數(shù))與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)；(3)k0,函數(shù)y = kx2 + (2k+ 1)x+1的圖象在對(duì)稱軸直線 x=-2k+ 12k的左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大.2k+1根據(jù)題意，得m-2k,2k+11而當(dāng) k1，. mW 1.一 一 243.已知函數(shù) y=kx2+(3k)x 4.(1)求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；(2)當(dāng) k#0時(shí)，A(n3, n 7)、B( n+1, n 7)是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn).求拋物線的表達(dá)式；求n的值.(1)證明：當(dāng)k= 0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，即 y= 4x-4,與x 3軸交于點(diǎn)（3, 0）;當(dāng) ”0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，424、2 =（3 3

13、k）2 4k 0,函數(shù)與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；24（2）解：當(dāng) 0時(shí)，函數(shù)y= kx2+（a3k）x4為二次函數(shù),3 A（n3, n 7）、B（ n+1, n7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，n 3 n + 1 拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2= 1，3 3k- 2k = T，一 4解得k= 15，4 o 8拋物線的表達(dá)式為y= 15x +15x-4；4 28 一 . 3, n 7）是拋物線y=15x2 + 15x 4上的點(diǎn)，_ 4 ,- 8, ,n 7=15（n 3）2+岳（門一3）4,解得 ni = 4, n2 = 3.4.已知y關(guān)于x的函數(shù)y= (k

14、1)x2 2kx+k + 2的圖象與x 軸有交點(diǎn).求k的取值范圍；(2)若xi, X2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足(k21)xi + 2kx?+ k+ 2=4乂遇2.求k的值；當(dāng)kx+ 2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最小值.解：(1)當(dāng)k= 1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x+3,其圖象與x 軸有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)k?l時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與 x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，令 y=0 得(k1)x22kx+ k + 2=0.= (-2k)2-4(k- 1)(k + 2)蕓0 解得 k 即 kW2且 k? 1.綜上所述，k的取值范圍是k 2.(2)xi*x2,由(1)知k2且k?函數(shù)圖象與

15、x軸有兩個(gè)交點(diǎn),由題意得(k 1)xi+ (k+ 2)= 2kxi ，將代入(k 1 )x； + 2kx2 + k + 2 = 4xiX2 中得:2k(Xi + k) = 4xiX2.令(k1苣2kx+k+2 = 0,2kk+2則 Xi + X2=, XiX2= k- 1k- 12k2k k+2 k-1- k-1解得ki = - 1, k2= 2（不合題意，舍去）.所求k的值為一1;第4題解圖=2.3.y的最大值為2,最小值為3.5.設(shè)函數(shù)yi = (xk)2+k和y2=(x+ k)2 k的圖象相交于點(diǎn) A,函數(shù)yi, y2的圖象的頂點(diǎn)分別為B和C.(1)畫出當(dāng)k=0, 1時(shí)，函數(shù)yi, y2在直角坐標(biāo)系中的圖 象；(2)觀察(1)中所畫函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置，發(fā)現(xiàn)它們均分布 在某個(gè)函數(shù)的圖象上，請(qǐng)寫出這個(gè)函數(shù)的解析式，并說明理 由；(3)設(shè)A(x, y),求證：x是與k無關(guān)的常數(shù)，并求y的最 小值.第5題圖(1)解：畫出圖象如解圖所示;第5題解圖(2)解：當(dāng)k=。時(shí),函數(shù)yi = y2=x2的頂點(diǎn)為(0, 0), 當(dāng)k= 1時(shí)，函數(shù)yi=(x1)2+1的頂點(diǎn)為(1, 1), 函數(shù) y2 = (x+1)21 的頂點(diǎn)為(1, 1),它們的頂點(diǎn)都在直線y=x的圖象上，因?yàn)樗鼈兊淖鴺?biāo)均滿足解析