2018全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案

1、中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會數(shù)學周報杯 2018年全國初中數(shù)學競賽試題題號一二三總分1561011121314得分評卷人復查人答題時注意:1.用圓珠筆或鋼筆作答；2.解答書寫時不要超過裝訂線;3.草稿紙不上交.一、選擇題共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A, B, C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1 .設a=J71,則代數(shù)式 3a3+12a2 -6a-12的值為(.A) 24B) 25C) 4+10D) 4+122 .對于任意實數(shù)a, b, c, d ,定義有序實數(shù)對(a,切與(c, d)

2、之間的運算 為： a, b ) c, d ) =ac+bd, ad+bc).如果對于任意實數(shù)u, v,都有 u, v ) Ax, y)=u, v),那么 .A) 0, 1) B) 1, 0) C) - 1, 0) D) 1 , y 0 ,且滿足 xy = xy, =x3y ,則 x + y 的值為(.yA) 1B) 2C) 9.A) S1S3 S2S4B) SS3=&S4S2S4.13 23 33993A) 4B) 5C) 6D) 7二、填空題共5小題，每小題7分，共35分)6 .若關于x的方程(x2)(x24x+m)=0有三個根，且這三個根恰好可 以作為一個三角形的三條邊的長，則 m的取值范

3、圍是.7 . 一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1, 2, 2, 3, 3,4;另一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1, 3, 4, 5, 6, 8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是.8 .如圖，點A, B為直線y=x上的兩點，過A, B兩點分別作y軸的平 行線交雙曲線y/0)于C, D兩點.若BD=2AC,則4OC2 -OD2的值為.x第10題)9 .若y = x +業(yè)-1的最大值為a,最為b,則a2 +b2的值為.圖，在RtzXABC中，斜邊 AB的長為35,正方形CDEF內(nèi)接于AABC,且其邊長為12,則 ABC的周長為.三、解答題共4題，每

4、題20分，共80分)11 .已知關于x的一元二次方程 x2+cx + a = 0的兩個整數(shù)根恰好比方程 x2+ax+b =0的兩個根者B大1,求a + b+c的值.12 .如圖，點H為乙ABC的垂心，以AB為直徑的。1和4 BCH的外接圓。O2相交于點D ,延長AD交CH于點P ,求證：點P為CH的中點.13.如圖，點A為y軸正半軸于x軸對稱，過點A任作直線交拋物線d點，A, B兩點關2 2y=-x 于p, q兩點.1)求證：/ ABP = / ABQ ;2）若點A的坐標為/7_1, a+1=, a2=6 2a,所以2. B解：依定義的運算法則，有ux+ vy = u, 、vx+uy = v，

5、即u(x-1) +vy= 0, 網(wǎng)-1)十”=0對任何實數(shù)u, V都成立.由于實數(shù)u, v的任意性，得x, y) =S2s4 .5. A解：當k=2, 3, HI , 99時,由于13 : k312二一k(k21) 2(k1)k k(k +1)所以 1 ；S =1 4二 W .工：二1 .1 1 -23339932 25:一.99 1004于是有44S5,故4s的整數(shù)部分等于 二、填空題4.6. 3m2,所以X1 一X2 0,即 J(X +x2 2 -4x1x2 2 , =16-4m0,所以4164m 2 , =16-4m2解之得3m0 4.7. 19解：在36對可能出現(xiàn)的結果中，有 4對：1

6、, 4）, 4, 1）的和為5,所以朝上的面兩數(shù)字之和為 5的概率是2, 3),4=1.36 90,行一0 x w 1.2212 311 2, -x , x -4)16，一 13 一 ,3 .2一 ,一 . 一由于131 ,所以當x = 3時，y2取到最大值12 4411當x = -或1時，y取到取小值一，故b =22所以，a2 b210. 84解：如圖,BC = a, AC = b,則222a +b =35 =1225.又 Rt AFE s Rt acb ,所以F E AF第10題）AC1 2 b - 1244r ,故12(a+b)=ab . 由得222(a+b) =a +b +2ab =1

7、225+24 (a+b), 解得a+b = 49另一個解25舍去），所以a+b+c=49 + 35=84.解答題11.解：設方程x2+ax+b=0的兩個根為，其中 P為整數(shù)，且 P ,則方程x2 +cx + a =0的兩根為ot +1, P +1 ,由題意得a + P = a, (a +1 % P +1 )= a ,兩式相加得otP +2o( +2P +1=0,即(口 +2)( P +2) =3,2 =1, 所以-c c:2 =3;又由于 a = _(o( + P) , b =aP, c = 一 (a+1)+(P +1),所以第12題)a =0, b = -1, c=-2； 或a=8,b 虧

8、1 5,c =故 a +b +c = -3,或 29.12 .證明：如圖，延長AP交。2于點Q,連接 AH, BD, QB, QC, QH .由于AB為。Oi的直徑， 所以/ ADB =/ BDQ =90故BQ為。2的直徑.于是 CQ _LBC, BH .LHQ .又由于點H為八ABC的垂心，所以AH IBC, BH _L AC .所以AH / CQ , AC / HQ ,四邊形ACQH為平行四邊形.所以點P為CH的中點.13 .解：1)如圖，分別過點P, Q作y軸的垂線，垂足分別為C, D .設點A的坐標為0, t ),則點B的坐標為0, t).設直線PQ的函數(shù)解讀式為y = k x t并設

9、P, Q的坐標分別為 (xp, yp) , (xq, yQ).由2 2第13題）4寸一x kx t =0 , 332于是 XpXq=T, IP t = -XpXq .23于是22 .22 2BC yP t 3xP t 3xP 3XpXQXpBD yQ，t 22,22 2XQ t - XQ - -XpXq 3332 v、3 XQ(XQ - XP)Xq又由于QCBC PCBD QD由于/ BCP =/ BDQ =90)所以 BCPs BDQ ,3故/ ABP=/ ABQ . b0,由1)可知/ABP=/ ABQ =30*, BC=73a,BD=V3b ,所以 AC = V3a-2, AD =2 -

10、73b.由于 PC / DQ ,所以 ACPc/dA ADQ .于是PC ACDQ AD，即:3a -2所以 a +b = J3ab .3由 得xPxQ =-t = 一一，xP+xQ=k.222若 xq =，代入上式得 xP = 5/3,從而 k =- (xP + xQ) = 一9.233同理，若xQ 3,可得xp =-遮，從而k=2(xP xq).2 33所以，直線PQ的函數(shù)解讀式為y=-於x + 1,或丫=g*+1.3 314.解：如圖，作 ABQ,使得/QAB =/PAC, ZABQ =/ACP,則 ABQs/ ACP.由于AB=2AC,所以相似比為2.于是AQ=2AP=2/3, BQ=2CP=4.QAP =/QABBAP =ACBAP BAC =60 .由 AQ:AP=2:1