圓與相似三角形綜合問(wèn)題

1、b學(xué)生：科目：數(shù) 學(xué)教師：譚前富課題相似三角形和圓的綜合提高教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架相似三角形的性質(zhì)是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問(wèn)題、相等問(wèn)題、比例問(wèn)題、角相等問(wèn) 題的重要方法，尤其在圓中，相似三角形有著極其重要的作用 .1、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線，角平分線，高線，周長(zhǎng)之比等于 相似比，面積之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法(1)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似(3)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 .4、由相似三角形得到的幾個(gè)常用定理定理1平行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形形似AD

2、AEDE如圖，右DE”BC ,則=AB AC BCAD BD =. AE CE定理2平行切割定理如圖，D,E分別是D ABC的邊AB, AC上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線交DE,BC于M ,N，若DE / MN ,ntt DM BN則=一ME NCE定理3 (平行線分線段成比例定理)兩條直線被一組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例如圖，若li / I2 / I3,則AB 二BC_ ACAfe -BCA- C定理4 （角平分線性質(zhì)定理）如圖，AD,AE分別是DABC的內(nèi)角平分線與外角平分線，ntt DBEBAB貝U=.DC ECAC定理5射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形與原三角

3、形相似定理6 相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,PA PB = PC PD定理7 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項(xiàng)。即：在。O中，直徑 AB _L CD ,2 CE2 = AE BE定理8 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng) 的比例中項(xiàng)。即：在。O中，PA是切線，PB是割線_ 2PA = PC PB定理9割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在。O中，: PB、PE是割線PC PB = P

4、D PE二例題講解1利用相似證明角相等例 1 如圖，DABC 中，？BAC 90?,AB交BC于點(diǎn)E .(1)求證：?ADB ?CDE(2)若AB=2 ,求D CDE的面積.AC ,D是邊的中點(diǎn)，AH A BD ,垂足為H ,練習(xí)在D ABC中,DF a AC于點(diǎn)F ,求證:2利用相似證明線段相等例2 已知點(diǎn)E,F分別在矩形 ABCD的邊AB,AD上，EF / BD , EC, FC分別交BD于點(diǎn)G,H ,求證：BG = DH練習(xí)1、如圖，梯形 ABCD中AD / BC ,對(duì)角線 AC,BD交于點(diǎn)P ,過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線分另ij交AB,DC于點(diǎn)E,F ,求證PE = PF .2、如圖，D A

5、BC 中，AB = AC, AD a BC 于 D ,E,G分別是AD, AC的中點(diǎn)，DF a BE于F ,求證：FG=DG .D作直線分別交 AB, AC于點(diǎn)E,F ,若M ,N, R,S 和 P ,A3證明比例（等積）線段例3 如圖，BD, CD為的兩條角平分線，過(guò)點(diǎn)AE = AF ,求證：EF2 = 4BE?CF例4如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O ,直線l平行于BD ,且與AB, DC BC,AD及AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)求證：PM ?PN PR?PS練習(xí)1、如圖，在DABC中，AD是DA的平分線，AD的垂直平分線交 AD于點(diǎn)E ,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .求證：FD 2=F

6、B ?FCAA2、AD,BE是DABC的高線，過(guò)D作AB的垂線,垂足為F ,與BE及AC的延長(zhǎng)線分別相交于 M ,N ,2.求證：DF = FM ?FN3、AD是RtDABC的角平分線，？ C 90?,求證:AC2 _ BC2 =4求線段比AD 2BDA例5 ABCD是正方形，E, F是AB, BC的中點(diǎn),聯(lián)接 EC 交 DB,DF 于 G,H ,求 EG : GH : HC .練習(xí) 1、梯形 ABCD 中，AD / BC,?ABC 90?,對(duì)角線AC人BD于點(diǎn)P ,若處=3 ,求膽的值.BC 4 AC2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線順次與 AC, AD及CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)5

7、證明線段（線段比）和差E,F,G,若 BE= 5,EF = 2,求 FG 的長(zhǎng).例6 如圖，已知 AB / CD, AD / CE,F,G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過(guò) G的直線依次交AB, AD,CD,CE 于點(diǎn) M ,N,P,Q .求證:.MN + PQ = 2PN練習(xí) 如圖，P是D ABC內(nèi)一點(diǎn),AP,BP,CP分別與對(duì)邊交于點(diǎn) D,E,F ,求證:AE AFAP+ =EC FBPD的證明垂直如圖，H,Q分別是正方形ABCD的邊AB, AC上的點(diǎn)，且BH=BQ ,過(guò)B作HC垂線，垂足分別為 P ,求證：DP APQ.BQCb練習(xí)題1、如圖，DABC 中，？BAC 90?,AB, AC的垂線，

8、垂足分別為 F ,G ,求證：2、D ABC與DAB C?均為等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作? FDG 90?AZCC BDECBC和B1C1的中點(diǎn)均為D ,求證：AA A CC17 證明平行例8 如圖，在矩形ABCD中，EBJ' CC11 F是DC邊上的點(diǎn)，滿足DE = EF = FC ,又G、H是BC上的點(diǎn)，滿足BG =GH = HC . AE與DG相交于點(diǎn) 求證：KN / CD .練習(xí)題 如圖，兩個(gè)等邊 AABC2ADE頂點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)F,G.(1)求證：DF平分NAFE.(2)求證：AG / BD .LC8利用相似三角形的面積比K , AF與DH相

9、交于N . Ap- BDEFCE作BC的平行線，分別交 AB,CD于<_ A例9在D ABC的內(nèi)部取點(diǎn)3個(gè)三角形t1,t2,t3的面積分別為P ,過(guò)P點(diǎn)作3條分別與DABC的三邊平行的直線，這樣所得的A4,9,49,求 DABC 的面積.b。b_ 2AB BD練習(xí) 1、AD是RtMBC斜邊上的高，求證：AB-=AC2 DCb2、梯形ABCD中 AD / BC , AD =4,BC =8,點(diǎn) E, F 在 AB, DC 上，且EF / BC，若直線EF平分梯形ABCD的值A(chǔ)E的面積，（1）求EF的長(zhǎng)，（2）求EB練習(xí)題1、已知平行四邊形 ABCD中，M ,N為AB的三等分點(diǎn),DM ,DN分

10、別交AC于P,Q兩點(diǎn)，求BP : PQ : QC 的值.2、如圖，在平行四邊形 一 1 一證：AG = -AC5ABCD 中,1 _E為AB的中點(diǎn)，AF = _ FD , FE交AC于點(diǎn)G ,求23、如圖，AM是的中線，P是AM上一點(diǎn)，BP,CP分別交AC, AB于點(diǎn)D,E ,求證：DEB BC4、DABC 中,AB= AC,?BAC 90?, D 是 BC 邊的中點(diǎn)，AH ABD交BD于點(diǎn)H ,交BC于點(diǎn)E ,求證:BE = 2 EC5、在四邊形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，PF交AD于點(diǎn)M , PE交BC于點(diǎn)N , EF交MN于點(diǎn)K .求證：K是

11、線段MN的中點(diǎn).DDE與BC的延長(zhǎng)線6、銳角三角形 DABC中，AB> AC,CD,BE分別是AB, AC上的高,交于點(diǎn)T ,過(guò)D作白B BC垂線交BE于F ,過(guò)E作BC的垂線交CD于G ,證明：F ,G,T三點(diǎn)共線.7、如圖，在等邊DABC中，BC邊上取點(diǎn)D ,使BD :CD =1:2，作CH A AD ,垂足為H ,聯(lián)接 BH ,求證：？ BAD ? HBC .圓中的相似三角形1、AB是。的直徑，點(diǎn) C在。0上，/ BAC=60° , P是OB上一點(diǎn)，過(guò) P作AB的垂線與 AC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q,連結(jié)OC,過(guò)點(diǎn)C作CDLOC交PQ于點(diǎn)D.(1)求證： CDQ是等腰三角形；

12、(2)如果 CDQA COB,求 BP ： PO 的值.2、 ABC內(nèi)接于圓 O, / BAC的平分線交。于D點(diǎn)，交。O的切線BE于F,連結(jié)BD , CD.求證：(1)BD 平分/ CBE; (2)AB BF = AF DC.E3、 OO以等腰三角形 ABC 一腰AB為直徑，它交另一腰AC于E,交BC于D.求證：BC=2DE4 、 。內(nèi)兩弦AB, CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn)E,由E引AD的平行線與直線 BC交于F,作切線FG, G為切點(diǎn)，求證： EF=FG.5 .如圖，。是ABC勺外接圓，/ BAC的平分線與BC邊和外接圓分別相交于D和E.求證：AD- EC = AC BD證明：6 .如圖，C

13、DW。于 P, PE!AB于 E, AC±CD BDLCD.求證： PE: AC = PB: PA PE 2 = AC - BD7.已知：0ABeD 過(guò)點(diǎn)D作直線交AC于E,交BC于F,交AB的延長(zhǎng)線于G,經(jīng)過(guò)B、G F三點(diǎn)作。O,過(guò)E作。的切線ET, T為切點(diǎn). 分g求證：ET = ED/ 工8 .如圖，AB是。直徑，ED±AB于D,交O O DF9 .如圖，弦EFL直徑MNT H,弦MC長(zhǎng)線交 線于 A,求證：MA?MC= MB?MD10、如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦，點(diǎn) 交AB于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C的切線交2)AH于 G, EA交。于 C, CB交 ED

14、于 F,求證：DG2= DE? EEF的反向延長(zhǎng)/ / MtD為劣弧AC上一點(diǎn)，弦 ED分別交。O于點(diǎn)E, ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.(1)若 PC=PF,求證：AB LED;(2)點(diǎn)D在劣弧AC的什么位置時(shí)，才能使 AD2=DE - DF11.如圖(1),AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圓直徑， 則有結(jié)論：AB AC=AE AD成立，請(qǐng)證明.如果把圖(1)中的/ ABC變?yōu)殁g角，其它條件不變，如圖 (2),則上 述結(jié)論是否仍然成立？,為什么？分)圖圖(2)12.如圖，AD是4ABC的角平分線，延長(zhǎng) AD交 ABC的外接圓的。Oi與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F,連結(jié)EF、DF.(1)求證: AEF

15、 s' fed ；(2)若 AD=8 , DE=4 ,求 EF 的長(zhǎng).。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)13.如圖，PC與。O交于B ,點(diǎn)A在O O上，且/ PCA= / BAP.(1)求證：PA是。的切線.(2)AABP和ACAP相似嗎？為什么？(3)若 PB:BC=2:3 ,且 PC=20 ,求 PA 的長(zhǎng).14.(本小題滿分7分)已知：如圖， AD 是。的弦，OBLAD 于點(diǎn) E,交O O 于點(diǎn) C, OE=1 , BE=8 , AE:AB=1:3.(1)求證：AB是。的切線；(2)點(diǎn)F是ACD上的一點(diǎn)，當(dāng)/ AOF=2 / B時(shí)，求AF的長(zhǎng).15.如圖，/ABC內(nèi)接于。0,且BC是。的直徑，AD± BC于D,AB= 6, AC= 8,求 CD DE,及 EF的長(zhǎng)。F是弧BC中點(diǎn)，且 AF交BC于E,16. 已知：如圖，在 RtABC 中，/ACB=90“，AC =4 ,